第25章概率初步强化训练（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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第25章概率初步强化训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，则这两个数都为质数的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.36左右，则布袋中黄球估计有（ ）
A．18个 B．22个 C．28个 D．32个
3．在学校科技宣传活动中，某校科技活动小组将2个标有“北斗”，1个标有“高铁”，1个标有“天眼”的小球（除标记外其他都相同）放入不透明的袋子中，小康从袋子中随机摸出1个球，记下标记的内容后（不放回）再从中摸出1个球，则小康两次摸出的球是“北斗”和“高铁”的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法合理的是（ ）
A．小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是
B．某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票一定会有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是
D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是
5．在一个不透明口袋中，装有若干个颜色不同其余相同的球，若口袋中装有4个黄球，且摸到黄球的概率为，那么口袋中球的总个数为（　　）
A．4 B．8 C．9 D．12
6．有两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，5；乙袋中有3个球，分别标有数字1，3，4．这6个球除所标数字以外其他都一样．从甲、乙两袋中各随机摸出1个球，摸出的两个球上数字之和是6的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．围棋起源于中国，棋子颜色分黑白两种．在一个不透明的盒子中，装有1个黑色棋子和2个白色棋子，每个棋子除颜色外完全相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（　　　）
A． B． C． D．
8．如图，电路图上有编号为①②③④⑤⑥共6个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②，③或同时闭合开关④⑤⑥都可使一个小灯泡发光，问任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．1
二、填空题
9．小明先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则抛掷结果第一次反面向上、第二次正面向上的概率是
10．一个不透明布袋里有2个黑球和1个白球（仅有颜色不同），则从中任意摸出一个球后，放回后再摸一次，摸出两个黑球概率为 ．
11．不透明袋子中装有8个球，其中有3个绿球、5个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 ．
12．如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 结果保留
13．历史上，数学家维尼曾在实验中掷均匀的硬币30000次，正面朝上的次数是14994次，频率约为0.5，则这一枚均匀的硬币正面朝上的概率是 ．
14．小明将转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标注偶数数字（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为 ．
15．从这7个数中任意选一个数作为m的值，则使关于x的分式方程：的解是负数，且关于x的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ．
16．如图，一只蚂蚁在等腰直角三角形内自由爬行，点O是斜边的中点，点E，F分别在直角边上，且，则蚂蚁停留在阴影区域内的概率为 ．
三、解答题
17．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为．
(1)利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果；
(2)若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．此游戏的规则对双方公平吗？试说明理由．
18．将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
(1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________；
(2)从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是________；
(3)先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．
19．学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校李老师为了了解本班学生4月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求全班学生总人数；
(2)将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；
(3)张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类2人，B类1人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图或列表法求出一个A类，一个B类学生的概率．
20．为减轻学生负担，2021年4月某某中学成立相应部门进行作业调查，随机从八年级（共800人）一共抽取10位不同班的同学了解作业情况，他们在校完成所有作业的时间（单位）分别为：

(1)该数据的平均数为___________，中位数为___________．
(2)2023年也开展了此类活动，调查的同样是八年级学生的作业情况，10个同学平均每天完成所有作业的时间是小时．求该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率．
(3)该校的数学竞赛实力十分出众，即将参加2021年的区数学竞赛．比赛报名需要搭配1位男生和1位女生参赛，训练队一共有3名男生与2名女生，请用列表或树状图的方式说明随机从5人中挑选2人，刚好符合报名要求的概率．
21．某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取部分学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四个等级：A．；B．；C．；D．），并把整理结果绘制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图：
请你根据图提供的信息解答下列问题：
(1)本次调查抽取的学生人数为___________人；请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中D级所对应扇形的圆心角的度数为___________°；
(3)成绩为D级的4名学生中有3名男生和1名女生，从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率．
22．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只；
(2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？
《第25章概率初步强化训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A D D B A C
1．A
【分析】本题考查了利用列表法或树状图法求概率；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个数都为质数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中这两个数都为质数的情况有6种，
所以这两个数都为质数的概率是，
故选：A．
2．A
【分析】利用频率估计概率，用球的总数乘以摸到黄球的频率，即可得到黄球的估计数量．本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键．
【详解】解：（个）
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．将2个标有“北斗”，1个标有“高铁”，1个标有“天眼”的小球依次记为，画出树状图，找出小康两次摸出的球的所有等可能的结果，再找出小康两次摸出的球是“北斗”和“高铁”的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】解：将2个标有“北斗”，1个标有“高铁”，1个标有“天眼”的小球依次记为，画出树状图如下：
由图可知，小康两次摸出的球共有12种等可能的结果，其中，小康两次摸出的球是“北斗”和“高铁”的结果有4种，
则小康两次摸出的球是“北斗”和“高铁”的概率是，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了概率的意义，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据概率的意义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是，是错误的，3次试验不能总结出概率，故A不符合题意；
B、某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票不一定会有5张中奖，故B不符合题意；
C、某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是，是错误的，“中靶”与“不中靶”不是等可能事件，故C不符合题意；
D、小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是，故D符合题意；
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了已知概率求数量，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．熟练掌握概率公式是解题的关键．
根据概率公式即可求解．
【详解】解：由题意得，口袋中球的总个数为，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及摸出的两个球上数字之和是6的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
和 1 3 4
0 1 3 4
2 3 5 6
5 6 8 9
共有9种等可能的结果，其中摸出的两个球上数字之和是6的结果共2种，
∴摸出的两个球上数字之和是6的概率为．
故选：B．
7．A
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸到相同颜色的棋子的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】解：列表如下：
黑 白 白
黑 黑，白 黑，白
白 白，黑 白，白
白 白，黑 白，白
共有6种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果有2种，
两次摸到相同颜色的棋子的概率为
故选：A
8．C
【分析】本题考查了列举法求概率，解题的关键是找到所有存在的情况．
列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：开关①②③④⑤⑥两两组合，
有：①②，①③，①④，①⑤，①⑥，②③，②④，②⑤，②⑥，③④，③⑤，③⑥，④⑤，④⑥，⑤⑥，共15种情况，
能发光的有：①②，①③，①④，①⑤，①⑥，②③，共6种情况，
所以小灯泡发光的概率为．
故选：C．
9．
【分析】本题考查了概率的计算，正确列举符合条件的等可能性结果是解答本题的关键．
根据题意列举符合条件的等可能性结果，再利用概率的计算公式计算即可．
【详解】根据题意得：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，共有4种等可能性结果，即正正，正反，反正，反反，其中结果为第一次反面向上、第二次正面向上的只有1种，
所以第一次是反面朝上，第二次正面朝上的概率为，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了列表法和概率的相关问题，掌握列表法是解题的关键．
根据列表法列出等可能的结果，再进行求解即可．
【详解】解： 把2个黑球分别记为黑1、黑2，白球记为白．
因为是有放回地摸球，第一次摸球的结果和第二次摸球的结果相互组合，
列表如下：
第一次摸球 第二次摸球
黑1 黑1
黑1 黑2
黑1 白
黑2 黑1
黑2 黑2
黑2 白
白 黑1
白 黑2
白 白
从列表中可以看出，总共有9种等可能的结果．
其中两次都摸出黑球的结果有：（黑1，黑1）、（黑1，黑2）、（黑2，黑1）、（黑2，黑2），共4种．
所以摸出两个黑球的概率．
综上，摸出两个黑球的概率为．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查概率，掌握计算概率的公式是解决问题的关键．利用概率计算公式求解即可．
【详解】解：共有8种等可能性结果，其中红球有5个，则从袋子中随机取出1个球是红球的概率为．
故答案为：．
12．
【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得答案．
本题主要考查了几何概率的知识，解题的关键是了解概率的求法，难度不大．
【详解】解：正方形的边长为2，
阴影部分的面积，正方形的面积为4，
随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为
故答案为：
13．0.5/
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键．
【详解】解：依题意，数学家维尼曾在实验中掷均匀的硬币30000次，正面朝上的次数是14994次，频率约为0.5，
∴当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5．
故答案为：0.5．
14．24
【分析】本题主要考查几何概率，解题的关键是根据题意得出大于8的数字的个数及概率公式．用大于8的数字的个数除以总个数对应概率列出关于n的方程，解之可得．
【详解】解：∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，
∴，
解得：，
故答案为：24．
15．
【分析】本题考查了解分式方程，概率公式，一次函数的性质，正确求出分式方程的解是解题的关键．
直接利用分式方程有解的意义以及一次函数图象的性质得出m可能的取值，进而得出答案．
【详解】解：解分式方程得：，
∵方程的解为负数，
∴且，
解得：且，
又∵一次函数的图象不经过第一象限，
∴，
∴，
则且，
在这7个数中符合且的有，0，1，2这4个数，
∴使分式方程的解为负数且一次函数图象不过第一象限的概率为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了几何概率的知识．连接，证明，则，所以，即可求出蚂蚁停留在阴影区域内的概率为．
【详解】解：如图，连接，
∵三角形为等腰直角三角形，点O是斜边的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴蚂蚁停留在阴影区域内的概率为．
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)不公平，理由见解析
【分析】本题主要考查列表法或树状图法求概率，概率的应用；
（1）根据题意列树状图求解即可；
（2）根据题意得到共有2种结果；共有3种结果；分别求出概率，分析结果即可．
【详解】（1）解：树状图如下：
此游戏共有6种结果．
（2）解：不公平，理由如下：
根据树状图可知：
共有2种结果；
共有3种结果；
∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为；
小刚胜的概率大；
∴游戏的规则对双方不公平．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）根据概率公式计算即可得解；
（2）根据概率公式计算即可得解；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：2，3，4，5共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为；
故答案为：；
（2）解：2，3，4，5共有4张牌，从中随机抽出两张牌，结果有：和，和，和，和，和，和，共种情况，其中两张牌面数字的和是5的情况有种为和，
故从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是；
故答案为：；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种可能结果：22，23，24，25，32，33，34，35，42，43，44，45，52，53，54，55，其中恰好是4的倍数的共有4种，即24，32，44，52，
所以两位数恰好是4的倍数的概率是．
19．(1)人
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查统计与概率，熟练掌握统计图及概率的求法是解题的关键；
（1）由统计图可知A类所占百分比及人数，进而问题可求解；
（2）由（1）及统计图可得C类的人数及B类所占百分比，进而问题可求解；
（3）根据树状图可求解概率
【详解】（1）解：由统计图可知：
全班学生总人数为（人）；
（2）解：类人数为，
类所占百分比为，类百分比为，
补全图形如下：
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能结果，其中一个A类，一B类学生的有4种情况，
所以一个A类，一个B类学生的概率为=．
20．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查平均数、中位数、一元二次方程的应用、列表或树状图求概率，熟练掌握相关概念与方法是解题的关键．
（1）利用平均数和中位数的计算方法即可解决；
（2）设该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率为，由题意得，求解即可；
（3）利用列表法求概率即可．
【详解】（1）解：平均数为，
数据从小到大排列为，，，，，，，，，，
其中中间的两个数是和，
故中位数为，
故答案为：，；
（2）解：设该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率为,
由题意得，
解得：，（舍），
答：该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率为；
（3）解：根据题意列表为：
男1 男2 男3 女1 女2
男1 男2，男1 男3，男1 女1，男1 女2，男1
男2 男1，男2 男3，男2 女1，男2 女2，男2
男3 男1，男3 男2，男3 女1，男3 女2，男3
女1 男1，女1 男2，女1 男3，女1 女2，女1
女2 男1，女2 男2，女2 男3，女2 女1，女2
由表可知共有20种等可能的情况，其中恰好为1位男生和1位女生的有12种，
则刚好符合报名要求的概率为．
21．(1)，补全条形统计图见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次调查抽取的学生人数；求出C等级的人数，补全条形统计图即可．
（2）用乘以D等级的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及所选取的2名学生恰好都是男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：本次调查抽取的学生人数为（人）．
故答案为：40．
C等级的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）解：扇形统计图中D级所对应扇形的圆心角的度数为．
故答案为：36．
（3）解：列表如下：
男 男 男 女
男 （男，男） （男，男） （男，女）
男 （男，男） （男，男） （男，女）
男 （男，男） （男，男） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，男）
共有12种等可能的结果，其中所选取的2名学生恰好都是男生的结果有6种，
∴所选取的2名学生恰好都是男生的概率为．
22．(1)
(2)小明后来放进了25个黑球
【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键：
（1）利用频率估计概率，再根据概率公式求出黑球的个数即可；
（2）根据频率估计概率，设后来放进了个黑球，根据概率公式列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知，估计摸一次球能摸到黑球的概率是，
故袋中黑球的个数约为（只）；
故答案为：；
（2）由题意，放入一些黑球后，摸出黑球的概率为，
设后来放进了个黑球，则，
解得：；
答：小明后来放进了25个黑球．
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