培优专练8 立体几何中的动态问题
1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的动点且EF＝1，则三棱锥A-BEF的体积为( )
A． B． C． D．无法确定
2．已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为( )
A． B．π
C．2π D．3π
3．(2024·山东日照二模)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切，若点P在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，则的最大值为( )
A．2 B．
C． D．
4．(2024·陕西商洛模拟)如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO＝AC＝2，则下列结论正确的是( )
A．圆锥SO的侧面积为8π
B．三棱锥S-ABC的体积的最大值为
C．∠SAB的取值范围是
D．若AB＝BC，E为线段AB上的动点，则SE＋CE的最小值为2(＋1)
5．(多选)(2024·广东梅州二模)如图，平面ABN⊥平面α，AB＝MN＝2，M为线段AB的中点，直线MN与平面α所成角的大小为30°，点P为平面α内的动点，则下列说法中正确的是( )
A．以N为球心，半径为2的球面在平面α上的截痕长为2π
B．若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线
C．若P到直线MN的距离为1，则∠APB的最大值为
D．满足∠MNP＝45°的点P的轨迹是椭圆
6．四棱锥P-ABCD的顶点P和底面ABCD的四个顶点都在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为________．
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1．C [如图，连接AC与BD交于点O，BB1⊥平面ABCD，AO 平面ABCD，
故AO⊥BB1，AO⊥BD，BD∩BB1＝B，故AO⊥平面BDD1B1．VA-BEF＝×S△BEF×AO＝×1×1×＝．故选C．]
2．B [设顶点P在底面上的投影为O，连接BO，
则O为△ABC的中心，且BO＝×6×＝2，
故PO＝＝2．
因为PQ≤5，故OQ≤1，故Q点的集合为以O为圆心，1为半径的圆及其内部，而△ABC内切圆的圆心为O，半径为＝>1，故Q的轨迹圆在△ABC内部，故其面积为π．]
3．B [取AB中点E，可知E在球面上，可得＝－，
所以＝()·()＝－＝－，
点P在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，当PE为直径时，＝，所以的最大值为．故选B．]
4．D [在Rt△SOC中，SC＝＝2，则圆锥的母线长l＝2，底面半径r＝OC＝2，
对于A，圆锥SO的侧面积为：πrl＝4π，故A错误；
对于B，当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC＝×4×2＝4，
则三棱锥S-ABC体积的最大值为×S△ABC×SO＝×4×2＝，故B错误；
对于C，因为△SAB为等腰三角形，SA＝SB，又SA2＋SC2＝AC2，所以∠ASC＝，
当点B与点A重合时，∠ASB＝0为最小角，当点B与点C重合时，∠ASB＝为最大角，
又因为B与A，C不重合，则∠ASB∈，
又2∠SAB＋∠ASB＝π，可得∠SAB∈，
故C错误；
对于D，由AB＝BC，∠ABC＝，AC＝4，得AB＝BC＝2，又SA＝SB＝2，
则△SAB为等边三角形，则∠SBA＝， 将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面，得到△S1AB，
则△S1AB为等边三角形，∠S1BA＝，如图可知(SE＋CE)min＝S1C，
因为S1B＝BC＝2，∠S1BC＝∠S1BA＋∠ABC＝，
S1C2＝S1B2＋BC2－2×S1B×BC×cos ＝8＋8＋8＝(2＋2)2，
则(SE＋CE)min＝S1C＝2(＋1)，故D正确．故选D．]
5．BC [对于A，由于MN与平面α所成角的大小为30°，所以点N到平面α的距离d＝MN sin 30°＝1，
故半径为R＝2的球面在平面α上的截面圆的半径为r＝＝，故截痕长为2πr＝2π，A错误；
对于B，由于平面ABN⊥平面α，所以以AB所在直线为y轴，在平面α内过M作x轴⊥AB，平面ABN内作z轴⊥AB，建立如图所示的空间直角坐标系，
则M(0，0，0)，B(0，1，0)，A(0，－1，0)，N(0，，1)，
设P(x，y，0)，则PM＝PN x2＋y2＝x2＋(y－)2＋1，
化简得y＝，故P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线，B正确；
由B可知，＝(0，，1)，＝(x，y，0)，所以P到直线MN的距离为＝＝1，化简可得x2＋＝1，
所以点P是平面α内的椭圆x2＋＝1上一点，如图，当P在短轴的端点时，∠APB最大，
由于＝＝1，故∠BPM＝，
因此∠APB＝2∠BPM＝，C正确；
对于D，由B可知，＝(0，－，－1)，＝(x，y－，－1)，＝(x，y，0)，
若∠MNP＝45°，则cos ∠MNP＝cos 〈〉＝＝＝，
化简得＝1且y<，故满足∠MNP＝45°的点P的轨迹是双曲线的一部分，D错误，
故选BC．]
6． [如图，设底面ABCD所在小圆的圆心为O1，半径为r，四棱锥P-ABCD的外接球球心为O，半径为R＝2，
则当O1P垂直于小圆O1所在平面时，四棱锥P-ABCD的高最大，四边形ABCD内接于小圆O1，
当四边形ABCD是正方形时面积最大，所以四棱锥P-ABCD是正四棱锥时体积最大．
设该正四棱锥的底面边长为a，高为h，0＜h＜4，
连接OC，O1C，则△OO1C为直角三角形，
则(h－R)2＋r2＝R2＝4，即(h－2)2＋r2＝R2＝4，
所以r2＝4h－h2，a＝2r，
所以VP-ABCD＝Sh＝a2h＝r2h＝h2(4－h)，
则V′＝(8h－3h2)，令V′＝(8h－3h2)＝0，所以h＝(h＝0舍去)，
当0＜h＜时，V′＞0，V在上单调递增，当＜h＜4时，V′＜0，V在上单调递减，
所以当h＝时，Vmax＝＝．]
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