培优专练6
1．C [由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r，则r＝＝，故该球的表面积为4πr2＝8π．故选C．]
2．C [由点A到球心O的距离为3，得球心O到过点A的平面α的距离的最大值为3，
因此过点A的平面α截球O所得的截面圆的半径的最小值为＝4，
所以过点A的平面α截球O所得的截面面积的最小值是16π．故选C．]
3．A [如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为2的正四面体A-BCD，
显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，设球的半径为r，故r＝1，则该球的表面积为S＝4πr2＝4π．故选A．]
4．B [设球的半径为r，由题可知AB＝AC＝BC＝，S△ABC＝×()2＝，
所以·r·S△ABC＝VP-ABC＝×1×1×1，解得r＝．故选B．]
5．B [设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，由题意知：
两式相除解得r＝1，l＝2，
所以圆锥的顶角为，轴截面为等边三角形，圆锥的高h＝＝，
设圆锥的内切球的半径为R，如图所示，在Rt△AOS中，OS＝AO，即R＝－R)，解得R＝．故选B．]
6．ACD [设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆O为圆台内切球的大圆，设其半径为R，如图，
设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，
连接OD，OE，OA，
则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，
故∠OAD＋∠ODA＝，∠DOA＝，OE⊥AD，
故R2＝r1r2＝3，解得R＝，
故圆台的高为2R＝2，母线长为r1＋r2＝4，圆台的表面积为π(12＋32)＋π(1＋3)×4＝26π，球O的表面积S＝4πR2＝12π．故选ACD．]
7．ABD [由于棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，所以选项A正确；由于棱长为1 m的正方体中可放入棱长为 m的正四面体，且＞1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1 m，体对角线长为 m，＜1.8，所以高为1.8 m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；由于正方体的体对角线长为 m，而底面直径为1.2 m的圆柱体，其高0.01 m可忽略不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可以整体放入正方体容器中，所以选项D正确．综上，故选ABD．]
8．29π [由题意可知△ABC是直角三角形，AC＝5，则△ABC的内切圆的半径为r＝＝1．
直三棱柱ABC-A1B1C1中存在内切球，则其高为h＝2r＝2，如图所示，
分别取AC，A1C1的中点E，F，连接EF，则EF也是该直三棱柱的高，EF的中点O是其外接球球心，
OC＝＝＝，
所以外接球的表面积为S＝4π·OC2＝29π．]
1/1培优专练6 与球有关的“切”“接”“截”问题
1．(2024·山东枣庄模拟)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )
A．4π B．6π C．8π D．10π
2．已知球O的半径为5，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面α截球O所得的截面面积的最小值是( )
A．9π B．12π
C．16π D．20π
3．(2024·江西上饶模拟)已知某棱长为2的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为( )
A．4π B．2π
C． D．π
4．(2023·河南新乡一模)已知正三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝1，以P为球心的球与底面ABC相切，则该球的半径为( )
A．
C．
5．(2024·福建泉州模拟)已知圆锥的侧面积是2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球的半径为( )
A．
C．
6．(多选)已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列说法中正确的是( )
A．圆台的母线长为4
B．圆台的高为4
C．圆台的表面积为26π
D．球O的表面积为12π
7．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
8．(2024·四川成都模拟)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中存在内切球，若AB＝3，BC＝4，AB⊥BC，则该三棱柱外接球的表面积为________．
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