专题限时集训(二十一) 利用导数证明不等式
1．已知函数f ＝－f ′x2＋x＋2ln x．
(1)求f ′并写出f 的表达式；
(2)证明：f (x)≤x－1．
2．已知函数f ＝ln ．
(1)求证：当x∈时，(2)已知e为自然对数的底数，求证： n∈N*，<·…·1．解：(1)由f ＝－f ′x2＋x＋2ln x，得f ′＝－2f ′x＋1＋，取x＝1得f ′＝－2f ′＋1＋2，解得f ′＝1．
将f ′＝1代入f ＝－f ′x2＋x＋2ln x可得f ＝－x2＋x＋2ln x，所以f (x)＝－x2＋x＋2ln x，x＞0．
(2)证明：设g＝t－ln t，则g′＝1－＝，故当01时g′>0．
所以g在上单调递减，在上单调递增，故g≥g＝1．
从而f ＝－x2＋x＋2ln x＝－x2＋x＋ln x2＝x－g≤x－1．所以f (x)≤x－1．
2．证明： (1)令g＝f ＝ln ，
则g′(x)＝＝>0，
故g在x∈上单调递增，∴当x∈时，g>g＝0，
即f >成立．
令h＝f －x＝ln －x，
则h′＝－1＝－<0，
∴h在x∈上单调递减，
∴当x∈时，h即f 综上所述，当x∈时，(2)由(1)可知，ln (1＋x)0．
取x＝(i∈N*，i≤n，n∈N*)．
∴ln <，
∴ln ＋ln ＋…＋ln <＋…＋＝＝≤1，
∴ln <1，
∴·…·由(1)可知，ln (1＋x)>对x∈恒成立．
取x＝(i∈N*，i≤n，n∈N*)，则ln >＝(i∈N*，i≤n，n∈N*)，
∴ln ＋ln ＋…＋ln >＋…＋
>＋…＋＝＝，
∴ln >，
∴·…·>．
综上可得， n∈N*，<·…·1/1
