培优专练14
1．C [构造函数f (x)＝x－cos x，
则f ′(x)＝1＋sin x≥0在定义域R上恒成立，
所以函数f (x)＝x－cos x为增函数，
又因为α＋β>0，所以α>－β，
所以f (α)>f (－β)，
即α－cos α>－β－cos (－β)，
即α－cos α>－β－cos β，
所以α＋β>cos α－cos β，
即“α＋β>0”能推出“α＋β>cos α－cos β”；
根据α＋β>cos α－cos β，
可得α－cos α>－β－cos β，
即α－cos α>－β－cos (－β)，
所以f (α)>f (－β)，所以α>－β，即α＋β>0，
所以“α＋β>cos α－cos β”能推出“α＋β>0”，
所以“α＋β>0”是“α＋β>cos α－cos β”的充要条件．]
2．D [对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1＜x2，＜2，易知m≥0，
则x1ln x2－x2ln x1＜2x2－2x1，
所以x1(ln x2＋2)＜x2(ln x1＋2)，
即＞，
令f (x)＝，则函数f (x)在(m，＋∞)上单调递减，
因为f ′(x)＝－，由f ′(x)＜0，可得x＞，
所以函数f (x)的单调递减区间为，
所以(m，＋∞) ，所以m≥，
因此，实数m的最小值为．故选D．]
3．B [由已知aea设f (x)＝xln x，则f (ea)∵a>0，∴ea>1，
∵b>0，b ln b>aea>0，∴b>1．
当x>1时，f ′(x)＝ln x＋1>0，
则f (x)在(1，＋∞)上单调递增，∴ea4．C [∵ex－a≥ln x＋a，
∴ex－a＋x－a≥x＋ln x，
∴ex－a＋x－a≥eln x＋ln x，
设f (t)＝et＋t，则f ′(t)＝et＋1＞0，
∴f (t)在R上单调递增，
故ex－a＋(x－a)≥eln x＋ln x，
即f (x－a)≥f (ln x)，
即x－a≥ln x，即a≤x－ln x，
设g(x)＝x－ln x，
则g′(x)＝1－＝，
令g′(x)＞0，x＞1，令g′(x)＜0，0＜x＜1，
∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，
故g(x)min＝g(1)＝1，故a≤1．故选C．]
5．ACD [设f ＝ex－x，则f ′＝ex－1>0，f 在单调递增，
所以f >f ，即ex－x>ey－y，即ex－ey>x－y，A正确；
令x＝e，y＝1，则ln x－ln y＝1，而x－y＝e－1＞1，所以ln x－ln y设h(x)＝ln x－1＋(x>0)，则h′(x)＝＝，
当0当x>1时，h′(x)＝>0，函数h(x)单调递增；
则h(x)＝ln x－1＋在x＝1时取得最小值h(1)＝ln 1－1＋＝0，即ln x≥1－，C正确；
设g＝x·ex，则g′＝ex>0，所以g＝x·ex在上是增函数，
所以由x>y>0得x·ex>y·ey，即>，D正确．故选ACD．]
6．a>>b [>ln b－ln a，＋ln a>＋ln b，
令g(x)＝＋ln x，x>，g′(x)＝－＝>0，
g(x)在(，＋∞)上单调递增．
∵g(a)>g(b)，∴a>b，
又∵>>，
∴a>>b．]
7．解：由f ≤eax，可得x2＋2ln x≤eax＋ax，
即＋ln x2≤eax＋ax．
令g＝ex＋x，易知g单调递增．
由＋ln x2≤eax＋ax，可得g≤g，则ln x2≤ax，即．
设h＝，则h′＝，当x>e时，h′<0，h单调递减，
当00，h单调递增，所以＝h(e)＝＝，
所以，则a的取值范围为．
1/1培优专练14 同构法在函数与导数中的应用
1．已知α，β∈R，则“α＋β>0”是“α＋β>cos α－cos β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1＜x2，＜2，则m的最小值是( )
A．e2 B．e
C．1 D．
3．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeaA．ab>e B．b>ea
C．ab4．若关于x的不等式ex－a≥ln x＋a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A． B．(－∞，e]
C．(－∞，1] D．(－∞，2]
5．(多选)(2024·湖北武汉二模)已知x>y>0，则下列不等式正确的有( )
A．ex－ey>x－y
B．ln x－ln y>x－y
C．ln x≥1－
D．>
6．已知a，b∈(，＋∞)，且满足>ln ，则a，b，的大小关系是________．
7．(2024·内蒙古三模)已知函数f ＝x2－ax＋2ln x，若a>0，f ≤eax恒成立，求a的取值范围．
