第24章圆强化训练（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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第24章圆强化训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．已知圆的半径为5，且该圆的圆心到一直线的距离为7，则该直线与圆的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
2．用一个半径为20，圆心角为的扇形围成一个如图所示的圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　）
A．6 B．5 C．6π D．5π
3．如图，是的直径，点C，D在上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，弦交于点，，，则的直径为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．
5．如图，，为的弦，为的直径，，相交于点E，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为圆的直径，点，点是圆上的两个点，连接，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，半径为的与交于点，且与相切，过点作交于点，点是边上动点．则周长最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在中，，，为外一点，且，则的度数为 ．
10．将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为 ．
11．如图，已知是的外接圆，，则 ．

12．已知，则的最大值为 ．
13．“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为 ．
14．如图，是的直径，点，在上，，，垂足分别为点．若，则的长为 ．
15．如图1，把圆形井盖卡在角尺（角的两边互相垂直，一边有刻度）之间即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移，如图2，边与圆的两个交点对应的长为，则可知井盖的半径是 ．
16．如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
17．如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，，与交于点，若．
(1)求的度数；
(2)若，，求扇形的面积．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，
(1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标；
(2)画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求在旋转过程中所扫过的面积（结果保留）
19．如图，为内接三角形，为直径，点在线段延长线上，线段过点，且交于，．
(1)若，求的大小；
(2)若，求弧、线段、围成的阴影部分的外围周长．
20．如图，在正方形中，点P，点Q分别在边和上，连接交对角线于点E，将正方形沿折叠，使点A落在边上的点F处，点D落在点G处，交于点H．
(1)求证：；
(2)求证：A，E，H三点共线；
(3)设正方形的面积为，面积为，求的最小值．
21．如图，是一个木制的圆形锅盖，上面用两根横木进行加固，中间有一个木把手，这种木制锅盖物美价廉，使用者不容易被烫伤，极大地方便人们的生活如图是木制圆形锅盖的示意图，横木，木把手在的直径上，，都与垂直且将三等分，求这个圆形锅盖的半径大约是多少？结果保留整数，参考数据：
22．如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E．连接．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，求的长．
《第24章圆强化训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C C C A B A
1．A
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．通过比较半径与圆心到直线的距离即可判断．
【详解】解：∵圆的半径为5，且该圆的圆心到一条直线的距离为7，
，
∴直线与圆相离，
∴直线与圆没有交点．
故选：A．
2．A
【分析】设这个圆锥的底面半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的底面半径是6．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出的度数，根据平角的定义求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可．
【详解】解：连接，如图所示，
，
，
，
，
，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出，故，得，即，设，则，运用勾股定理列式代入数值得，解得．即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵
∴
，
∴
，
，
，
．
设，
则，
在中，，
即，
解得．
的直径．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了圆周角定理及推论，三角形内角和定理．根据圆周角定理得，根据得，可得，据此计算即可得．
【详解】解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．A
【分析】本题主要考查圆周角，三角形外角的性质．根据题意可得，然后根据三角形外角的性质可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，连接，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质求出即可求解，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
为圆的直径，
，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
故选：．
8．A
【分析】本题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及轴对称的最短路线问题，延长交于点，连接，交于点，则．此时的值最小，即的周长最小，求此时的周长即可．
【详解】解：如图，延长交于点，连接，交于点，则．
此时的值最小，即的周长最小
设与相切于，连接，
则，
，
，
；
，为的半径，
是的切线，
连接，则
，
，
，
，
解得：，
，
周长最小值为，
故选：A．
9．或
【分析】本题考查圆的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，以点A为圆心，长为半径作圆，可知点在圆A上，分两种情况：点D在优弧上时，和点在劣弧上时，分别计算即可．
【详解】解：以点A为圆心，长为半径作圆，
∵，
∴点在圆A上，
∵，
∵点D为形外一点，
当点D在优弧上时，
∴，
当点在劣弧上时，
∴，
故答案为：或．
10．
【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据圆锥的侧面展开图可得扇形的半径为，再利用扇形的面积公式计算即可得．
【详解】解：∵将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，
∴这个扇形的半径为，
又∵扇形的圆心角为，
∴扇形的面积为，
故答案为：．
11．/25度
【分析】本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得，推出，利用三角形内角和定理求出，进而得到，再根据，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：由题意可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握相关知识．根据的最大值就是方程所代表的圆周上的点到坐标原点的距离最大值的平方，即可求解．
【详解】解： 连接坐标原点与圆心所得的直线与圆的交点、，
则时，取最小，当时，取最大，
原点与圆心的距离半径，
，
故答案为：．
13．13
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理，根据D是的中点，得到，三线合一，得到，，设半径为，在中，利用勾股定理，进行求解即可．
【详解】解：∵是的一部分，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设的半径为，则：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
故答案为：13．
14．9
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
利用垂径定理得出，，证明，得出，假设半径为，则，，利用勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
假设半径为，则，，
由勾股定理得，，
即，
解得，，
∴，
∴，
故答案为：9．
15．
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据勾股定理列方程是解题的关键．过圆心P作，交圆P于E，交于F，得到，设圆P的半径为r ，则 ，在中，，即，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图，过圆心P作，交圆P于E，交于F，
则，
设圆P的半径为r ，则
在中，，即，
解得：，
则井盖的半径是，
故答案为：
16．/
【分析】连接，根据已知条件得到是的直径，，根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴是的直径，，
∵分别与相切于点A和点D，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、扇形的面积以及勾股定理，注意得到，应用垂径定理是关键．
（1）由，，可求得的度数；由是半圆的直径， 根据“直径所对的圆周角是直角”，可求得，又由，证得，然后由“垂径定理”求得，最后根据圆周角定理求得的度数；
（2）由“垂径定理”可求得的长，设，则， 在中，根据勾股定理列方程求解即可得到的长，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
是圆的直径，
，
，
，即，
，
；
（2）解：，，
，
设，则，
在中，，
即， 解得，
即，
扇形的面积为： ．
18．(1)图见解析，
(2)图见解析，
(3)
【分析】本题是三角形综合题，考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换、扇形面积，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、扇形面积公式是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求；
点的坐标为；
（3）解：由勾股定理得，，
在旋转过程中所扫过的面积为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）连接，则，由，，推导出，由交于，得，求得，而，则，求得；
（2）由，得，由，得，，则，所以，则，，求得，而，则阴影部分的外围周长为．
【详解】（1）解：如图所示，连接，则，
，
，，
，
交于，
，
，
，
，
，
，
即的大小为；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，，
，，
，
，
即弧、线段、 围成的阴影部分的外围周长为．
【点睛】本题考查的是同角的补角相等、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)的最小值为
【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、平行四边形的判定与性质、圆的性质等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键．
（1）作，交于点W，结合正方形及折叠性质证明，即可证明结论；
（2）作于点W，连接，设交于点，先证明，再证明，证明点A、B、F、共圆即可证明结论；
（3）作于点W，作的外接圆O，连接，作于点V，设，则，求出及，当A、O、V共线时a最小，即可求出结论．
【详解】（1）证明：如下图，作，交于点W，
∵正方形沿折叠，使点A落在边上的点F处，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴ ，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如下图，作于点W，设交于点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
，
∵正方形沿折叠，使点A落在边上的点F处，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴点A、B、F、共圆，
，
点在上，即点E与点重合，
∴A，E，H三点共线；
（3）解：如下图，作于点W，作的外接圆O，连接，作于点V，
设，
则正方形的面积为，
，
，
，
，
，
，即a最小值为，此时A、O、V共线，
，
∴的最小值为．
21．
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，全等三角形的判定，关键是由勾股定理列出关于的方程．连接，由垂径定理推出，判定，推出，设这个圆形锅盖的半径是，得到，由勾股定理得到，求出，于是得到答案．
【详解】解：连接，
直径，
，
，
，
，
，
将三等分，
，
设这个圆形锅盖的半径是，
，
，
，
，
（负值舍去）．
答：这个圆形锅盖的半径大约是．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，则，由，得，而，则，即可证明是的切线；
（2）由勾股定理得，而，所以，解得，则，如图，过点E作于点F，利用三角形的面积公式求得的长，然后利用勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2），
，
，
，
，
解得，
，
如图，过点E作于点F，连接，
在中，，
，
解得，
在中，，
，
（负值舍去），
，
在中，，
，
（负值舍去），
的长是．
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