专题限时集训(十五) 圆锥曲线中的定点、定值、定直线
1．(2024·湖南娄底一模)若抛物线Γ的方程为y2＝4x，焦点为F，设P，Q是抛物线Γ上两个不同的动点．
(1)若＝3，求直线PF的斜率；
(2)设PQ的中点为R，若直线PQ的斜率为，证明：R在一条定直线上．
2．(2024·广东梅州一模)已知动圆M经过定点F1(－，0)，且与圆F2：(x－)2＋y2＝16内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设PB交直线x＝4于点T，连接AT交轨迹C于点Q．直线AP，AQ的斜率分别为kAP，kAQ．证明：
①kAP·kAQ为定值；
②直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．
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多解专题限时集训(十五)
1．解：(1)由题意知，F＝xP＋1＝3，
∴xP＝2，将x＝2代入y2＝4x，得y＝±2，
∴P，
∴kPF＝＝±2．
(2)证明：法一：设P，Q，
PQ：y＝x＋t，即x＝y－t，
代入y2＝4x，得y2－4y＋4t＝0，Δ＞0，
∴y1＋y2＝4，
故yR＝＝2，R在定直线y＝2上．
法二：设P，Q，
由题意，＝＝＝，
故y1＋y2＝4，
yR＝＝2，R在定直线y＝2上．
2．解：(1)设动圆M的半径为r，由题意得圆F2的圆心为F2，半径R＝4，
所以|MF1|＝r，|MF2|＝4－r，
则|MF1|＋|MF2|＝4>2＝|F1F2|，
所以动圆圆心M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，又2a＝4，2c＝2，可得a＝2，c＝，b＝1，
因此轨迹C的方程为＋y2＝1．
(2)证明：①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(4，m)．
由题可知A(－2，0)，B(2，0)，如图所示，
则kAP＝，kAQ＝kAT＝＝，
而kBP＝kBT＝＝，即m＝，
所以kAP·kAQ＝＝＝．
又＝1，则＝，
因此kAP·kAQ＝＝－为定值．
②设直线PQ的方程为x＝ty＋n，
由得(t2＋4)y2＋2tny＋n2－4＝0，Δ＝(2tn)2－4(t2＋4)(n2－4)＞0，即t2－n2＋4＞0，
所以
由①可知，kAP·kAQ＝－，
即＝＝－，化简得＝－，
解得n＝1或n＝－2(舍去)，
所以直线PQ的方程为x＝ty＋1，
因此直线PQ经过定点(1，0)．
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