专题限时集训(十八) 基本初等函数、函数的应用
一、单项选择题
1．(2024·河北保定模拟)若函数f ＝－sin x为偶函数，则实数a＝( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
2．(2024·河南洛阳模拟)若函数f ＝ln在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
3．(2024·天津高考)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
4．(2024·江苏南通二模)已知函数f ＝则f ＝( )
A． B．
C． D．
5．(2024·重庆模拟)函数f ＝，g＝ln，那么( )
A．f ＋g是偶函数
B．f ·g是奇函数
C．是偶函数
D．g是奇函数
＝ln 1＝0，
6．(2024·广东深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过( )
A．第一、第二象限 B．第一、第三象限
C．第二、第四象限 D．第三、第四象限
7．(2024·河北沧州模拟)某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为2.25 g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21 g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型rn＝r0＋(r1－r0)·30.25n＋t(t∈R，n∈N*)，其中r0为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.65 g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为( )
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A．12 B．13
C．14 D．15
8．(2024·云南昆明模拟)已知函数f ＝函数g＝f －m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1·x2·x3的取值范围是( )
A． B．
D．
二、多项选择题
9．(2024·山东临沂一模)已知函数f ＝＋a，则( )
A．f 的定义域为
B．f 的值域为R
C．当a＝1时，f 为奇函数
D．当a＝2时，f ＋f ＝2
10．已知函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f (1－|x|)，则( )
A．h(x)的图象关于原点对称
B．h(x)的图象关于y轴对称
C．h(x)的最大值为0
D．h(x)在区间(－1，1)上单调递增
11．(2024·重庆三模)已知实数a，b满足>0，则( )
A．＜ B．loga2>logb2
C．< D．2a－2b<3－a－3－b
三、填空题
12．(2024·全国甲卷)已知a>1且＝－，则a＝________．
13．(2024·山东泰安三模)已知函数f ＝ 若曲线y＝f 与直线y＝ax恰有2个公共点，则a的取值范围是________．
14．某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本φ(x)万元，其中φ(x)＝若该公司一年内生产的该产品可以全部售完，每件的售价为70 元，则该企业每年利润的最大值为________万元．
1/1专题限时集训(十八)
1．D [函数f (x)＝－sin x的定义域为R，
由f (x)为偶函数，得 x∈R，f ＝f ，
则－sin (－x)＝－sin x，整理得sin x＝0，而sin x不恒为0，
于是－2＝0，即－2＝0，解得a＝2，所以实数a＝2．故选D．]
2．C [因为函数f ＝ln 在区间上单调递增，即y＝x2－ax在上单调递增且函数值大于0，由函数y＝－，则故a≤2，则a的取值范围是．故选C．]
3．B [因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，
所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，
所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，
即0
因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2所以b>a>c．故选B．]
4．B [因为f ＝
又log29>3，则f (log29)＝f ＝f (log23)＝＋＝3＋＝．
故选B．]
5．B [因为f (－x)＝＝f (x)，
所以f ＝为偶函数，因为g(－x)＋g(x)＝ln ＋ln ＝ln [(＋3x)(－3x)]＝ln 1＝0，
即g(－x)＝－g(x)，所以g＝ln (－3x)为奇函数，所以f (x)＋g(x)为非奇非偶函数，A错误；
f ·g＝－[f ·g]，
所以f ·g为奇函数，B正确；
＝＝－，所以是奇函数，C错误；
令H＝g，H＝g＝g＝H，H为偶函数，D错误．故选B．]
6．D [当x＝0时，y＝loga＝－1，
则当0当a>1时，函数图象过第一、第三、第四象限；
所以函数y＝loga的图象一定经过第三、第四象限．故选D．]
7．D [由题意知r0＝2.25 g/m3，r1＝2.21 g/m3，
当n＝1时，r1＝r0＋(r1－r0)×30.25+t，故30.25+t＝1，
解得t＝－0.25，
所以rn＝2.25－0.04×30.25(n-1)．
由rn≤0.65，得30.25(n-1)≥40，
即0.25(n－1)≥，
得n≥＋1≈14.33，又n∈N*，
所以n≥15，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为15．
故选D．]
8．C [作出函数f 的图象如图，
不妨设x1当x≤0时，－x2－x－m＝0，得x2＋x＋m＝0，则x1·x2＝m，
当x>0时，ln x3＝m，x3＝em，则x1·x2·x3＝mem，
设h(m)＝mem，则h′(m)＝em>0，
所以h(m)在上单调递增，
所以，即x1·x2·x3的取值范围是．故选C．]
9．ACD [对于函数f ＝＋a，令2x－1≠0，解得x≠0，
所以f 的定义域为，故A正确；
因为2x>0，当2x－1>0时，>0，所以＋a>a，
当－1<2x－1<0时<－2，所以＋a<－2＋a，
综上可得f 的值域为∪(a，＋∞)，故B错误；
当a＝1时，f ＝＋1＝，则f ＝＝－＝－f ，
所以f ＝＋1为奇函数，故C正确；
当a＝2时，f ＝＋2＝＋1，
则f ＋f ＝＋1＋＋1＝2，
故D正确．故选ACD．]
10．BC [因为函数f (x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，
所以f (x)＝log2x，h(x)＝log2(1－|x|)，
1－|x|＞0，－1＜x＜1，h(x)的定义域为(－1，1)，
因为h(－x)＝log2(1－|－x|)＝h(x)，
所以h(x)是偶函数，不是奇函数，A错误，B正确，
因为1－|x|≤1，所以h(x)＝log2(1－|x|)≤log21＝0，h(x)的最大值为0，C正确，
因为h(x)是偶函数，所以D错误．故选BC．]
11．AC [因为>0，所以log2a>log2b，又y＝log2x为增函数，故a>b>0，
对于A，因为y＝为减函数，所以<，故A正确；
对于B，当a＝4，b＝2时，loga2＝对于C，0<<1<，故C正确；
对于D，当a＝4，b＝2时，且y＝2x与y＝3x均为增函数，所以2a－2b＝24－22>0，3-4－3-2<0，此时2a－2b>3－a－3－b，故D错误．
故选AC．]
12．64 [＝log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
则log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，
所以log2a＝6，故a＝26＝64．]
13． [当x≤0时，f ＝x2＋2x，其在上单调递减，在上单调递增，且f ′＝2x＋2，则f ′＝2；
当0作出f 的图象，如图，设过点(0，0)和f (x)＝x2＋2x(x≤0)相切的直线为l1，
设切点为＋2x0)，
则l1的方程为
＋2x0)＝(2x0＋2)(x－x0)，
代入(0，0)，解得x0＝0．
所以切线l1的斜率k1＝2；
同理可求得过点(0，0)且和y＝ln (1－x)(0＜x＜1)相切的直线l2的斜率k2＝－1，
而a表示过点(0，0)的直线的斜率．
由此可得a的取值范围是[－1，2)．]
14．875 [该企业每年利润为f (x)＝
当0＜x≤40时，f (x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875，
当x＝30时， f (x)取得最大值875；
当x＞40时，f (x)＝920－≤920－2＝720(当且仅当x＝100时等号成立)，即当x＝100时， f (x)取得最大值720．
因为875＞720，所以该企业每年利润的最大值为875万元．]
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