培优专练10 隐圆问题
1．设定点M和N，动点为H，若＝2，则动点H的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．抛物线
2．(2024·北京大兴三模)已知A(－1，0)，B(1，0)，若点P满足PA⊥PB，则点P到直线l：m(x－)＋n(y－1)＝0的距离的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则＋的最小值为( )
A．36－24 B．48－24
C．36 D．24
4．已知点P(0，4)，圆M：(x－4)2＋y2＝16，过点N(2，0)的直线l与圆M交于A，B两点，则||的最大值为( )
A．8 B．12
C．6 D．9
5．(多选)(2024·广东深圳模拟)已知M为直线x－y＋5＝0上的一点，动点N与两个定点O，A的距离之比为2，则( )
A．动点N的轨迹方程为＋y2＝4
B．≥2＋
C．的最小值为4
D．∠AON的最大值为
6．(2024·浙江杭州模拟)已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若PA2＋PB2＋PC2＝5，则PA的最大值为________．
7．(2024·四川雅安模拟)如图，已知点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD内(包含边界)一个动点，若点P到点A的距离是点P到BB1的距离的两倍，则点P的轨迹的长度为________．
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1．B [设＝2c，以线段MN的中点O为平面直角坐标系原点，MN所在直线为x轴，
建立如图所示平面直角坐标系，则M，N，
设H，则＝＝x2－c2＋y2＝2，
即x2＋y2＝2＋c2，所以H的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆．
故选B．]
2．C [由PA⊥PB可得点P的轨迹为以线段AB为直径的圆，圆心为，半径为1，
又直线l：m(x－)＋n(y－1)＝0，其过定点，
故距离的最大值为＋1＝3．]
3．A [以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系(图略)，则A，B，
设P，因为＝，所以＝，
两边平方并整理，得x2＋y2－6x＋1＝0，即＋y2＝8，
所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
则＋＝＋y2＋＋y2＝2＋2，
因为x2＋y2－6x＋1＝0，所以＋＝2＋2＝12x，
由y2＝8－≥0，得3－2≤x≤3＋2，
所以36－24≤12x≤36＋24，
由此可知＋的最小值为36－24．
故选A．]
4．B [由题意知，M(4，0)，圆M的半径为4，设AB的中点D(x，y)，则ND⊥MD，即＝0，
又＝(x－2，y)，＝(x－4，y)，
所以(x－2)(x－4)＋y2＝0，即点D的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝1，设其圆心为E，则E(3，0)，半径为1，
所以|PD|的最大值为|PE|＋1＝＋1＝6，
因为||＝2||，所以||的最大值为12．故选B．]
5．AC [对于A，设N，由＝2 x2＋y2＝4 ＋y2＝4，故A正确；
对于B，如图，
M为直线x－y＋5＝0上的点，N为⊙C：＋y2＝4上的点，由点到直线的距离公式得，
C到直线x－y＋5＝0的距离为＝，所以－2，故B错误；
对于C，如图，
因为＝，所以＝的最小值为A到直线x－y＋5＝0的距离，由点到直线的距离公式得，＝4，故C正确；
对于D，如图，
过O作圆C的切线，切点为N，此时∠AON最大，因为＝2，＝4，∠ONC＝，所以∠AON＝，故D错误．故选AC．]
6． [以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，
则A，B，C，设P，
由PA2＋PB2＋PC2＝5，得x2＋＋＋y2＋＋y2＝5，
整理得x2＋y2－y－＝0，即x2＋＝，
因此，点P的轨迹是以M为圆心，半径r＝的圆，
PA的最大值等于＋r＝＝．]
7． [在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得BB1⊥平面ABCD，
因为PB 平面ABCD，所以BB1⊥PB，
则点P到BB1的距离等于点P到点B的距离，即＝2，
在底面ABCD中，以A为原点，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，可得A(0，0)，B(2，0)，
设P(x，y)，由＝2，可得＝2，
整理得＋y2＝，即点P的轨迹是以M为圆心，半径为的，
又由＝＝－2＝，
可得cos ∠BMF＝＝，
所以∠BMF＝，即所对的圆心角为，
所以点P的轨迹的长度为＝．]
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