培优专练16 极值点偏移问题
1．(2024·安徽合肥二模)已知曲线C：f ＝ex－xex在点A处的切线为l．
(1)求直线l的方程；
(2)证明：除点A外，曲线C在直线l的下方；
(3)设f ＝f ＝t，x1≠x2，求证：x1＋x2<2t－－1．
2．(2024·广东湛江一模)已知函数f ＝．
(1)讨论f 的单调性；
(2)若方程f ＝1有两个根x1，x2，求实数a的取值范围，并证明x1x2>1．
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1．解：(1)因为f ＝ex－xex，
所以f ＝0，f ′＝－xex，f ′＝－e，
所以直线l的方程为y＝－e，即y＝－ex＋e．
(2)证明：令g＝－ex＋e－ex＋xex，则g′＝－e－ex＋ex＋xex＝－e＋xex，
令h＝g′，则h′＝ex，
由h′>0，解得x>－1，由h′<0，解得x<－1，
所以h在上单调递减，在上单调递增，
当x→－∞时，h→－e，h＝0，
所以g在上单调递减，在上单调递增，
所以g≥g＝0，当且仅当x＝1等号成立，
所以除切点之外，曲线C在直线l的下方．
(3)证明：由f ′＝－xex>0，解得x<0，f ′＝－xex<0，解得x>0，
所以f 在上单调递增，在上单调递减，
f (x)max＝f ＝1，f ＝0，
当x→－∞时，f →0．
因为f ＝f ＝t，x1≠x2，则0
因为曲线C在点处的切线方程为φ＝－ex＋e，
设点在切线上，有t＝－e，
故x3＝－＋1，
由(1)知x∈时，φ>f ，
则φ>f ＝t＝φ，
即x2要证：x1＋x2<2t－－1，
只要证：x1＋x2只要证：x1<2t－2，
又t＝，
只要证：－2，
令F＝2ex－2xex－x－2，x<0，
则F′＝－2xex－1，
易证F′在上单调递增，在(－1，0)上单调递减，
所以F′≤F′＝－1<0，
所以F在上单调递减，所以F>F＝0成立，
所以原命题成立．
2．解：(1)由题意可得x>0，>0，所以a>0，
f ＝＝的定义域为，
又f ′＝＝－，
由f ′＝0，得x＝1，
当00，则f 在上单调递增，
当x>1时，f ′<0，则f 在上单调递减．
(2)由＝1，得＝a，
设g＝，g′＝＝，由g′＝0，得x＝1，
当00，则g在上单调递增，
当x>1时，g′<0，则g在上单调递减，
又g＝0，g＝1，且当x趋近于正无穷，g趋近于0，
g＝的图象如下图，
所以当0证明：不妨设x1设h＝g－g＝－x，
h′＝＋ln x＝ln x≥0，
所以h在上单调递增，
又h＝0，所以h＝g－g<0，
即g又g＝g，所以g又x2>1，>1，g在上单调递减，
所以x2>，故x1x2>1．
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