专题限时集训(十六) 圆锥曲线中的计算、证明、存在性问题
1．(2024·浙江金华模拟)设抛物线C：y2＝2px，直线x＝－1是抛物线C的准线，且与x轴交于点B，过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，A是不在直线l上的一点，直线AM，AN分别与准线交于P，Q两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：＝；
(3)记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，若S1＝2S2，求直线l的方程．
2．(2024·山东聊城三模)已知圆A：(x＋1)2＋y2＝16和点B，点P是圆上任意一点，线段PB的垂直平分线与线段PA相交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)点D在直线x＝4上运动，过点D的动直线l与曲线C相交于点M，N．
①若线段MN上一点E，满足＝，求证：当D的坐标为(4，1)时，点E在定直线上；
②过点M作x轴的垂线，垂足为G，设直线GN，GD的斜率分别为k1，k2，当直线l过点时，是否存在实数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
1/1专题限时集训(十六)
1．解：(1)因为x＝－1为抛物线的准线，
所以＝1，即2p＝4，
故抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)证明：如图，
设l：x＝ty－1，t≠0，M，N，
联立y2＝4x，消去x得y2－4ty＋4＝0，
则Δ＝16>0，t2＞1，所以
又直线AM：y－n＝，令x＝－1，得P，
同理可得Q，
所以yP＋yQ＝n－＋n－＝2n－
＝2n－
＝2n－＝2n－＝0，
故＝．
(3)由(2)可得，S2＝|PQ|×2＝＝＝，
S1＝d＝·4＝2，
由S1＝2S2，得t2－1＝2，解得t＝±，
所以直线l的方程为x±y＋1＝0．
2．解：(1)由题意知圆心A(－1，0)，半径为4，且＝＝2，则＝＝＝4>＝2，所以点Q的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
设曲线C的方程为＝1，则2a＝4，2c＝2，解得a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3，
所以曲线C的方程为＝1．
(2)①证明：因为直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，
因为D在l上，所以4k＋m＝1，
由 得x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0，
Δ＝－16＝48(4k2－m2＋3)>0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(x0，y0)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，由＝，得＝，
化简得4－2x1x2＝x0，则4×－2×＝x0，
化简得kx0＋m＋3x0－3＝0，又因为y0＝kx0＋m，所以3x0＋y0－3＝0，
所以点E在定直线3x＋y－3＝0上．
②因为直线l：y＝kx＋m过点，所以k＋m＝0，直线l的方程为y＝kx－k，
从而得D，G(x1，0)，
由①知，x1＋x2＝，x1x2＝，k1＝，k2＝，
所以＝＝＝
＝＝＝，
所以存在实数λ＝，使得k1＝k2．
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