专题限时集训(五) 解三角形
一、单项选择题
1．(2024·浙江金华三模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知A＝，a＝，b＝2，则c＝( )
A．
C．3
D．3
2．(2024·福建三明模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝2，B＝，sin A＝sin C，则△ABC的面积为( )
A．4 B．
C．2 D．1
3．(2024·湖北武汉模拟)在△ABC中，已知AB＝x，BC＝2，C＝，若存在两个这样的△ABC，则x的取值范围是( )
A． B．(0，2)
C．(2，2) D．(，2)
4．(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝( )
A．
C．
5．(2024·山东临沂一模)在同一平面上有相距14 km的A，B两座炮台，A在B的正东方．某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18 km外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18 km外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为( )
A．7 km B．8 km
C．9 km D．10 km
6．(2024·河北秦皇岛三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝2C，b＝a，则( )
A．△ABC为直角三角形
B．△ABC为锐角三角形
C．△ABC为钝角三角形
D．△ABC的形状无法确定
二、多项选择题
7．(2024·湖南长沙雅礼中学模拟)已知△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且△ABC的面积S△ABC＝6，则下列结论正确的是( )
A．△ABC的周长为5＋
B．△ABC的三个内角A，B，C满足A＋B＝2C
C．△ABC的外接圆半径为
D．△ABC的中线CD的长为
8．(2024·江苏淮安模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是( )
A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰直角三角形
B．若a＝b sin C＋c cos B，则C＝
C．若a＝12，b＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．在锐角三角形ABC中，不等式b2＋c2－a2>0恒成立
三、填空题
9．(2024·山东威海二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＋c＝4，cos C＝－，则sin A＝________．
10．(2024·广东广州模拟)已知△ABC中，点D在边AC上，B＝60°，sin A＝3sin C，AC＝，则△ABC的面积为________；若＝2，则BD＝________．
四、解答题
11．(2024·黑龙江哈尔滨二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝4，＝cos A＋．
(1)求角B的大小；
(2)已知直线BD为∠ABC的平分线，且与AC交于点D，若BD＝，求△ABC的周长．
12．(2024·广东梅州二模)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a cos B－b sin A＝c，c＝2．
(1)求A的大小：
(2)如图，点D在BC上．
①当AD⊥AB，且AD＝1时，求AC的长；
②当BD＝2DC，且AD＝1时，求△ABC的面积S△ABC．
2/3专题限时集训(五)
1．D [由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即13＝4＋c2－2c，解得c＝3(c＝－舍去)．
故选D．]
2．B [由正弦定理及sin A＝sin C a＝c，
由已知及余弦定理的推论cos B＝，得＝，解得c＝2，故a＝c＝2，
所以S△ABC＝ac sin B＝×2×2×＝．故选B．]
3．C [由正弦定理＝，可得sin A＝＝，
由题意可知，关于A的方程sin A＝在A∈有两解，在同一坐标系内分别作出曲线y＝sin A，A∈和水平直线y＝，
因为它们有两个不同的交点，所以<<1，所以24．C [因为B＝，b2＝ac，
则由正弦定理得sin A sin C＝sin2B＝．
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac＝ac，
即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sinA sin C＝，
所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝，
因为A，C为三角形内角，则sin A>0，sin C>0，则sin A＋sin C＝．故选C．]
5．D [依题意设炮弹第一次命中点为C，则AB＝14，AC＝BC＝AM＝18，
∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝，
在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos θ，
即182＝182＋142－2×18×14cos θ，解得cos θ＝，
所以cos θ＝2cos2－1＝，又θ为锐角，解得cos＝(负值舍去)，
在△ABM中，BM2＝AM2＋AB2－2AM·AB cos ＝182＋142－2×18×14×＝100，所以BM＝10，即B炮台与弹着点M的距离为10 km．故选D．]
6．A [由b＝a，可得sin B＝sin A，
又B＝2C，则sin 2C＝sin (π－3C)＝sin 3C＝sin (2C＋C)，
即sin 2C＝sin 2C cos C＋cos 2C sin C，
即2cos C＝2cos2C＋(2cos2C－1)，
即4cos2C－2cosC－＝0，
由B＝2C>C，故C只能为锐角，可得cos C＝，
因为07．BC [因为△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，所以a∶b∶c＝2∶3∶，
设a＝2t，b＝3t，c＝t，t>0，利用余弦定理的推论，得cos C＝＝＝，
由于C∈(0，π)，所以C＝．
因为S△ABC＝6，所以ab sin C＝×2t×3t×＝6，解得t＝2．
所以a＝4，b＝6，c＝2．
对于A, △ABC的周长为a＋b＋c＝10＋2，故A不正确；
对于B，因为C＝，所以A＋B＝，故A＋B＝2C，故B正确；
对于C，由正弦定理得外接圆半径为R＝＝＝，故C正确；
对于D，如图所示，在△ABC中，利用正弦定理＝，解得sin A＝，
又a利用余弦定理CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos A＝19，解得CD＝，故D错误．故选BC．]
8．BD [A选项，sin 2A＝sin 2B，A＋B∈(0，π)，
故2A＝2B或2A＋2B＝π，
解得A＝B或A＋B＝，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，A错误；
B选项，a＝b sin C＋c cos B，由正弦定理得sin A＝sin B sin C＋sin C cos B，
因为sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
所以sin B sin C＋sin C cos B＝sin B cos C＋cos B sin C，
故sin B sin C＝sin B cos C，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
故sin C＝cos C，tan C＝1，
因为C∈(0，π)，故C＝，B正确；
C选项，若a＝12，b＝10，B＝60°，则a sin B＝6>10＝b，
则符合条件的△ABC有0个，C错误；
D选项，△ABC为锐角三角形，故A为锐角，
由余弦定理的推论得cos A＝>0，故不等式b2＋c2－a2>0恒成立，D正确．
故选BD．]
9． [在△ABC中，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C，所以c2－b2＝6－2b×，
所以(c－b)(c＋b)＝6＋2b，
因为c＋b＝4，所以4(c－b)＝6＋2b，
所以4c－6b＝6，解得b＝1，c＝3，
由cos C＝－，可得sin C＝，
在△ABC中，由正弦定理可得＝，
所以sin A＝＝＝．]
10． [记BC＝a，AB＝c，AC＝b．
由题设及正弦定理得a＝3c，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
代入化简得7c2＝7，解得c＝1，a＝3．
所以S＝ac sin B＝．
法一：由＝2，得＝，
＝＝＝)＝．
所以BD2＝＝
＝＋||||cos 60°＋＝，即BD＝．
法二：在△ABC中，cos A＝＝＝－．
由＝2，得||＝||＝，
在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A
＝1＋－2×1×＝，所以BD＝．]
11．解： (1)由已知，得2b cos B＝c cos A＋，
根据正弦定理，得2sin B cos B＝sin C cos A＋，
即2sin B cos B＝sin A cos C＋cos A sin C，
即2sin B cos B＝sin (A＋C)＝sin B，
由于00，所以cos B＝，所以B＝．
(2)因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
所以ac sin ∠ABC＝BD·c·sin ∠ABD＋BD·a·sin ∠CBD，
因为直线BD为∠ABC的平分线，
所以∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝，
所以ac×＝c×a×，
则ac＝(a＋c)，即ac＝(a＋c)，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC，
即16＝a2＋c2－ac，
所以16＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－(a＋c)，
解得a＋c＝2或a＋c＝－(舍)，故△ABC的周长为2＋4．
12．解： (1)因为a cos B－b sin A＝c，
所以由正弦定理可得sin A cos B－sin B sin A＝sin C，
又sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，
所以－sin B sin A＝cos A sin B，
因为B为三角形内角，sin B>0，
所以－sin A＝cos A，可得tan A＝－，
因为A∈(0，π)，所以A＝．
(2)①此时AB＝2＝2AD，AD⊥AB，
所以DB＝＝，
所以cos ∠ABC＝＝，sin ∠ABC＝＝，
sin C＝sin ＝＝－．
在△ABC中，由正弦定理可得＝，即AC＝＝＝．
②设∠CAD＝α，由S△ABC＝S△BAD＋S△CAD，
可得b＝2sin ＋b sin α，
即b－b sin α＝2sin ．
又＝＝，
由于BD＝2DC，
所以＝，
所以b＝＝ sin α＝，b＝，
则S△ABC＝bc sin A＝．
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