培优专练17
1．证明： f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ln x．
令f ′(x)>0，得x>1；
令f ′(x)<0，得0所以f (x)在区间(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减．
因为f (x)＝b有两个实数根x1，x2，且x1所以0先证不等式x2－x1<2b＋e＋，
因为f (e)＝0，f ＝－，
f ′(e)＝1，f ′＝－1，
所以曲线y＝f (x)在x＝和x＝e处的切线方程分别为l1：y＝－x－和l2：y＝x－e，
如图，
令g(x)＝f (x)－＝xln x＋，0令g′(x)>0，则令g′(x)<0，则0所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，所以g(x)≥g＝0，
所以f (x)≥－x－在(0，1)上恒成立，
设直线y＝b与直线l1交点的横坐标为，
则≤x1，
设直线y＝b与直线l2交点的横坐标为，
同理可证x2≤，
因为＝－b－，＝b＋e，
所以x2－x1<－＝b＋e－
＝2b＋e＋(两个等号不同时成立)，
因此x2－x1<2b＋e＋．
再证不等式x2－x1>be＋e，
函数f (x)图象上有两点A(1，－1)，B(e，0)，
设直线y＝b与直线OA：y＝－x，AB：y＝(x－e)的交点的横坐标分别为x3，x4，
易证x1所以x2－x1>x4－x3＝(e－1)b＋e－(－b)＝be＋e．
综上可得be＋e2．证明： f (x)＝(x＋1)(ex－1)，
令f (x)＝0，有x1＝－1，x2＝0，
f ′(x)＝ex(x＋2)－1，f ′(－1)＝－1＋，
f ′(0)＝1，设曲线y＝f (x)在(－1，0)处的切线为y＝h(x)，
则h(x)＝f ′(－1)(x＋1)＝(x＋1)，
令F(x)＝f (x)－h(x)＝(x＋1)，
则F′(x)＝(x＋2)ex－，
令m(x)＝F′(x)＝(x＋2)ex－，
则m′(x)＝(x＋3)ex，
所以当x<－3时，m′(x)<0；
当x>－3时，m′(x)>0，
所以F′(x)在(－∞，－3)上单调递减，
在(－3，＋∞)上单调递增，
当x→－∞时，F′(x)→－，又F′(－1)＝0，
所以当x<－1时，F′(x)<0，F(x)单调递减；
当x>－1时，F′(x)>0，F(x)单调递增，
所以F(x)≥F(－1)＝0，所以f (x)≥h(x)恒成立，则f (x1)≥h(x1)，
设h(x)＝m的根为x3，则x3＝－1＋，
又h(x)单调递减，
且m＝h＝f (x1)≥h(x1)，
所以x3≤x1．
设曲线y＝f (x)在(0，0)处的切线为y＝t(x)，
则t(x)＝x，
令G(x)＝f (x)－t(x)＝(x＋1)(ex－1)－x，
则G′(x)＝(x＋2)ex－2，
依据F′(x)的单调性可知，G′(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，
当x→－∞时，G′(x)→－2，且G′(0)＝0，
所以G(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以G(x)≥G(0)＝0，
所以f (x)≥t(x)恒成立，所以f (x2)≥t(x2)，
设t(x)＝m的根为x4，则x4＝m，
又函数t(x)单调递增，
且m＝t(x4)＝f (x2)≥t(x2)，所以x4≥x2，
所以x2－x1≤x4－x3＝m－
＝1＋＝1＋2m＋，
即证x2－x1≤1＋2m＋．
3/3培优专练17 用切(割)线法证明零点差不等式
1．已知函数f (x)＝x ln x－x．若f (x)＝b有两个实数根x1，x2，且x12．已知函数f (x)＝(x＋1)(ex－1)，若函数g(x)＝f (x)－m(m>0)有两个零点x1，x2，且x11/1
