培优专练12
1．证明： 由条件知，A(－2，0)，B(2，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立
化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＞0，x1＋x2＝，x1x2＝，
直线AM：y＝(x＋2)，直线BN：y＝(x－2)．
联立得，x＝．
法一：(配凑半代换)
原式＝＝
＝＝＝4．
故直线AM与直线BN的交点在定直线x＝4上．
法二：(和积转换)
分离常数得：x1＋x2＝＝2－，x1x2＝＝1－．
则有x1·x2＝(x1＋x2)－4．
代入得x＝＝2×＝4．
故直线AM与直线BN的交点在定直线x＝4上．
2．解：(1)由题意，双曲线C：＝1的离心率为，且点在双曲线C上，
可得解得a2＝8，b2＝8，
所以双曲线C的方程为＝1．
(2)双曲线C的左焦点为F，
当直线l的斜率为0时，此时直线为y＝0，与双曲线C的左支只有一个交点，舍去；
当直线l的斜率不为0时，设l：x＝my－4，
联立方程组消去x，得y2－8my＋8＝0，易得Δ>0，
由于过点F作直线l交C的左支于A，B两点，
设A，B，则y1＋y2＝，y1y2＝<0，可得－1因为＝＝，
则＝＋y1y2＝
＝y1y2－2m＋4＝＋4＝－4，
即≠0，可得MA与MB不相互垂直，
所以不存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上．
(3)证明：由直线AP：y－2＝k1，得Q，
所以k2＝＝，又k1＝kPA＝＝，所以k1－k2＝＝＝，
因为k1＝，所以k1my1＝y1－2，且y1＋y2＝my1y2，
所以k1－k2＝＝＝－2，
即k1－k2为定值．
1/1培优专练12 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题
1．已知点A，B是椭圆E：＝1的左、右顶点，若直线l：y＝k(x－1)与椭圆E交于M，N两点，求证：直线AM与直线BN的交点在一条定直线上．
2．已知双曲线C：＝1的离心率为，点在双曲线C上．过C的左焦点F作直线l交C的左支于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若M，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由；
(3)点P，直线AP交直线x＝－2于点Q．设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求证：k1－k2为定值．
