培优专练5
1．A [由题意，当n＝3k，n＝3k＋1，n＝3k＋2(k∈N*)时，均有an＝f ＝＝k，
故可得S3n＝0＋0＋1＋1＋1＋2＋2＋2＋3＋3＋3＋…＋(n－1)＋(n－1)＋(n－1)＋n＝3××(n－1)＋n＝n2－n．故选A．]
2．D [因为＝12，设第n个三角形的斜边长为an，面积为bn，
由题意可知：a1＝＝，an＋1＝＝an，bn＝an×an＝，
则b1＝≠0，＝＝＝，
可知数列是首项为b1＝，公比为的等比数列，
所以所作的所有三角形的面积和为＝．故选D．]
3．D [依题意，3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1，…，
故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3＋10＋5＋16＋8＝42，
又÷3＝18……1，所以a6＋a7＋…＋a60＝18×7＋4＝130．
所以a1＋a2＋…＋a60＝42＋130＝172．
故选D．]
4．BD [由题意知，点A1(0，0)，S1＝a1＝0，
设Ai＋1(xi＋1，yi＋1)＝Bi(xi，yi)，an＋1＝bn，
设数列{bn}的前n项和为Tn，
则Sn＋1＝Tn，第一圈从点(1，0)到点(1，1)共8个点，由对称性可知S9＝T8＝b1＋b2＋…＋b8＝0，
第二圈从点(2，1)到点(2，2)共16个点，由对称性可知S25－S9＝T24－T8＝b9＋b10＋…＋b24＝0，即S25＝T24＝0，
以此类推，可得第n圈的8n个点对应的这8n项的和为0，
即＝T4n2＋4n＝0，
设b2 024在第k圈，则8＋16＋…＋8k＝＝4k(k＋1)，
由此可知前22圈共有2 024个数，故T2 024＝0，
b2 024所在点的坐标为(22，22)，
则b2 024＝22＋22＝44，
则a2 025＝b2 024＝44，故A错误；
S2 024＝T2 023＝T2 024－b2 024＝0－44＝－44，故B正确；
当n＝1时，a8所在点的坐标为(0，1)，则a8＝0＋1＝1≠2，故C错误；
S4n2＋5n＋1＝T4n2＋5n＝T4n2＋5n－T4n2＋4n＝b4n2＋4n＋1＋b4n2＋4n＋2＋…＋b4n2＋5n，对应点的坐标为(n＋1，n)，(n＋1，n－1)，…，(n＋1，1)，
所以S4n2＋5n＋1＝T4n2＋5n＝(n＋1＋n)＋(n＋1＋n－1)＋…＋(n＋1＋1)＝(2n＋1)＋2n＋…＋(n＋2)＝＝，故D正确．]
5．68 [每行最后一个数的排列为1，5，11，19，29，…，
第n行最后一个数的通项公式为an＝n－1，
其中a44＝44×45－1＝1 979<2 025，a45＝45×46－1＝2 069>2 025，
所以2 025位于第45行，且÷2＝23，
所以2 025位于第45行、第23列，所以i＝45，j＝23，i＋j＝45＋23＝68．]
6．解：(1)证明：因为数列的前n项积为bn，所以an＝．
又因为＝1，所以＝1，
化简可得bn－bn－1＝2，
当n＝1时，＝1，解得b1＝3，
所以是首项为3，公差为2的等差数列．
(2)由(1)可得bn＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
所以cn＝＝2·2n-1＋1＝2n＋1，
故n＝n·2n．
令数列的前n项和为Tn，
则Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n①，
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1②，
①－②可得－Tn＝1×2＋1×22＋1×23＋…＋1×2n－n·2n+1，
化简可得Tn＝2＋(n－1)·2n+1，
所以数列的前n项和Tn＝2＋(n－1)·2n+1．
1/1培优专练5 数列的增减项及创新应用问题
1．对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f (x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若an＝f ，n∈N*，Sn为数列的前n项和，则S3n＝( )
A．n2－n B．n2＋n
C．3n2－2n D．n2－n
2．(2024·云南昆明一模)第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案是由若干三角形组成的．如图所示，作Rt△AOB，OA＝1，∠AOB＝30°，再依次作相似△BOC，△COD，△DOE，…，直至最后一个三角形的斜边OM与OA第一次重叠为止，则所作的所有三角形的面积和为( )
A．
C．
3．(2024·云南昆明期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如取正整数m＝6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足a1＝m(m为正整数)，an＋1＝ 当m＝3时，a1＋a2＋a3＋…＋a60＝( )
A．170 B．168
C．130 D．172
4．(多选)如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai(xi，yi)，其中i＝1，2，3，…，n，…，且xi，yi∈Z．记an＝xn＋yn，如A1(0，0)，即a1＝0，A2(1，0)，即a2＝1，A3(1，－1)，即a3＝0，…，以此类推．设数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A．a2 025＝43 B．S2 024＝－44
C．a8n＝2n D．S4n2＋5n＋1＝
5．将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示aij，例如a32＝9，若aij＝2 025，则i＋j＝________．
6．(2024·福建福州模拟)已知数列的前n项积为bn，且＝1．
(1)证明：是等差数列；
(2)从中依次取出第1项，第2项，第4项，…，第2n-1项，按原来顺序组成一个新数列，求数列的前n项和．
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