培优专练11
1．解：(1)由题意可知，＝，①
又·2b·c＝，所以bc＝，②
由①②及a2＝b2＋c2，可得a＝2，b＝，
所以椭圆C的方程为＝1．
(2)先证：过椭圆＝1上一点A的切线方程为＝1，
证明如下：当过椭圆上一点A的切线斜率存在时，
设切线方程为y＝kx＋m，
联立 可得x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
因为直线与椭圆相切，
所以Δ＝－4＝0，
化简可得4k2－m2＋3＝0，
所以x1＝＝，代入y＝kx＋m可得，
y1＝kx1＋m＝k·＋m＝，
于是k＝－＝－·m＝－＝－，
故切线方程为y－y1＝－，即 ＝，
又＝12，故切线PA的方程为＝1，
当过椭圆上一点A的切线斜率不存在时，切线方程为x＝±2，满足题意．
所以过椭圆＝1上一点A的切线方程为＝1，
故切线PA的方程为＝1，
同理，切线PB的方程为＝1，又因为切线过点P，
所以＝1，＝1，所以x1＋y1＝－1，x2＋y2＝－1，故直线AB的方程为x＋y＋1＝0．
(3)由题意可知直线l的斜率存在，且k>0，设直线l的方程为y＝k－3，
联立椭圆C的方程＝1，
得x2＋x＋64k2－96k＋24＝0，Δ＞0，令M，N，
所以x3＋x4＝－，x3·x4＝．
令Q，解方程组 得x0＝．
又＝＝
＝＝＝2，
所以＝2．
2．解：(1)∵l1，l2与抛物线E相切于C，D两点，
设C在左侧，则C，D，
由x2＝2y得y＝x2，所以y′＝x，
所以l1的斜率为－1，l2的斜率为1，
此时l1的方程为y－＝－，即x＋y＋＝0．
l2的方程为y－＝x－1，即x－y－＝0，联立 得P．
(2)设过P的两条切线分别与抛物线切于，
由(1)知直线PQ的斜率为x1，所以直线PQ的方程为＝x1，即y＝，
直线PR的斜率为x2，直线PR的方程为＝x2，即y＝，
所以P且A，B，
设△PAB外接圆的圆心为M，则M在AB的垂直平分线上，而AB的中点为，所以m＝，
设△PAB外接圆方程为＋＝＋n2，又外接圆过P，所以＋＝＋n2，
所以－nx1x2＝0，所以n＝，
所以＋＝＋，
整理得x2－x＋y2－y＋＝0，
所以x2＋y2－x＋＝0，
令
即所以△PAB的外接圆过定点．
(3)CD：y＝，所以C，D，
所以＝
＝＝，
P到CD的距离为d＝，
所以S△PCD＝，
设x1x2＝－t2，t>0，＝r，由＝＋4x1x2＝r2－4t2≥0，
r≥2t，当且仅当x1＋x2＝0时等号成立．
所以S△PCD＝＝，
令f ＝，f ′＝＝，
f 在上单调递减，在上单调递增，
所以f ≥f ＝，所以△PCD面积S的最小值为．
1/1培优专练11 圆锥曲线中的双切线问题——同构法
1．(2024·云南师大附中模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，上、下顶点与其中一个焦点围成的三角形的面积为，过点P作椭圆C的两条切线，切点为A，B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求直线AB的方程；
(3)过点P作直线l交椭圆C于M，N两点，交直线AB于点Q，求的值．
2．(2024·江苏泰州模拟)已知抛物线E：x2＝2y，焦点为F，过F作y轴的垂线l0，点P在x轴下方，过点P作抛物线E的两条切线l1，l2，l1，l2分别交x轴于A，B两点，l1，l2分别交l0于C，D两点．
(1)若l1，l2与抛物线E相切于C，D两点，求点P的坐标；
(2)证明：△PAB的外接圆过定点；
(3)求△PCD面积S的最小值．
1/1
y米
M
B
0
Q
X
N
A
P
