专题限时集训(四) 三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换
一、单项选择题
1．(2024·山东潍坊二模)将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，则g(x)＝( )
A．sin 2x B．sin
C．－sin D．cos 2x
2．已知函数f (x)＝cos ＋1(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)在区间上的最大值为( )
A． B．1
C． D．2
3．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
4．(教材改编)函数f (x)＝－3cos 的单调递增区间为( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
5．(2025·河北保定模拟)若tan ＝－3，tan β＝3，则＝( )
A．－1 B．
C． D．
6．已知函数f (x)＝sin (ω>0)，若f (x)在上有两个零点，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝－，则下列结论正确的是( )
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
8．(2024·湖北武汉模拟)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．A＝2
B．f (x)的最小正周期为π
C．f (x)在内有3个极值点
D．f (x)在区间上的最大值为
三、填空题
9．(2024·江苏南京一模)已知α，β∈，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan α＋tan β＝________．
10．(2024·北京通州二模)已知函数f (x)＝sin (ω>0)．若f (x)的最小正周期为π，将f (x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________；若f (x)在区间上有3个零点，则ω的一个取值为________．
四、解答题
11．(2024·浙江台州一模)已知函数f (x)＝sin ωx＋sin x＋cos x(ω∈R)．
(1)当ω＝0时，求f (x)的最小正周期以及单调递减区间；
(2)当ω＝2时，求f (x)的值域．
12．(2024·山东临沂一模)已知向量a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b．
(1)若f (x0)＝，且x0∈，求cos 2x0的值；
(2)将f (x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象向下平移1个单位长度，最后使所有点的纵坐标变为原来的(横坐标不变)，得到函数g(x)的图象，当x∈时，解不等式g(x)≥．
1/1专题限时集训(四) 三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换
1．B [将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos ＝sin x的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)＝sin ．故选B．]
2．C [由题意T＝＝π，解得ω＝2，
所以f (x)＝cos ＋1，
当x∈时，t＝2x＋∈，
所以f (x)在区间上的最大值为cos＋1＝，当x＝0时取到最大值．
故选C．]
3．C [因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，
函数y＝2sin 的最小正周期为T＝，
所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点．
故选C．]
4．D [f (x)＝－3cos ，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z．
故选D．]
5．B [由tan ＝－3，得＝－3，
解得tan α＝2，又tan β＝3，
所以＝＝＝＝．
故选B．]
6．A [因为0≤x≤，所以≤ωx＋ω＋，
因为函数f (x)＝sin (ω>0)在区间上有两个零点，
所以2π≤ω＋<3π，解得≤ω<4，
即ω的取值范围是．故选A．]
7．ABD [由题意cos θ＝－sin θ－，代入sin2θ＋cos2θ＝1，即sin2θ＋
整理得sin2θ＋sinθ－＝0，即＝0，
解得sin θ＝或sin θ＝－．因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝，
于是cos θ＝－sin θ－＝－＝－，故B正确．
因为所以θ∈，故A正确；
tan θ＝＝－，故C错误；
sin θ－cos θ＝＝，故D正确．
故选ABD．]
8．ABD [对于A，B，根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2, T＝4×＝π，∴ω＝＝2，故A、B正确；
对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
由于0<φ<，∴φ＝， ∴f (x)＝2sin ．
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝kπ，k∈Z，
当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－；
当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝．故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误；
对于D，∵x∈，∴2x＋∈，
故当2x＋＝，此时f (x)取最大值2sin ＝2sin ＝，故D正确．故选ABD．]
9． [由题可知sin α－sin β＝－cos α＋cos β，
所以sin α＋cos α＝sin β＋cos β，
所以sin ＝sin ，
因为α，β∈，
所以α＋∈，β＋∈，
又α≠β，所以α＋＋β＋＝π，故α＋β＝，
所以sin α－sin β＝sin α－cos α＝－，
两边平方后得sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝，
故sinαcos α＝，
tan α＋tan β＝tan α＋＝＝＝．]
10．cos x 6(答案不唯一，符合＜ω≤即可) [因为f (x)的最小正周期为π，所以T＝＝π，解得ω＝2．
所以f (x)＝sin ，将f (x)的图象向左平移个单位长度，
可得y＝sin ＝sin ＝cos 2x的图象，
再把y＝cos 2x图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝cos x．
因为x∈，所以ωx＋∈，
f (x)在区间上有3个零点，
所以3π<≤4π，解得<ω≤，
则ω的一个取值可以为6．]
11．解： (1)当ω＝0时，f (x)＝sin x＋cos x
＝sin ，T＝2π，
令＋2kπ≤x＋＋2kπ(k∈Z)，得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，
所以函数f (x)的最小正周期为2π，单调递减区间为(k∈Z)．
(2)当ω＝2，f (x)＝sin 2x＋sin x＋cos x
＝2sin x cos x＋sin x＋cos x，
设sin x＋cos x＝sin ＝t(－≤t≤)，则sin 2x＝t2－1，
令g(t)＝t2＋t－1，t∈，
又g(t)＝－，
故当t＝时，g(t)取得最大值1＋，
当t＝－时，g(t)取得最小值－，
所以f (x)的值域为．
12．解： (1)因为a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b，
所以f (x)＝2cos2x＋2sinx cos x＝cos 2x＋1＋sin 2x＝2＋1＝2sin ＋1，
因为f (x0)＝，所以2sin ＋1＝，所以sin ＝，
又x0∈，所以2x0＋∈，
所以cos ＝－＝－，
所以cos2x0＝cos
＝cos cos ＋sin sin ＝－＝．
(2)将f (x)的图象向右平移个单位长度，得到y＝2sin ＋1＝2sin ＋1的图象，再将y＝2sin ＋1的图象向下平移1个单位长度，得到y＝2sin ，
最后将y＝2sin 图象的所有点的纵坐标变为原来的(横坐标不变)，得到y＝sin ，
即g(x)＝sin ，
由g(x)≥，即sin ，
所以＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝0可得x∈，令k＝－1可得x∈，又x∈，
所以x∈，
即当x∈时，不等式g(x)≥的解集为．
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