培优专练1 平面向量数量积的最值与范围问题
1．(2024·湖北黄冈二模)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝3，|λe－a|＝1，则|a|的最大值为( )
A．9 B．3 C． D．10
2．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则的最小值为( )
A．4 B．6
C．8 D．9
3．(2024·湖北武汉四调)点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则的最大值为( )
A．2 B．
C．3 D．
4．已知单位向量a，b，若对任意实数x，|xa＋b|≥恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为( )
A．
C．
5．如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任一点．若＝x＋y，则2x＋2y的最大值为( )
A． B．2
C． D．1
6．(多选)(2024·山东潍坊二模)已知向量a，b，c为平面向量，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，|c－a|＝，则下列说法中正确的是( )
A．1≤|c|≤
B．(c－a)·(c－b)的最大值为
C．－1≤b·c≤1
D．若c＝λa＋μb，则λ＋μ的最小值为1－
7．(2024·湖南长沙模拟)已知正三角形ABC的边长为2，点P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围为________．
1/1培优专练1 平面向量数量积的最值与范围问题
1．C [根据条件得(a－λe)2＝|a|2＋λ2－2a·eλ＝λ2－6λ＋|a|2＝1，
得到|a|2＝－(λ2－6λ－1)＝－(λ－3)2＋10≤10，
所以|a|≤，即|a|的最大值为．
故选C．]
2．C [由题意得，＝＝(a－1，1)，
＝＝(－b－1，2)，
∵A，B，C三点共线，
∴＝λ且λ∈R，
则 可得2a＋b＝1，
∴＝(2a＋b)＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当b＝2a＝时，等号成立，
∴的最小值为8．
故选C．]
3．C [如图，分别取AB，DE的中点Q，R，连接PQ，QR，
则由题知，QA＝，BD2＝DC2＋BC2－2DC×BC×cos ∠BCD＝1＋1－2×1×1×cos 120°＝3，即BD＝，
所以QD＝＝＝＝，
由图可知当P运动到D或E时PQ最大，
所以＝()·()＝()·()
＝－＝－－＝3，
所以的最大值为3．故选C．]
4．B [a，b是单位向量，由|xa＋b|≥得
(xa＋b)2≥ x2＋2(a·b)x＋≥0，
依题意，不等式x2＋2(a·b)x＋≥0对任意实数x恒成立，则Δ＝4(a·b)2－1≤0，
解得－≤a·b≤，
而cos 〈a，b〉＝＝a·b，
则－≤cos 〈a，b〉≤，
又0≤〈a，b〉≤π，函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，因此≤〈a，b〉≤，
所以向量a，b的夹角的取值范围为．故选B．]
5．A [法一：(坐标法)以点O为坐标原点，过点O平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由已知可得A，B，C，
点P在以点O为圆心，为半径的圆上，
所以可设P，0≤θ＜2π，
则＝＝(2，0)，＝(1，)，由＝x＋y，可得2x＋y＝cos θ＋1，y＝sin θ＋，
∴2x＋2y＝cos θ＋1＋sin θ＋＝sin ，∵0≤θ＜2π，∴≤θ＋＜，
∴当θ＝时，2x＋2y的最大值为．故选A．
法二：(等和线法)如图，作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设＝λ＋μ，则λ＋μ＝1．
因为BC∥EF，所以设＝＝k，则k∈，
所以＝k＝k＝λ＋μ＝λk＋μk，所以x＝λk，y＝μk，
所以2x＋2y＝2(λ＋μ)k＝2k∈．故选A．]
6．BCD [对于A，设a＝(1，0)，b＝(0，2)，c＝(x，y)，根据|c－a|＝有＝，
即(x－1)2＋y2＝，是圆心为(1，0)，半径为的圆，又|c|＝的几何意义为原点到圆(x－1)2＋y2＝上点(x，y)的距离，则≤|c|≤，故A错误；
对于B，(c－a)·(c－b)＝(x－1)x＋y(y－2)＝x2－x＋y2－2y＝＋(y－1)2－，则转化为求圆(x－1)2＋y2＝上的点到的距离最大值，
为－＝－＝，故B正确；
对于C，b·c＝2y，因为－≤y≤，故－1≤b·c≤1，故C正确；
对于D，因为(x－1)2＋y2＝，故x＝＋1，y＝，
又因为c＝λa＋μb，故λ＝x，μ＝，
λ＋μ＝＋1＋＝＋1＝sin (θ＋φ)＋1(其中tan φ＝2)，
故当sin (θ＋φ)＝－1时，λ＋μ取最小值1－，故D正确．故选BCD．]
7．[3－2，3＋2] [由已知，点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．取线段AB的中点M，
则＝()·()＝＝||2－||2＝||2－1，
又因为|PM|∈[|CM|－1，|CM|＋1]，|CM|＝，
所以|PM|∈[－1，＋1]，
则∈[3－2，3＋2]．
2/4
