专题限时集训(二十二) 利用导数解决不等式恒(能)成立问题
1．(2024·江苏常州模拟)已知函数f ＝x2＋x－2ln x，a∈R．
(1)讨论f 的单调性；
(2) x∈， b∈，使得f ≥b，求实数a的取值范围．
2．(2024·安徽安庆二模)已知函数f (x)＝2ln x－x＋(m∈R)．
(1)当m＝－3时，求函数f (x)的单调区间；
(2)若不等式f (x)≤0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围．
多解专题限时集训(二十二)
1．解：(1)由题设f ′＝ax＋2a－1－＝＝，且x∈(0，＋∞)，
当a≤0时，f ′<0，f 在上单调递减；
当a>0时，令f ′＝0 x＝，
当0当x>时，f ′>0，f 在区间上单调递增．
所以当a≤0时，f 在(0，＋∞)上单调递减，
当a>0时，f 在上单调递减，在上单调递增．
(2)由题设知f ≥bmin＝2对任意x∈恒成立．
当a<1时，此时f ＝－1<2，不符合题设，舍去．
当a≥1时，f ′≥0，f 在上单调递增，只需f ＝－1≥2 a≥．
综上，实数a的取值范围为．
2．解：(1)当m＝－3时，f (x)＝2ln x－x－，其定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝－1＋＝＝，
令f ′＝0，得x＝3(x＝－1舍去)，
当00，函数f (x)单调递增；
当x>3时，f ′<0，函数f (x)单调递减．
所以函数f (x)的单调递增区间为(0，3)，单调递减区间为(3，＋∞)．
(2)法一：由条件可知f (1)≤0，于是m－1≤0，解得m≤1．
当m≤1时，f (x)＝2ln x－x＋≤2ln x－x＋，
构造函数g(x)＝2ln x－x＋，x≥1，
g′(x)＝－1－＝－≤0，
所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减，于是g(x)≤g(1)＝0，
因此实数m的取值范围是(－∞，1]．
法二：由条件可知m≤x2－2x ln x对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，
令h(x)＝x2－2x ln x，x≥1，只需m≤[h(x)]min即可．
h′＝2x－2＝2，
令μ＝x－ln x－1，则μ′＝≥0，
所以函数h′在[1，＋∞)上单调递增，
于是h′≥h′＝0，所以函数h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以＝h＝1，于是m≤1，因此实数m的取值范围是(－∞，1]．
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