培优专练13
1．解：(1)由题意得f ＝ln x－ax＋1的定义域为(0，＋∞)，
则f ′＝－a＝，
当a≤0时，f ′>0，f 在(0，＋∞)上单调递增，无极值；
当a>0时，令f ′<0，则x>，令f ′>0，则0即f 在上单调递增，在上单调递减，故x＝为函数的极大值点，函数极大值为f ＝－ln a，无极小值．
(2)证明：设g(x)＝xex－ln x－x－1，x>0，
g′＝ex－－1，令h＝ex－－1，
则h′＝ex＋>0(x>0)，即h在(0，＋∞)上单调递增，
h＝－3<0，h＝ee－－1>0，
故 x0∈，使得h＝0，
即＝1，
当x∈时，h<0，g在上单调递减，
当x∈时，h>0，g在(x0，＋∞)上单调递增，
故g＝g＝－x0－1＝0，
即g≥0，即xex≥ln x＋x＋1，则ln x＋x＋1≤xex．
2．解：(1)证明：设G＝x－g(x)＝x－sin x，x>0，
则G′＝1－cos x≥0，所以G在区间上单调递增，
所以G>G＝0，即g(x)设F(x)＝f (x)－x＝ex＋cos x－2－x，x>0，
则F′(x)＝ex－sin x－1，
由x>0时，g(x)－x，
所以F′(x)＝ex－sin x－1>ex－x－1，
设h＝ex－x－1，则h′＝ex－1，
当x>0时，h′>0，所以函数h在区间上单调递增，
故在区间上，h>h＝0，即在区间上，ex>x＋1，
所以F′(x)>ex－x－1>0，
所以F(x)在区间上单调递增，
所以F(x)>F(0)＝0，即f >x．
所以g(x)(2)由f ＋g>ax在区间上恒成立，
即ex＋cos x－2＋sin x－ax>0在区间上恒成立，设φ＝ex＋cos x－2＋sin x－ax，
则φ>0在区间上恒成立，
而φ′＝ex－sin x＋cos x－a，
令m＝φ′，则m′＝ex－cos x－sin x，
由(1)知，在区间上，ex>x＋1>sin x＋cos x，
即m′＝ex－cos x－sin x>0，
所以在区间上函数φ′单调递增，
①当a≤2时，φ′＝2－a≥0，
故在区间上函数φ′>0，
所以函数φ在区间上单调递增，
又φ＝0，故φ>0，
即函数f ＋g>ax在区间上恒成立；
②当a>2时，φ′＝2－a，
φ′(ln (a＋2))＝a＋2－sin ＋cos [ln (a＋2)]－a＝2－sin >0，
故在区间上函数φ′存在零点x0，
即φ′＝0，
又在区间上函数φ′单调递增，
故在区间上函数φ′<φ′＝0，
所以在区间上函数φ单调递减，
由φ＝0，所以在区间上φ<φ＝0，与题设矛盾．
综上，a的取值范围为．
1/1培优专练13 隐零点问题
1．(2024·山东威海二模)已知函数f ＝ln x－ax＋1．
(1)求f 的极值；
(2)证明：ln x＋x＋1≤xex．
2．(2024·广东实验中学模拟)已知函数f ＝ex＋cos x－2，g＝sin x．
(1)求证：当x∈时，g(x)(2)若x∈，f ＋g>ax恒成立，求实数a的取值范围．
