培优专练9 概率中的函数、数列问题
1．(2024·江苏4月大联考)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记质点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为Pn．
(1)求P2；
(2)①求证：数列是等比数列；
2．(2024·福建泉州模拟)已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在[μ－σ，μ＋σ]内的产品称为优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ]内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如图所示：
(1)根据大量的产品检测数据，得到样本数据的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，记质量差X～N(μ，σ2)，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，且n∈N*)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f (p)，求当n为何值时，f (p)取得最大值．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3．
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1．解：(1)依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中任意两个在同一底面，
所以当质点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为；当质点Q在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以P1＝，所以P2＝＝．
(2)①证明：因为Pn＋1＝Pn＋(1－Pn)＝Pn＋，
所以Pn＋1－＝Pn＋＝Pn－＝．
又因为P1＝，所以P1－＝＝≠0，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
②因为Pn－＝＝，
所以Pn＝＋，所以iPi＝×i＋．
设ai＝，
＝－n×，
2．解：(1)由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1 000件的平均数为
＝0.010×10×＋0.020×10×＋0.045×10×＋0.020×10×＋0.005×10×＝70．
则μ≈＝70，σ≈s≈10，所以X～N(70，102)，
则优等品的质量差在[μ－σ，μ＋σ]即[60，80]内，一等品的质量差在(μ＋σ，μ＋2σ]即(80，90]内，
所以正品的质量差在[60，80]和(80，90]内，即[60，90]内，
故该企业生产的产品为正品的概率P＝P(60≤X≤90)＝P(60≤X≤80)＋P(80(2)①从n＋2件正品中任选两个，有种选法，其中等级不同有＝2n(种)选法，
故某箱产品抽检被记为B的概率为：p＝＝＝．
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
f (p)＝p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5)，
则f ′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)，
所以当p∈时，f ′(p)>0，函数f (p)单调递增，当p∈时，f ′(p)<0，函数f (p)单调递减，
所以当p＝时，f (p)取得最大值，最大值为f ＝＝．
此时由p＝＝，n≥2，n∈N*，
得n＝3，
所以n＝3时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为．
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