2.1.1 倾斜角与斜率
学习目标 1.了解直线的倾斜角和斜率的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
一、直线的倾斜角
问题1 在平面中，怎样才能确定一条直线？
问题2 在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？
知识梳理
1.倾斜角的定义：
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .
2.倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
例1 (1)(多选)下列命题中，正确的是( )
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为－30°
C.倾斜角为0°的直线有无数条
D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为( )
A.α＋45° B.α－135°
C.135°－α D.α－45°
反思感悟 直线倾斜角的概念和范围
(1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
(2)注意倾斜角的范围.
跟踪训练1 (1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 .
(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为 .
二、直线的斜率
问题3 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.
(1)已知直线l经过O(0，0)，P(，1)，α的正切与O，P的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线l经过P1(－1，1)，P2(，0)，α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？
知识梳理
1.把一条直线的倾斜角α(α≠90°)的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ .
2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ ，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在.
3.直线的方向向量与斜率的关系：
(1)直线P1P2的方向向量＝(x2－x1，y2－y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为＝(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率.
(2)当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0，1).
例2 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.
(1)A(2，3)，B(4，5)；
(2)P(－3，1)，Q(－3，10)；
(3)M(2，4)，N(－3，4).
反思感悟 求直线的斜率的两种方法
(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α.
(2)利用斜率公式：k＝(x1≠x2).
跟踪训练2 (1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为 .
(2)若过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为 .
(3)已知直线l的方向向量的坐标为(1，)，则直线l的倾斜角为 .
三、倾斜角和斜率的应用
问题4 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？
知识梳理 设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0 不存在
k的增减性 随α的增大而 随α的增大而
例3 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
反思感悟 倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.
(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
跟踪训练3 已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2).
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.
1.知识清单：
(1)直线的倾斜角及其范围.
(2)直线斜率的定义和斜率公式.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.
1.(多选)下列说法正确的是( )
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率，则k∈R
C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
2.若经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于( )
A.2 B.1 C.－1 D.－2
3.已知A(－1，－2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，则x＝ ，直线AB的倾斜角为 .
4.经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 .(其中m≥1)
答案精析
问题1 两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
问题2 直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同.
知识梳理
1.(1)正向 (2)0°
2.0°≤α<180°
例1 (1)AC [任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；倾斜角不可能为负，故B错误；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故C正确；
当α=0°时，sin α=0；
当α=90°时，sin α=1，
故D错误.]
(2)AB [根据题意，画出图形，如图所示.
通过图象可知，
当0°≤α<135°时，
l1的倾斜角为α+45°；
当135°≤α<180°时，
l1的倾斜角为
45°+α-180°=α-135°.]
跟踪训练1 (1)60°或120°
解析 有两种情况：①如图(1)，
直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，
即直线l的倾斜角为60°.
(1) (2)
②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
(2)135°
解析 设直线l2的倾斜角为α2，
l1和l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC=120°，所以α2=120°+α1=135°.
问题3 (1)tan α==.
(2)tan α==1-.
(3)tan α=.
知识梳理
1.正切值 tan α
2.
例2 解 (1)存在.直线AB的斜率kAB==1，
则直线AB的倾斜角α满足tan α=1，
又0°≤α<180°，
所以倾斜角α=45°.
(2)不存在.因为xP=xQ=-3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α=90°.
(3)存在.因为yM=yN=4，
所以直线MN的斜率为0，
倾斜角α=0°.
跟踪训练2 (1)-
(2)1
解析 由斜率公式k==1，
得m=1.
(3)
解析 设直线l的斜率为k，
则k=，所以直线的倾斜角为.
问题4 当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大.
知识梳理
k>0 k<0 增大 增大
例3 解 如图，由题意可知kPA==-1，kPB==1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(-∞，-1]∪[1，+∞).
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
跟踪训练3 解 (1)由斜率公式可得直线AB的斜率
kAB==.
直线AC的斜率kAC==.
故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.
随堂演练
1.ABC
2.A [由题意知，tan 45°=，得
m=2.]
3.3
解析 因为A(-1，-2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，所以kAB=kBC，
即=，解得x=3，
设直线AB的倾斜角为θ，
由tan θ=1得θ=，
所以直线AB的倾斜角为.
4.0°<α≤90°
解析 当m=1时，倾斜角α=90°；
当m>1时，tan α=>0，
∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.(共68张PPT)
2.1.1
倾斜角与斜率
第二章 §2.1 直线的倾斜角与斜率
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1.了解直线的倾斜角和斜率的概念(重点).
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率(重点).
学习目标
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k==.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？本节课我们就来学习一下.
导 语
一、直线的倾斜角
二、直线的斜率
课时对点练
三、倾斜角和斜率的应用
随堂演练
内容索引
直线的倾斜角
一
提示 两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
在平面中，怎样才能确定一条直线？
问题1
提示 直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同.
在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？
问题2
1.倾斜角的定义：
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .
2.倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
正向
0°
0°≤α<180°
(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角；未作旋转时，倾斜角为0°.
(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线相于对x轴正方向的倾斜程度.倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等.
(3)一条直线的倾斜角必存在且唯一.
注 意 点
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(1)(多选)下列命题中，正确的是
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为-30°
C.倾斜角为0°的直线有无数条
D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)
√
例 1
任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；
倾斜角不可能为负，故B错误；
倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故C正确；
当α=0°时，sin α=0；当α=90°时，sin α=1，故D错误.
解析
√
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为
A.α+45° B.α-135°
C.135°-α D.α-45°
√
√
根据题意，画出图形，如图所示.
通过图象可知，
当0°≤α<135°时，
l1的倾斜角为α+45°；
当135°≤α<180°时，
l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.
解析
直线倾斜角的概念和范围
(1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
(2)注意倾斜角的范围.
反
思
感
悟
(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 .
跟踪训练 1
60°或120°
有两种情况：①如图(1)，
直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，
即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
解析
(1) (2)
(2)已知直线l1的倾斜角α1=15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为 .
135°
设直线l2的倾斜角为α2，
l1和l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC=120°，所以α2=120°+α1=135°.
解析
二
直线的斜率
提示 tan α==.
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.
(1)已知直线l经过O(0，0)，P(1)，α的正切与O，P的坐标有什么关系？
问题3
提示 tan α==1-.
(2)类似地，如果直线l经过P1(-1，1)，P2(0)，α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？
问题3
提示 tan α=.
(3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α的正切与P1，P2的坐标有什么关系？
问题3
1.把一条直线的倾斜角α(α≠90°)的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k= .
2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= ，
当x1=x2时，直线P1P2的斜率不存在.
正切值
tan α
3.直线的方向向量与斜率的关系：
(1)直线P1P2的方向向量=(x2-x1，y2-y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为=(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率.
(2)当x1=x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0，1).
(1)当x1=x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.
(2)当y1=y2时，直线斜率为0，倾斜角为0°.
(3)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关.
(4)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换.
(5)斜率从“数”的方面刻画了直线相对于x轴正方向的倾斜程度，取值范围为(－∞，＋∞).
(6)直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k=.
注 意 点
<<<
(课本例1) 如图，已知A(3，2)，B(-4，1)，C(0，-1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
例 2
直线AB的斜率kAB==；
直线BC的斜率kBC===-；
直线CA的斜率kCA===1.
由kAB>0及kCA>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
由kBC<0可知，直线BC的倾斜角为钝角.
解
经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.
(1)A(2，3)，B(4，5)；
例 2
存在.直线AB的斜率kAB==1，
则直线AB的倾斜角α满足tan α=1，
又0°≤α<180°，
所以倾斜角α=45°.
解
(2)P(-3，1)，Q(-3，10)；
不存在.因为xP=xQ=-3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α=90°.
解
(3)M(2，4)，N(-3，4).
存在.因为yM=yN=4，
所以直线MN的斜率为0，倾斜角α=0°.
解
求直线的斜率的两种方法
(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k=tan α.
(2)利用斜率公式：k=(x1≠x2).
反
思
感
悟
(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为 .
(2)若过点P(-2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为 .
跟踪训练 2
由斜率公式k==1，得m=1.
解析
-
1
(3)已知直线l的方向向量的坐标为(1)，则直线l的倾斜角为 .
设直线l的斜率为k，
则k=所以直线的倾斜角为.
解析
倾斜角和斜率的应用
三
提示 当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大.
当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？
问题4
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k的范围 k=0 _____ 不存在 _____
k的增减性 随α的增大而_____ 随α的增大而_____
k>0
k<0
增大
增大
已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
例 3
如图，由题意可知kPA==-1，kPB==1.
要使直线l与线段AB有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是(-∞，-1]∪[1，+∞).
解
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
解
倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.
(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
反
思
感
悟
已知A(3，3)，B(-4，2)，C(0，-2).
(1)求直线AB和AC的斜率；
跟踪训练 3
由斜率公式可得直线AB的斜率kAB==.
直线AC的斜率kAC==.
故直线AB的斜率为直线AC的斜率为.
解
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.
如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.
解
1.知识清单：
(1)直线的倾斜角及其范围.
(2)直线斜率的定义和斜率公式.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列说法正确的是
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率，则k∈R
C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
√
√
√
1
2
3
4
2.若经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于
A.2 B.1 C.-1 D.-2
√
由题意知，tan 45°=得m=2.
解析
1
2
3
4
3.已知A(-1，-2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，则x= ，直线AB的倾
斜角为 .
因为A(-1，-2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，所以kAB=kBC，
即=解得x=3，
设直线AB的倾斜角为θ，
由tan θ=1得θ=所以直线AB的倾斜角为.
解析
3
1
2
3
4
4.经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 .
(其中m≥1)
当m=1时，倾斜角α=90°；
当m>1时，tan α=>0，
∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
解析
0°<α≤90°
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 9 10
答案 D B AC D A -2 B B
题号 11 12
答案 B ∪
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)若直线l与x轴平行，
则直线l的斜率k==0，∴m=1.
(2)若直线l与y轴平行，
则直线l的斜率不存在，∴m=-1.
(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)，故k=，
即，解得m=.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(4)由题意可知，直线l的斜率k=1，
即=1，解得m=0.
(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，
即>0，解得-18.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD=60°，
所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以kOD=kBC=tan 60°=.
因为CD∥OB，且OB在x轴上，
所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB=kCD=0，
由菱形的性质，知∠COB=30°，∠OBD=60°，
所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
所以kOC=tan 30°=，kBD=tan 120°=-.
基础巩固
1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是
A.(4，2)与(-4，1) B.(0，3)与(3，0)
C.(3，-1)与(2，-1) D.(-2，2)与(-2，5)
√
D项，因为x1=x2=-2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.已知点A(，1)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角θ是
A.60° B.30°
C.120° D.150°
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
kAB==，
∴tan θ=且0°≤θ<180°，
∴θ=30°.
解析
3.(多选)已知点A(2，-1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可以为
A.(3，0) B.(-3，0)
C.(0，-3) D.(0，3)
√
设在x轴上点P的坐标为(m，0)或在y轴上点P的坐标为(0，n)，因为直线PA的倾斜角为45°，可得kPA=1，得==1，
解得m=3，n=-3，故点P的坐标为(3，0)或(0，-3).
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
4.下列可作为斜率k=-的直线的方向向量的是
A.(2，3) B.(3，2)
C.(-3，-2) D.(-3，2)
√
斜率为k=-的直线的一个方向向量为a=，所以与a共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量.经验证D中向量与共线.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则
A.k1B.k3C.k1D.k3√
答案
1
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12
答案
1
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11
12
设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，
则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°，
所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0，
即k1<0，k2>k3>0.
解析
6.若点P(3，m)在过点A(2，-1)，B(-3，4)的直线上，则m= .
答案
1
2
3
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6
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8
9
10
11
12
由点P(3，m)在过点A(2，-1)和B(-3，4)的直线上，
可得===-1，解得m=-2.
解析
-2
7.已知直线l经过两点A(-1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
答案
1
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9
10
11
12
若直线l与x轴平行，
则直线l的斜率k==0，
∴m=1.
解
(2)直线l与y轴平行？
答案
1
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3
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6
7
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9
10
11
12
若直线l与y轴平行，
则直线l的斜率不存在，
∴m=-1.
解
(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1).
答案
1
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10
11
12
直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)，
故k==，解得m=.
解
(4)直线的倾斜角为45°？
答案
1
2
3
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6
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9
10
11
12
由题意可知，直线l的斜率k=1，
即=1，解得m=0.
解
(5)直线的倾斜角为锐角？
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由题意可知，直线l的斜率k>0，
即>0，解得-1解
8.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
答案
1
2
3
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6
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11
12
答案
1
2
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11
12
在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD=60°，
所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，
所以kOD=kBC=tan 60°=.
因为CD∥OB，且OB在x轴上，
所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB=kCD=0，
由菱形的性质，知∠COB=30°，∠OBD=60°，
所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
所以kOC=tan 30°=，kBD=tan 120°=-.
解
9.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是
A.-2 B.-1
C.1 D.2
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
综合运用
设A(a，b)是直线l上任意一点，
则平移后得到点A'(a-2，b+2)，
于是直线l的斜率k=kAA'==-1.
解析
10.过点A(2，1)，B(m，3)的直线的倾斜角α的取值范围是，则实数m的取值范围是
A.(0，2] B.(0，4)
C.[2，4) D.(0，2)∪(2，4)
答案
1
2
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5
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11
12
√
答案
1
2
3
4
5
6
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10
11
12
由直线的倾斜角α的取值范围是，得直线的斜率存在时，k<-1或k>1.
当m≠2时，k==，
∴<-1或>1，
解得0当直线的斜率不存在时，m=2符合题意.
综上，实数m的取值范围是(0，4).
解析
11.已知f(x)=log2(x+1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是
A.>> B.>>
C.>> D.>>
√
答案
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
11
12
能力提升
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
因为表示经过点O(0，0)和点A(x，f(x))的直线的斜率，所以的几何意义可以表示为3个斜率，作函数f(x)=log2(x+1)的图象，如图所示.
解析
因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点
(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点与坐标原点O相连，如图所示，可得>>.
12.已知实数x，y满足方程x+2y=6，当1≤x≤3时，则的取值范围为
.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∪
的几何意义是过M(x，y)，N(2，1)两点的直线的斜率.因为点M在函数x+2y=6的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB，
且A，B，又kNA=-，kNB=，
所以∪.
解析
第二章 §2.1 直线的倾斜角与斜率
<<<作业14 倾斜角与斜率
分值：80分
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是
A.(4，2)与(－4，1) B.(0，3)与(3，0)
C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2，2)与(－2，5)
2.已知点A(，1)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角θ是
A.60° B.30° C.120° D.150°
3.(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可以为
A.(3，0) B.(－3，0)
C.(0，－3) D.(0，3)
4.下列可作为斜率k＝－的直线的方向向量的是
A.(2，3) B.(3，2)
C.(－3，－2) D.(－3，2)
5. 如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则
A.k1B.k3C.k1D.k36.若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝ .
7.(15分)已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？(3分)
(2)直线l与y轴平行？(3分)
(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1).(3分)
(4)直线的倾斜角为45°？(3分)
(5)直线的倾斜角为锐角？(3分)
8.(14分)如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
9.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是
A.－2 B.－1 C.1 D.2
10.过点A(2，1)，B(m，3)的直线的倾斜角α的取值范围是，则实数m的取值范围是
A.(0，2] B.(0，4)
C.[2，4) D.(0，2)∪(2，4)
11.已知f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是
A.>>
B.>>
C.>>
D.>>
12.已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，则的取值范围为 .
答案精析
1.D [D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.]
2.B [kAB＝，
∴tan θ＝且0°≤θ<180°，
∴θ＝30°.]
3.AC [设在x轴上点P的坐标为(m，0)或在y轴上点P的坐标为(0，n)，因为直线PA的倾斜角为45°，可得kPA＝1，得＝1，
解得m＝3，n＝－3，故点P的坐标为(3，0)或(0，－3).]
4.D [斜率为k＝－的直线的一个方向向量为a＝，所以与a共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量.经验证D中向量与共线.]
5.A [设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知
0°<α3<α2<90°<α1<180°，
所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0，
即k1<0，k2>k3>0.]
6.－2
解析 由点P(3，m)在过点A(2，－1)和B(－3，4)的直线上，
可得，
即＝－1，
解得m＝－2.
7.解 (1)若直线l与x轴平行，
则直线l的斜率k＝＝0，
∴m＝1.
(2)若直线l与y轴平行，
则直线l的斜率不存在，
∴m＝－1.
(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)，故k＝，
即，解得m＝.
(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，
即＝1，解得m＝0.
(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，
即>0，解得－18.解 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，
所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，所以kOD＝kBC＝tan 60°＝.
因为CD∥OB，且OB在x轴上，
所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB＝kCD＝0，
由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
所以kOC＝tan 30°＝，
kBD＝tan 120°＝－.
9.B [设A(a，b)是直线l上任意一点，
则平移后得到点A'(a－2，b＋2)，
于是直线l的斜率
k＝kAA'＝＝－1.]
10.B [由直线的倾斜角α的取值范围是，得直线的斜率存在时，
k<－1或k>1.
当m≠2时，k＝，
∴<－1或>1，
解得0当直线的斜率不存在时，m＝2符合题意.
综上，实数m的取值范围是(0，4).]
11.B [因为表示经过点O(0，0)和点A(x，f(x))的直线的斜率，所以的几何意义可以表示为3个斜率，作函数f(x)＝log2(x＋1)的图象，如图所示.
因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点与坐标原点O相连，如图所示，可得>>.]
12.∪
解析 的几何意义是过M(x，y)，N(2，1)两点的直线的斜率.因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，
且1≤x≤3，所以可设该线段为AB，
且A，B，
又kNA＝－，kNB＝，
所以的取值范围是
∪.
