培优专练15
1．D [法一(构造法)：令f (x)＝ex－x－1，则f ′(x)＝ex－1，
当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＞0，
故f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f (0.1)＞f (0)，
即e0.1－0.1－1＞0，
故a＝e0.1－1＞0.1．
令g(x)＝sin x－x，则g′(x)＝cos x－1＜0在(0，1)上恒成立，
故g(x)＝sin x－x在(0，1)上单调递减，
故g(0.1)＜g(0)，即sin 0.1－0.1＜0，
即b＝sin 0.1＜0.1＜a．
令h(x)＝ln (x＋1)－sin x，
则h′(x)＝－cos x＝，
令m(x)＝1－(x＋1)cos x，则m′(x)＝－cos x＋(x＋1)sin x，
易知m′(x)在上单调递增，
且m′＝－＝＜0，
故m′(x)＜0在上恒成立，
故m(x)在上单调递减，
又m(0)＝1－1＝0，
故m(x)＜0在上恒成立，
故h′(x)＜0在上恒成立，
故h(x)在上单调递减，
故h(0.1)＜h(0)＝0，
即ln 1.1－sin 0.1＜0，即c＜b，故c＜b＜a．故选D．
法二(泰勒公式)：设x＝0.1，则a＝e0.1－1＝0.1＋＋…，
b＝sin 0.1＝0.1－＋…，c＝ln 1.1＝0.1－＋…，
故c＜b＜a．故选D．]
2．D [因为ln a＝0.1，ln c＝ln 1.052＝2ln 1.05，
即ln a＝0.05，ln c＝ln (1＋0.05)，
先证明ln (1＋x)＜x，x＞－1，
设f (x)＝ln (1＋x)－x，x＞－1，
则f ′(x)＝－1＝－，
令f ′(x)＞0，则－1＜x＜0；令f ′(x)＜0，则x＞0，
所以函数f (x)在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f (0.05)＜f (0)，
即ln (1＋0.05)－0.05＜0，即ln (1＋0.05)＜0.05，
所以2ln 1.05＜0.1＝ln e0.1，
即1.052＜e0.1，即c＜a．
而b＝＜＝＝1.1，
c＝1.052＝1.102 5＞1.1，所以a＞c＞b．故选D．]
3．A [设函数f ＝ln x＋－1，f ′＝，
因为x∈时f ′<0，x∈时f ′>0，
所以f 在上单调递减，在上单调递增，则f ≥f ＝0，所以ln x≥1－，当且仅当x＝1时，等号成立．
令x＝，则ln >．
设函数g＝ln x－，g′＝，
因为x∈时g′>0，x∈时g′<0，
所以g在上单调递增，在上单调递减，则g≤g＝0，所以g＝ln 3－<0，即ln 3<<，所以．
综上可得，a>b>c．故选A．]
4．C [a＝，b＝－1，c＝ln ＝ln ，
设f ＝ex－x－1，
所以f ′＝ex－1>0，
所以f 在上单调递增，所以f >f ＝0，即ex－1>x．
所以－1>，即a
设g＝ln －x，
则g′＝－1＝<0，
所以g在上单调递减，所以g所以ln <，即c5．C [由eb＝1.01，ln ＝0.01，得b＝ln 1.01，a＝e0.01－1，
设g＝ex－x－1，则g′＝ex－1，
所以当x∈时，g′<0，g单调递减，
当x∈时，g′>0，g单调递增，所以g≥g＝0，即ex－1≥x，
同理可证ln ≤x，所以ln ≤x≤ex－1，
当x＝0.01时，可得ln 1.01设f ＝ln x－(x>0)，则f ′＝，
所以当x∈时，f ′<0，f 单调递减，
当x∈时，f ′>0，f 单调递增，
所以f >f ，即ln 1.01－>ln 1，整理得ln 1.01>，即b>c，所以c6．解：(1)证明：由f (x)＝sin x－x＋x3，得f ′(x)＝cos x－1＋x2，x≥0，
令g(x)＝cos x－1＋x2，得g′(x)＝－sin x＋x，
令h(x)＝－sin x＋x，得h′(x)＝－cos x＋1，
h′(x)＝－cos x＋1≥0，当且仅当x＝2kπ(k∈Z)，h′(x)＝0，
所以g′(x)在[0，＋∞)上单调递增，
故g′(x)≥g′(0)＝0，当且仅当x＝0，g′(x)＝0，
所以f ′(x)在[0，＋∞)上也单调递增，
故f ′(x)≥f ′(0)＝0，当且仅当x＝0，f ′(x)＝0，
所以f (x)在[0，＋∞)上仍单调递增，
故f (x)≥f (0)＝0．
(2)对于右侧：由(1)可知，当x>0时，h(x)＝－sin x＋x>0，即sin x故sin <，k≥1，k∈N*，
所以sin ＋sin ＋…＋sin
＝
＝＝<，所以该侧不等号始终成立；
对于左侧：由(1)可知当x>0时，sin x>x－x3．
设F(x)＝x－x3－ln (1＋x)，x∈，则F′(x)＝1－x2－＝－．
在x∈上有F′(x)>0，所以F(x)在x∈上单调递增，故当00．
此时sin x>x－x3>ln (1＋x)，
令x＝，
可知sin >ln ＝ln ＝ln －ln ，所以当n≥2，n∈N*时，
sin ＋sin ＋…＋sin
＝sin ＋ln －ln ，
令sin ＋ln －ln >ln 2，
注意到sin ＋ln >ln ＋ln ＝ln 2，
所以可得到一个充分条件，
即－1，
所以任取＋1，n∈N*，
则该侧不等式成立，因此，对于任意＋1，n∈N*，原不等式都成立．即所求的n是存在的．
1/1培优专练15 切线不等式在导数中的应用
1．已知a＝e0.1－1，b＝sin 0.1，c＝ln 1.1，则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
2．已知a＝e0.1，b＝，c＝1.052，则( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．b＞c＞a D．a＞c＞b
3．(2024·河北廊坊模拟)已知a＝ln ，b＝，c＝，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
4．已知a＝，b＝－1，c＝ln ，则( )
A．aC．c
5．(2024·山东菏泽模拟)已知实数a，b分别满足ln ＝0.01，eb＝1.01，且c＝，则( )
A．aC．c
6．已知函数f (x)＝sin x－x＋x3．
(1)证明： x∈[0，＋∞)，f (x)≥0恒成立；
(2)是否存在n∈N*，使得ln 2
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