2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.
一、两条直线平行的判定
问题1 在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？
问题2 平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？
知识梳理
对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2 .
例1 判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)；
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)；
(3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(－1，3)，N(2，0)；
(4)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5).
延伸探究 已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为 .
反思感悟 判断两条不重合的直线是否平行的方法
二、两条直线垂直的判定
问题3 平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
知识梳理
对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率 ，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
例2 已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值.
反思感悟 判断两条直线是否垂直的方法
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
跟踪训练1 (多选)下列各对直线互相垂直的是( )
A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5)
B.l1的斜率为－，l2过点P(1，1)，Q
C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2)
D.l1过点M(1，0)，N(4，－5)，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3)
三、平行与垂直的综合应用
例3 已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.
反思感悟 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
跟踪训练2 已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).
1.知识清单：
(1)两直线平行的判定.
(2)两直线垂直的判定.
(3)两直线平行、垂直的应用.
2.方法归纳：分类讨论、数形结合.
3.常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.
1.若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是( )
A. B.－ C.2 D.－2
2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为( )
A. B.－ C.a D.不存在
3.已知两点M(2，2)和N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为( )
A.(1，0) B.(6，0)
C.(1，0)或(6，0) D.不存在
4.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是 .
答案精析
问题1 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补.
问题2 两直线平行，倾斜角相等.
知识梳理
k1=k2
例1 解 (1)k1==1，
k2==，
k1≠k2，l1与l2不平行.
(2)k1=1，k2==1，k1=k2，
故l1∥l2或l1与l2重合.
(3)k1==-1，
k2==-1，
则有k1=k2.
又kAM==-2≠-1，
则A，B，M三点不共线.故l1∥l2.
(4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.
延伸探究 0或1
解析 当m=-2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m=-1时，直线MN的斜率不存在，
而直线AB的斜率存在，
MN与AB不平行，不符合题意；
当m≠-2，且m≠-1时，
kAB==，
kMN==.
因为AB∥MN，所以kAB=kMN，
即=，
解得m=0或m=1.
当m=0或1时，经检验，两直线不重合.综上，m的值为0或1.
问题3 k1·k2=-1.
知识梳理
不存在
例2 解 若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB=-1，
即·=-1，解得m=-7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，
∴kAB·kBC=-1，
即·=-1，解得m=3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，
∴kAC·kBC=-1，
即·=-1，解得m=±2.
综上所述，m=-7或m=3或m=±2.
跟踪训练1 ABD [A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直；
B中，l2过点P(1，1)，Q，
kPQ=，故两条直线垂直.
C中，kPQ=，故l1不与l2垂直.
D中，l1过点M(1，0)，N(4，-5)，kMN=- ，l2过点P(-6，0)，
Q(-1，3)，kPQ=，
故两条直线垂直.]
例3 解 A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得
kAB==，kCD==，
kAD==-3，
kBC==-，∴kAB=kCD，
由图可知AB与CD不重合，
∴AB∥CD.
由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行.
又kAB·kAD=×(-3)=-1，
∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形.
跟踪训练2 解 设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于
kAB=3，kBC=0，
∴kAB·kBC=0≠-1，
即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰.
(1)若CD是直角梯形的直角腰，
则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，
从而有x=3.
又kAD=kBC，∴=0，即y=3，
此时AB与CD不平行，
故所求点D的坐标为(3，3).
(2)若AD是直角梯形的直角腰，
则AD⊥AB，AD⊥CD，
∵kAD=，kCD=，
∴
解得x=，y=，
∴D点坐标为.
综上，D点坐标为(3，3)或.
随堂演练
1.B [由题意知，直线PQ的斜率存在，
由kPQ=kMN，
即=，
得m=-.经检验知，m=-符合题意.]
2.BD [当a≠0时，由k1·k2=-1知，k2=-，
当a=0时，l2的斜率不存在.]
3.C [设P点坐标为(x0，0)，
则kPM=，kPN=，
由于∠MPN=90°，
故kPM·kPN=-1，
即·=-1，
解得x0=1或x0=6，
故P点坐标为(1，0)或(6，0).]
4.平行或重合
解析 直线l1的倾斜角为135°，
故斜率=tan 135°=-1.
由l2经过点P(-2，-1)，Q(3，-6)，
得==-1，
所以=，
所以直线l1与l2平行或重合.(共71张PPT)
2.1.2
两条直线平行和垂直的判定
第二章 §2.1 直线的倾斜角与斜率
<<<
1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.(重点)
2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.(难点)
学习目标
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？本节课我们就来研究一下.
导 语
一、两条直线平行的判定
二、两条直线垂直的判定
课时对点练
三、平行与垂直的综合应用
随堂演练
内容索引
两条直线平行的判定
一
提示 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补.
在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？
问题1
提示 两直线平行，倾斜角相等.
平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？
问题2
对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2 .
k1=k2
(1)若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线.
(2)k1=k2 l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在).
(3)l1∥l2 k1=k2或两条直线的斜率都不存在.
(4)l1∥l2 k1=k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合.
注 意 点
<<<
(课本例2) 已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论.
例 1
如图，由已知可得直线BA的斜率kBA==
直线PQ的斜率kPQ==.
因为kBA=kPQ，
所以直线AB∥PQ.
解
(课本例3) 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，-1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
例 1
如图，由已知可得AB边所在直线的斜率kAB=-
CD边所在直线的斜率kCD=-
BC边所在直线的斜率kBC=
DA边所在直线的斜率kDA=.
因为kAB=kCD，kBC=kDA，所以AB∥CD，BC∥DA.
因此四边形ABCD是平行四边形.
解
判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：
(1)l1经过点A(-1，-2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(-1，-1)；
例 1
k1==1，k2==
k1≠k2，l1与l2不平行.
解
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)；
k1=1，k2==1，k1=k2，
故l1∥l2或l1与l2重合.
解
(3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(-1，3)，N(2，0)；
k1==-1，k2==-1，
则有k1=k2.
又kAM==-2≠-1，
则A，B，M三点不共线.故l1∥l2.
解
(4)l1经过点A(-3，2)，B(-3，10)，l2经过点M(5，-2)，N(5，5).
由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.
解
已知A(-2，m)，B(m，4)，M(m+2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为 .
延伸探究
0或1
当m=-2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m=-1时，直线MN的斜率不存在，
而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；
当m≠-2，且m≠-1时，kAB==kMN==.
因为AB∥MN，所以kAB=kMN，
即=解得m=0或m=1.
当m=0或1时，经检验，两直线不重合.
综上，m的值为0或1.
解析
判断两条不重合的直线是否平行的方法
反
思
感
悟
二
两条直线垂直的判定
提示 k1·k2=-1.
平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a=(1，k1)，b=(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
问题3
对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1·k2=-1 l1与l2中的一条斜率 ，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
不存在
(1)当直线l1⊥l2时，有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2=-1，则一定有l1⊥l2.
(2)l1⊥l2 k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在.
(3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1=-.
注 意 点
<<<
(课本例4) 已知A(-6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，-6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.
例 2
直线AB的斜率kAB=
直线PQ的斜率kPQ=-.
因为kABkPQ=×=-1，
所以直线AB⊥PQ.
解
(课本例5) 已知A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状.
例 2
边AB所在直线的斜率kAB=-
边BC所在直线的斜率kBC=2.
由kABkBC=-1，得AB⊥BC，
即∠ABC=90°.
所以△ABC是直角三角形.
解
已知△ABC的顶点为A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值.
例 2
若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB=-1，
即·=-1，解得m=-7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC=-1，
即·=-1，解得m=3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，
∴kAC·kBC=-1，
即·=-1，解得m=±2.
综上所述，m=-7或m=3或m=±2.
解
判断两条直线是否垂直的方法
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
反
思
感
悟
(多选)下列各对直线互相垂直的是
A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5)
B.l1的斜率为-l2过点P(1，1)，Q
C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3)，Q(4，2)
D.l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)
跟踪训练 1
√
√
√
A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直；
B中，l2过点P(1，1)，Q
kPQ=故两条直线垂直.
C中，kPQ=故l1不与l2垂直.
D中，l1过点M(1，0)，N(4，-5)，kMN=- ，
l2过点P(-6，0)，Q(-1，3)，
kPQ=故两条直线垂直.
解析
平行与垂直的综合应用
三
已知A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.
例 3
A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得
kAB==kCD==kAD==-3，
kBC==-∴kAB=kCD，
由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.
由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行.
又kAB·kAD=×(-3)=-1，
∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形.
解
利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
反
思
感
悟
已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).
跟踪训练 2
设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，
由于kAB=3，kBC=0，
∴kAB·kBC=0≠-1，即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰.
(1)若CD是直角梯形的直角腰，
则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3.
又kAD=kBC，∴=0，即y=3，
此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3，3).
解
(2)若AD是直角梯形的直角腰，
则AD⊥AB，AD⊥CD，
∵kAD=kCD=
∴解得x=y=
∴D点坐标为.
综上，D点坐标为(3，3)或.
解
1.知识清单：
(1)两直线平行的判定.
(2)两直线垂直的判定.
(3)两直线平行、垂直的应用.
2.方法归纳：分类讨论、数形结合.
3.常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若过点P(3，2m)和点Q(-m，2)的直线与过点M(2，-1)和点N(-3，4)的直线平行，则m的值是
A. B.- C.2 D.-2
√
由题意知，直线PQ的斜率存在，
由kPQ=kMN，即=
得m=-.经检验知，m=-符合题意.
解析
1
2
3
4
2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为
A. B.- C.a D.不存在
√
当a≠0时，由k1·k2=-1知，k2=-
当a=0时，l2的斜率不存在.
解析
√
1
2
3
4
3.已知两点M(2，2)和N(5，-2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为
A.(1，0) B.(6，0)
C.(1，0)或(6，0) D.不存在
√
1
2
3
4
设P点坐标为(x0，0)，
则kPM=kPN=
由于∠MPN=90°，故kPM·kPN=-1，
即·=-1，
解得x0=1或x0=6，
故P点坐标为(1，0)或(6，0).
解析
1
2
3
4
4.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(-2，-1)，Q(3，-6)，则直线l1与l2的位置关系是 .
直线l1的倾斜角为135°，
故斜率=tan 135°=-1.
由l2经过点P(-2，-1)，Q(3，-6)，
得==-1，所以=
所以直线l1与l2平行或重合.
解析
平行或重合
课时对点练
五
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
题号 1 2 3 4 5 6 9 10
答案 B C B AC D -5 2 - A
题号 11 12
答案 3+2
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)直线l1的斜率不存在，
直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.
(2)由题意，知直线l2的斜率k2一定存在，直线l1的斜率可能不存在.
当直线l1的斜率不存在时，3=a-2，
即a=5，此时k2=0，则l1⊥l2，满足题意.
当直线l1的斜率k1存在时，a≠5，
由斜率公式，得k1=，k2=.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由l1⊥l2，知k1k2=-1，
即·=-1，解得a=0.
综上所述，a的值为0或5.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)设点D坐标为(a，b)，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以kAB=kCD，kAD=kBC，
所以解得
所以D(-1，6).
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)因为kAC==1，kBD==-1，
所以kAC·kBD=-1，
所以AC⊥BD，
所以 ABCD为菱形.
基础巩固
1.下列说法正确的是
A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等
B.平行的两条直线的倾斜角一定相等
C.垂直的两条直线的斜率之积为-1
D.只有斜率相等的两条直线才一定平行
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因为当两条直线的倾斜角为90°时，两条直线平行，但是没有斜率，故A不正确；
平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B正确；
垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为-1，当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线也垂直，故C不正确；
斜率不存在的两条直线也能够平行，故D不正确.
解析
2.直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为
A.- B. C.- D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如图，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，
则l2的倾斜角等于30°+90°=120°，
∴l2的斜率为tan 120°=-tan 60°=-.
解析
3.已知直线l经过(-1，0)，(0，)两点，直线m∥l，那么直线m的倾斜角的大小是
A.30° B.60°
C.45° D.90°
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
直线l的斜率为=，所以直线l的倾斜角为60°，又因为直线m∥l，所以直线m的倾斜角的大小是60°.
解析
4.(多选)以A(-1，1)，B(2，-1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有
A.kAB=-
B.kBC=-
C.该三角形是以A点为直角顶点的直角三角形
D.该三角形是以B点为直角顶点的直角三角形
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
对于A，因为A(-1，1)，B(2，-1)，所以kAB==-，所以A正确；
对于B，因为B(2，-1)，C(1，4)，所以kBC==-5≠-，所以B错误；
对于C，因为kAB=-，kAC==，所以kAB·kAC=-×=-1，
所以AB⊥AC，所以△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确；
对于D，因为kAB=-，kBC=-5，所以kAB·kBC≠-1，所以D错误.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5.以A(-2，-1)，B(4，2)，C(2，6)，D(-3，1)为顶点的四边形是
A.平行四边形，但不是矩形
B.矩形
C.梯形，但不是直角梯形
D.直角梯形
√
答案
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答案
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12
如图，kAD==-2，kBC==-2，
所以kAD=kBC，AD∥BC，
又kAB==，
所以kAB·kBC=-1，AB⊥BC，
又kCD==1，
所以kAB≠kCD，AB与CD不平行.
所以四边形ABCD是直角梯形.
解析
6.小明研究一张坐标纸中A(-4，m)，B(1，0)，C(3，0)，D(2，n)四点的关系时，发现直线AB与CD的方向向量互相垂直，则mn= .
答案
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-5
由题意可知直线AB与CD的斜率存在，
因为直线AB与CD的方向向量互相垂直，
所以直线AB与CD的斜率之积为-1，
又A(-4，m)，B(1，0)，C(3，0)，D(2，n)，
所以·=-1，整理得mn=-5.
解析
7.(1)直线l1经过点A(3，2)，B(3，-1)，直线l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直；
答案
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直线l1的斜率不存在，
直线l2的斜率为0，
所以l1⊥l2.
解
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a-2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(-1，a-2)，若l1⊥l2，求a的值.
答案
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由题意，知直线l2的斜率k2一定存在，
直线l1的斜率可能不存在.
当直线l1的斜率不存在时，3=a-2，
即a=5，此时k2=0，则l1⊥l2，满足题意.
当直线l1的斜率k1存在时，a≠5，
解
答案
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由斜率公式，得k1==，k2==.
由l1⊥l2，知k1k2=-1，
即·=-1，解得a=0.
综上所述，a的值为0或5.
解
8.已知在 ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4).
(1)求点D的坐标；
答案
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12
设点D坐标为(a，b)，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以kAB=kCD，kAD=kBC，
所以
所以D(-1，6).
解
(2)试判定 ABCD是否为菱形？
答案
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因为kAC==1，kBD==-1，
所以kAC·kBD=-1，
所以AC⊥BD，所以 ABCD为菱形.
解
9.若l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根，若l1⊥l2，则
b= ；若l1∥l2，则b= .
答案
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综合运用
2
-
当l1⊥l2时，
k1k2=-=-1，得b=2.
当l1∥l2时，k1=k2，
Δ=9-4×2×(-b)=0，得b=-.
解析
10.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是
A.(-3，1) B.(4，1) C.(-2，1) D.(2，-1)
答案
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√
如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即 AOBC1， ABOC2， AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标.
解析
11.已知直线l1，l2的斜率分别为=，=，直线l1，l2互相垂直，且a，b>0，则+的最小值为 .
答案
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能力提升
3+2
答案
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由题得·=·=-1，
所以a+b=1，又a>0，b>0，
所以+=(a+b)
=3++≥3+2=3+2，
当且仅当=，即a=2-，
b=-1时等号成立.
所以+的最小值为3+2.
解析
12.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长|AD|=5 m，宽|AB|=3 m，其中一条小路为AC，另一条小路过点D.在BC上
有一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直，此时BM的长为 m.
答案
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答案
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以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，3)，D(5，3)，C(5，0)，
设M(x，0)，0由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在，
由于AC与DM互相垂直，
所以kAC·kDM=-1，
即·=-1，解得x=，
所以BM的长为 m.
解析
第二章 §2.1 直线的倾斜角与斜率
<<<作业15 两条直线平行和垂直的判定
分值：80分
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共6分
1.下列说法正确的是
A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等
B.平行的两条直线的倾斜角一定相等
C.垂直的两条直线的斜率之积为－1
D.只有斜率相等的两条直线才一定平行
2.直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为
A.－ B. C.－ D.
3.已知直线l经过(－1，0)，(0，)两点，直线m∥l，那么直线m的倾斜角的大小是
A.30° B.60° C.45° D.90°
4.(多选)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有
A.kAB＝－
B.kBC＝－
C.该三角形是以A点为直角顶点的直角三角形
D.该三角形是以B点为直角顶点的直角三角形
5.以A(－2，－1)，B(4，2)，C(2，6)，D(－3，1)为顶点的四边形是
A.平行四边形，但不是矩形
B.矩形
C.梯形，但不是直角梯形
D.直角梯形
6.小明研究一张坐标纸中A(－4，m)，B(1，0)，C(3，0)，D(2，n)四点的关系时，发现直线AB与CD的方向向量互相垂直，则mn＝ .
7.(14分)(1)直线l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直；(5分)
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值.(9分)
8.(15分)已知在 ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4).
(1)求点D的坐标；(7分)
(2)试判定 ABCD是否为菱形？(8分)
9.若l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝ ；若l1∥l2，则b＝ .
10. 如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是
A.(－3，1) B.(4，1)
C.(－2，1) D.(2，－1)
11.已知直线l1，l2的斜率分别为，，直线l1，l2互相垂直，且a，b>0，则的最小值为 .
12. 如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长|AD|＝5 m，宽|AB|＝3 m，其中一条小路为AC，另一条小路过点D.在BC上有一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直，此时BM的长为 m.
答案精析
1.B [因为当两条直线的倾斜角为90°时，两条直线平行，但是没有斜率，故A不正确；平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B正确；垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为－1，当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线也垂直，故C不正确；斜率不存在的两条直线也能够平行，故D不正确.]
2.C [如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，
∴l2的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－.]
3.B [直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为60°，又因为直线m∥l，所以直线m的倾斜角的大小是60°.]
4.AC [对于A，因为A(－1，1)，B(2，－1)，所以kAB＝＝－，所以A正确；
对于B，因为B(2，－1)，C(1，4)，
所以kBC＝＝－5≠－，
所以B错误；
对于C，因为kAB＝－，
kAC＝，
所以kAB·kAC＝－×＝－1，
所以AB⊥AC，所以△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确；
对于D，因为kAB＝－，kBC＝－5，所以kAB·kBC≠－1，所以D错误.]
5.D [如图，kAD＝＝－2，
kBC＝＝－2，
所以kAD＝kBC，AD∥BC，
又kAB＝，
所以kAB·kBC＝－1，AB⊥BC，
又kCD＝＝1，
所以kAB≠kCD，AB与CD不平行.
所以四边形ABCD是直角梯形.]
6.－5
解析 由题意可知直线AB与CD的斜率存在，
因为直线AB与CD的方向向量互相垂直，
所以直线AB与CD的斜率之积为－1，
又A(－4，m)，B(1，0)，C(3，0)，D(2，n)，
所以·＝－1，
整理得mn＝－5.
7.解 (1)直线l1的斜率不存在，
直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.
(2)由题意，知直线l2的斜率k2一定存在，直线l1的斜率可能不存在.
当直线l1的斜率不存在时，3＝a－2，
即a＝5，此时k2＝0，则l1⊥l2，满足题意.
当直线l1的斜率k1存在时，a≠5，
由斜率公式，得k1＝，
k2＝.
由l1⊥l2，知k1k2＝－1，
即·＝－1，解得a＝0.
综上所述，a的值为0或5.
8.解 (1)设点D坐标为(a，b)，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以解得
所以D(－1，6).
(2)因为kAC＝＝1，
kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，
所以AC⊥BD，
所以 ABCD为菱形.
9.2 －
解析 当l1⊥l2时，
k1k2＝－＝－1，得b＝2.
当l1∥l2时，k1＝k2，
Δ＝9－4×2×(－b)＝0，得b＝－.
10.A [如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即
AOBC1， ABOC2， AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标.]
11.3＋2
解析 由题得
··＝－1，
所以a＋b＝1，又a>0，b>0，
所以(a＋b)
＝3＋≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当，即a＝2－，
b＝－1时等号成立.
所以的最小值为3＋2.
12.
解析 以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，3)，
D(5，3)，
C(5，0)，设M(x，0)，0由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在，
由于AC与DM互相垂直，
所以kAC·kDM＝－1，
即·＝－1，解得x＝，
所以BM的长为 m.
