专题限时集训(六) 等差数列、等比数列
一、单项选择题
1．(2024·湖南永州三模)已知非零数列满足2nan＋1－2n+2an＝0，则＝( )
A．8 B．16
C．32 D．64
2．(2024·山东大联考二模)设等差数列的前n项和为Sn，若a5＋a8＝30，S10＝120，则S14＝( )
A．156 B．252
C．192 D．200
3．(2024·河南南阳三模)已知等比数列的公比为q，若a1＋a2＝12，且a1，a2＋6，a3成等差数列，则q＝( )
A． B．－
C．3 D．－3
4．(2024·天津南开模拟)已知等差数列和的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝( )
A．
C．
5．(2024·河北廊坊模拟)已知m，n，p，q∈N*，且数列是等比数列，则“aman＝apaq”是“m＋n＝p＋q”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为( )
A．1 666 B．1 654
C．1 472 D．1 460
二、多项选择题
7．(2024·山东泰安二模)已知等差数列的前n项和为Sn，a2＝4，S7＝42，则下列说法正确的是( )
A．a5＝4
B．Sn＝n2＋n
C．为递减数列
D．的前5项和为
8．已知Sn是等比数列的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则( )
A．a＋c＝0
B．b是数列的公比
C．ac<0
D．可能为常数列
三、填空题
9．甲、乙两个机器人分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m．若甲、乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过________分钟．
10．(2024·山西晋中三模)下面给出一个“三角形数阵”：
1 2
3 6
2 4 8 16
…
该数阵满足每一列成等差数列，每一行的项数由上至下构成公差为1的等差数列，从第3行起，每一行的数由左至右均构成公比为2的等比数列，记第1行的数为a1，第2行的数由左至右依次为a2，a3，依次类推，则a100＝________．
四、解答题
11．(2024·辽宁本溪模拟)设Sn是数列的前n项和，Sn＝2n2－17n．
(1)求的通项公式，并求Sn的最小值；
(2)设bn＝，求数列的前n项和Tn．
12．(2024·江西上饶模拟)数列满足a1＝，an∈，tan an＋1＝，n∈N*．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求正整数m，使得sin a1·sin a2·…·sin am＝．
1/1专题限时集训(六)
1．D [由2nan＋1－2n+2an＝0，可得an＋1＝4an，则＝＝64．故选D．]
2．B [等差数列中，S10＝120，得＝120，则a5＋a6＝a1＋a10＝24，
设等差数列的公差为d，而a5＋a8＝30，
因此2d＝a8－a6＝a5＋a8－(a5＋a6)＝6，解得d＝3，
则a6＋a9＝a5＋a8＋2d＝36，
所以S14＝＝7(a6＋a9)＝252．故选B．]
3．C [∵a1，a2＋6，a3成等差数列，∴2＝a1＋a3，又a1＋a2＝12，∴2＝a1＋a3，
整理可得3a1＋a3＝3a1＋a1q2＝36，
∴＝＝＝，解得q＝0(舍去)或q＝3．
故选C．]
4．C [因为Sn，Tn分别是等差数列和的前n项和，
S12＝，T12＝，
又＝，
所以＝＝＝＝．故选C．]
5．B [设等比数列的公比为b，
若aman＝apaq，则a1bm-1·a1bn-1＝a1bp-1·a1bq-1，因为a1不等于0，
所以bm ＋ n-2 ＝ bp ＋ q-2，若b＝±1时，无法得出m＋n＝p＋q，
所以“aman＝apaq”不是“m＋n＝p＋q”的充分条件；
若“m＋n＝p＋q”，则aman＝a1bm-1·a1bn-1＝bm＋n-2＝bp＋q-2＝a1bp-1·a1bq-1＝apaq，
所以“aman＝apaq”是“m＋n＝p＋q”的必要条件．
所以“aman＝apaq”是“m＋n＝p＋q”的必要不充分条件．
故选B．]
6．A．1 666 B．1 654
C．1 472 D．1 460
A [由两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： 2，14，26，38，50，…，182，194，共有＋1＝17项，是公差为12的等差数列，故新数列的前17项的和为×17＝1 666，即数列的各项之和为1 666．故选A．]
7．BC [等差数列中，S7＝＝7a4＝42，解得a4＝6，而a2＝4，
因此公差d＝＝1，an＝a2＋(n－2)d＝n＋2．
对于A项，a5＝7，A错误；
对于B项，Sn＝＝n2＋n，B正确；
对于C项，＝1＋为递减数列，C正确；
对于D项，＝＝，所以的前5项和为
＋…＋＝＝，D错误．故选BC．]
8．ABC [设等比数列的公比为q．
当q＝1时，Sn＝na1，显然不是Sn＝a·bn＋c的形式，所以D错误；当q≠1时，Sn＝＝·qn，
所以c＝，a＝－，b＝q，即a＋c＝0，ac＝<0，所以ABC正确．故选ABC．]
9．15 [由已知甲每分钟走的路程成等差数列，设为，则an＝2＋(n－1)×1＝n＋1．
乙每分钟走的路程为5 m，
因为第1次相遇甲、乙共走70 m，第2次相遇甲、乙共走了210 m，第二次相遇经过的时间设为t分钟，
则＋5t＝210，
所以t＝15(负值舍去)．]
10．1 792 [由1＋2＋…＋13＝＝91<100，1＋2＋…＋14＝＝105＞100，100－91＝9，知a100是第14行的第9个数．
而每一行的第一个数构成首项和公差均为的等差数列，从而第14行的第一个数是＝7．
又因为从第3行起，每一行的数由左至右成公比为2的等比数列，故第14行的第9个数等于7×29-1＝7×256＝1 792．]
11．解：(1)由数列的前n项和Sn＝2n2－17n，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－[2(n－1)2－17(n－1)]＝4n－19．
当n＝1时，a1＝2－17＝－15，满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝4n－19，n∈N*．
由an＝4n－19≥0，得n≥，
所以n＝1，2，3，4时，an<0，n≥5时，an>0，
所以Sn的最小值为S4＝4a1＋d＝－36．
(2)由(1)知，当n≤4时，bn＝＝－an；
当n≥5时，bn＝＝an，Sn＝2n2－17n，
当n≤4时，Tn＝－Sn＝17n－2n2．
当n≥5时，Tn＝－＋a5＋a6＋…＋an＝Sn－2S4＝2n2－17n＋72，
所以Tn＝
12．解：(1)由已知条件可知，cos an>0，
故an＋1∈，tan2an＋1＝＝＝1＋tan2an，
则tan2an＋1－tan2an＝1，
故数列是以1为公差的等差数列，且首项为tan2a1＝tan2＝，
故tan2an＝＋n－1＝，
即tanan＝．
(2)sin a1·sin a2·…·sin am
＝
＝·…·＝＝，
由＝，得m＝3 333．
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