专题限时集训(二十) 利用导数解决函数零点或方程根问题
1．(2024·湖南邵阳三模)已知函数f ＝－x3＋x2＋1．
(1)求函数f 的单调递增区间；
(2)若函数g＝f －k有且仅有三个零点，求k的取值范围．
2．(2024·广东广州一模)已知0
(1)求f (x)的单调区间；
(2)讨论方程f (x)＝a的根的个数．
3．(2024·河南安阳模拟)已知函数f ＝a ln (x＋1)－x sin x．
(1)若a＝0，求曲线y＝f 在点处的切线方程；
(2)若a＝1，求函数f 在上的单调性和零点个数．
4．(2024·全国模拟预测)设函数f ＝－x2＋ax＋ln x．
(1)若a＝1，求函数f 的单调区间；
(2)若函数f 在上有两个零点，求实数a的取值范围．(其中e是自然对数的底数)
1/1专题限时集训(二十)
1．解：(1)由f ＝－x3＋x2＋1，得f ′＝－x2＋2x，令f ′>0，得－x2＋2x>0，解得0所以f 的单调递增区间为．
(2)令f ′＝0，解得x＝0或x＝2．
当x变化时，f ′，f 的变化情况如下表所示：
x 0 2
f ′ － 0 ＋ 0 －
f 单调递减 1 单调递增 单调递减
由函数g＝f －k有且仅有三个零点，
得方程f ＝k有且仅有三个不等的实数根，所以函数y＝f 的图象与直线y＝k有且仅有三个交点．
显然，当x→－∞时，f →＋∞；当x→＋∞时，f →－∞．
所以由上表可知，f 的极小值为f ＝1，f 的极大值为f ＝，故k∈．
2．解：(1)因为f ＝(x≠0)．
所以f ′＝＝．
由f ′>0得x>1，又函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以函数f (x)在和上单调递减，在上单调递增．
(2)因为0当x>0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增，
所以f ＝f ＝ae1-a>ae0＝a，
所以方程f ＝a无解．
综上可知，方程f ＝a的根的个数为0．
3．解：(1)当a＝0时，f ＝－x sin x，
则f ′＝－sin x－x cos x，则f ＝－，f ′＝－1，
所以曲线y＝f 在点处的切线方程为y＝－x．
(2)当a＝1时，f ＝ln －x sin x，则f ′(x)＝－sin x－x cos x，
当x∈时，>0，－sin x≥0，－x cos x≥0，则f ′>0，
故f 在x∈上单调递增．
又因为f ＝0，所以f 在x∈上的零点个数为1．
4．解：(1)当a＝1时，f ＝－x2＋x＋ln x，f 的定义域为，
f ′＝－2x＋1＋＝，
令f ′>0，则2x2－x－1<0，解得0令f ′<0，则2x2－x－1>0，解得x>1．
∴函数f 的单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)令f ＝－x2＋ax＋ln x＝0，则a＝x－．
令g＝x－，其中x∈，
则g′＝1－＝．
令g′>0，解得1令g′<0，解得≤x<1．
∴g的单调递减区间为，单调递增区间为，
∴g(x)min＝g＝1．
又g＝e＋，g＝e－，函数f 在上有两个零点，即g(x)的图象与直线y＝a有2个交点，∴a的取值范围是．
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