专题限时集训(二)
1．A [由z(1＋i)＝i2 024，得z＝＝＝＝，
故复数z的虚部为－．故选A．]
2．C [依题意得z＝1－2i，
所以＝＝＝＝－i，
则在复平面内对应的点为．
故选C．]
3．B [由题意知，e1·e2＝1×1×cos 60°＝．
又因为a⊥b，所以a·b＝(e1＋e2)·(xe1＋2e2)＝x|e1|2＋(x＋2)e1·e2＋2|e2|2＝x＋3＝0，故x＝－2．故选B．]
4．C [∵a＝(3，4)，b＝(1，0)，∴c＝a＋tb＝(3＋t，4)，
若〈a，c〉＝〈b，c〉，
则＝，即＝，解得t＝5．故选C．]
5．A [在 ABCD中，因为＝2，＝2＝a，＝b，
所以＝＝＝－a＋b．故选A．
]
6．B [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
iz＝i(x＋yi)＝xi＋yi2＝－y＋xi，
|iz|＝|－y＋xi|＝＝，
又|iz|＝1，所以＝1，即x2＋y2＝1，
所以z对应的点(x，y)在以原点为圆心，1为半径的圆上，|z－4＋3i|＝|x＋yi－4＋3i|＝表示复平面内的点(x，y)到点(4，－3)的距离，
所以|z－4＋3i|的最小值是－1＝4．
故选B．]
7．A [由题意＝λ()，当λ∈(0，＋∞)时，如图，
可知点P在BC边上的中线所在直线上，
∴动点P的轨迹一定通过△ABC的重心．故选A．]
8．C [＝，由投影的定义知cos ∠PAB即为AP在直线AB上的投影，结合图形得，当过P的直线与半圆弧BC相切于P点且平行于BC时，cos ∠PAB最大为3，此时＝＝2×3＝6．
当P与C或B点重合时，cos ∠PAB最小为2，
此时＝＝2×2＝4，
∴∈．故选C．]
9．AC [若a∥b，则2x－4＝0，解得x＝2，故A正确．
若a⊥b，则4x＋2＝0，解得x＝－，故B错误．
若x＝3，则a＝(3，1)，又b＝(4，2)，所以向量a与向量b的夹角的余弦值为＝＝，故C正确．
若x＝－1，则a＝(－1，1)，又b＝(4，2)，所以向量b在向量a上的投影向量为＝＝(1，－1)，故D错误．故选AC．]
10．ABD [方程z2－2z＋2＝0，化为(z－1)2＝i2，解得z＝1＋i或z＝1－i．不妨令z1＝1＋i，z2＝1－i，
对于A，显然z1，z2互为共轭复数，即＝z2，A正确；
对于B，z1z2＝(1＋i)(1－i)＝2，而|z1|＝|z2|＝，则z1z2＝|z1|2，B正确；
对于C，z1＋z2＝2，C错误；
对于D，由|z1|＝|z2|＝，得＝＝1，D正确．
故选ABD．]
11．AD [对于A，＝＝＝)＝，故A正确；
对于B，因为＝0，所以AB⊥AC，
由题意得E为BC的一个三等分点(靠C点更近)，所以在上的投影向量为，故B错误；
对于C，＝＝＝＝，
＝，
故＝＋＋＝＋＋5，
又＝ ＝＋－2＝144，
所以＋＝2＋144＝162，
故＝＋＋5＝41，故C错误；
对于D，＝＋＋＝4，
而＋－2＝144 ＝＋)－72，
代入得＋)＝44 ＋＝88，故选项D正确．故选AD．]
12． [∵|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，
∴a2＋b2－2a·b＝3，a2＋b2＋2a·b＝4a2＋b2－4a·b，∴a2＝2a·b，∴b2＝3，∴|b|＝．]
13． [根据题意，＝(1，1)，＝(0，3)，
所以cos 〈〉＝＝＝，
又0≤〈〉≤π，
所以向量与的夹角为．]
14． － [以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(－1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D(－1，1)，E，
可得＝(－1，0)，＝(0，1)，＝，
因为＝λ＋μ＝(－λ，μ)，
则所以λ＋μ＝．
因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈上，设F(a，－3a)，a∈，
因为G为AF中点，则G，
可得＝(a＋1，－3a)，＝，
则＝＋(－3a)＝5－，且a∈，
所以当a＝－时，取到最小值为－．]
1/1专题限时集训(二) 复数、平面向量
一、单项选择题
1．(2024·山东菏泽一模)已知复数z满足z(1＋i)＝i2 024，其中i为虚数单位，则z的虚部为( )
A．－ B．
C．－i D．
2．(2024·山西晋城一模)设z在复平面内对应的点为(1，－2)，则在复平面内对应的点为( )
A． B．
C． D．
3．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，且a＝e1＋e2，b＝xe1＋2e2．若a⊥b，则实数x的值为( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
4．(2024·辽宁大连模拟)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则实数t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
5．(2024·浙江绍兴二模)已知四边形ABCD是平行四边形，＝2＝2，记＝a，＝b，则＝( )
A．－a＋b B．－a－b
C．a＋b D．a－b
6．(2024·浙江丽水二模)复数z满足|iz|＝1(i为虚数单位)，则|z－4＋3i|的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
7．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ()，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．重心 B．外心
C．内心 D．垂心
8．(2024·湖北荆门模拟)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，P为半圆弧BC上的动点(含端点)，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．(2024·湖北武汉模拟)已知向量a＝(x，1)，b＝(4，2)，则( )
A．若a∥b，则x＝2
B．若a⊥b，则x＝
C．若x＝3，则向量a与向量b的夹角的余弦值为
D．若x＝－1，则向量b在向量a上的投影向量为()
10．(2024·广东佛山二模)已知复数z1，z2满足z2－2z＋2＝0，则( )
A．＝z2 B．z1z2＝|z1|2
C．z1＋z2＝－2 D．＝1
11．如图，在△ABC中，BC＝12，D，E是BC的三等分点，则( )
A．＝
B．若＝0，则在上的投影向量为
C．若＝9，则＝40
D．若＝4，则＋＝88
三、填空题
12．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝__________．
13．已知复数1＋i与3i在复平面内分别对应向量和(其中i是虚数单位，O为坐标原点)，则与夹角为________．
14．(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为________．
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