1.9.2有理数乘法的运算律（第2课时） 教学设计 2025-2026学年七年级上册数学华东师大版

1.9.2有理数乘法的运算律（第2课时）教学设计
——有理数的乘法分配律
内容分析：
1.课标要求
经历探索有理数的乘法分配律的运算过程，理解有理数的乘法分配律。能熟练运用有理数乘法分配律简化运算。
2.教材分析
知识层面：本节课是华师大版七年级上册第1章《有理数》的内容，学生在小学阶段已经熟悉了非负数（正整数，正分数和0）的加、减、乘、除和简单的平方、立方运算，理解了加法和减法的运算律，并能解决简单的实际问题。在此基础上，本节课要将所学的乘法运算律中的分配律推广到有理数，建立有理数的乘法分配律的知识体系。本节内容包括了研究引入负数后，有理数是否满足乘法分配律以及研究如何用有理数的乘法分配律来简化计算。更重要的是，结合前面所学的有理数加法和乘法运算律，学生能更深刻地体会到代数运算的通性，这对以后数与代数的研究（如式的运算）中起着至关重要的作用。
能力层面：在此之前，学生已经学习了有理数的加法交换律、结合律以及乘法交换律和结合律，乘法分配律是基于前面四种运算律基础上的提升。学生经历了从正整数、正分数、和0到整个有理数（尤其是负数）的乘法分配律的推导过程，能更加清晰地感悟数学的严谨性以及代数运算的互通性。后面通过运用乘法分配律简化计算能培养学生观察、猜想、运算、创新思维能力，培养学生严密的逻辑推理以及符号意识和问题解决能力。
思想层面：培养逻辑思维能力。乘法分配律的逻辑基础是“或”的关系，即 a(b+c) = ab + ac表达了a与b和c的和的乘积等于a与b的乘积加上a与c的乘积。这种逻辑关系使得人们在应用这条法则时，需要进行逻辑上的分析和判断，从而培养了逻辑思维能力。提升抽象思维能力。有理数乘法分配律不仅仅适用于具体的数字，还适用于更广泛的代数表达式。例如，x(y+z) = xy+xz 同样成立。这种从具体到抽象的推广，使得人们能够在更广泛的范围内应用这条法则，从而提升了抽象思维能力。增强问题解决能力。乘法分配律在解决实际问题中具有广泛的应用。例如，在计算多个项目的总价时，可以先将每个项目的单价与数量相乘，再将结果相加。这种思维方式使得人们能够更高效地解决问题，并找到最优的解决方案。
学情分析
本班学生共44人，男生27人，女生17人，课堂氛围活跃，学生乐于发表见解和看法，学生正处于形象思维向抽象思维过渡的时期，但由于整体基础较为薄弱所以课堂上关于有理数乘法分配律在代数表达式上的拓展并做不细讲，重点放在运用有理数的乘法分配律的简化运算上。
在本章前几节课中，学生已经学习了整式的加法运算律、乘法交换律和结合律。并且在这些运算律的学习中，学生已经经历了探究和应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力。但由于本班学生大部分同学的小学基础较薄弱，对乘法公式的简便运算不够熟练或不喜欢用公式，所以例题的精讲、方法的归纳以及数学思想的渗透将成为本节课的重点。本节课的学习，能进一步培养学生的“简化”意识，提高学生运算的速度。
入职的两个月，经过不断地观看线上模范课、线下公开课以及在我校名师工作室和名师一对一带培及县教研员的用心指导下，我收获了很多关于课堂教学模式的新方法，并且在日常的课堂中大胆尝试新的教学方法，经过观察和对比发现以下几种方式是效果较为显著的:首先是根据学生的基础和能力进行分组，根据课堂表现进行小组积分竞赛。本班一共分为八组，每组一名组长和一名副组长。组长和副组长各负责帮扶1~2名组员即“兵教兵”模式，他们主要负责组员平时的作业检查、答疑解惑、小测后的错题分析等。其次是课堂游戏方面，经过一个月的听课学习和网上资料查询，我在平时的课堂中偶尔会插入一些与课堂有关的游戏，例如：数学版狼人杀（游戏开始前让学生趴在桌上，教师下去挑选“狼人”，挑选完后学生抬头。学生通过回答教师问题才能获得“狼人的线索”。）、小组讲题比赛（教师根据学生的能力抛出与本节课有关的问题，然后给学生一定的时间进行小组讨论，最后小组两两PK，派代表上台讲题）、数学版扫雷（同样是让学生先趴下，教师下去挑选“地雷”，然后教师随机提问一个学生，被提问学生可求助在场学生，若被求助的学生不是“地雷”那么就由被求助的学生回答问题。若被求助的学生是“地雷”，那么就朝被提问的学生扔炸弹，并朝其大喊“Boom！”，然后由被提问的学生回答问题）等等。然后，是知识巩固方面，我采用的是小测的方式，可以是当堂小测也可以利用课后延时的时间出几道与今天知识点相关的经典习题以检测学生这堂课的知识掌握程度。最后是作业批改方面，作业的批改除了最基本的评语之外，对于完成得较好的作业我会贴上各式各样的“表情包”鼓励贴纸。经过一阶段的实践，我能明显感觉到班级学生对学习数学的热情逐渐上涨。本节课的学习，我将继续用这样的教学模式来完成。教学设计中的A、B、C是指该问题由每一组中的A层（后进生）、B（中等生）、C（优等生）展示,视展示的效果给予小组积分。
教学策略：
本节课我将继续采用小组合作、游戏互动、分层评价相结合的教学方法，以问题的提出，问题的解决为主线倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的引导下发现、解决问题，理清算理。本节课立足于学生的“学”，让学生经历探索有理数的乘法分配律的过程，通过独立思考，合作探究等形式，渗透类比、推理、特殊到一般的数学思想方法。
教学目标：
知识与技能：掌握有理数乘法分配律，并能进行简化运算。
过程与方法：经历有理数乘法分配律的探究过程，提升总结概括能力与运算能力。
情感与态度：在探究学习中获得成功体验，提升自信心。
教学重点：
理解有理数的乘法依然满足分配律，并会利用它们进行简化运算。
教学难点：
利用有理数的乘法分配律简化计算。
教学过程：
回顾思考，情景导入
教师活动：上节课我们学习了有理数的交换律和结合律，那么除了这些我们还学过关于乘法的什么运算律吗？A
学生活动：学生经过思考举手回答。
2.教师活动：教师在黑板上写下下列式子：3×（4+2）（A）、6×（+）（B）、0.5×3+0.5×5+0.5×2（C）. 教师组织学生在草稿纸上作答并给予一定的时间，然后请不同层次的学生发言。
学生活动：学生经过思考后，根据小学所学的乘法分配律进行解答并举手发言。
3.教师活动：引入负数后乘法分配律还成立吗？
学生活动：组内讨论，保留疑问
〖设计意图〗设置分层问题，由不同层次的学生回答，覆盖面广，大部分学生都能提起注意力。第2问教师组织学生在草稿纸上书写过程，然后各小组派代表起来回答，教师予以评价，对于平时基础较差的学生多给予眼神肯定和言语鼓励。回顾乘法运算律的类型，有助于类比本节课的知识，让学生觉得似曾相识，即新鲜又不陌生。同时进行了知识的迁移，为后面探究负数是否满足乘法分配律做了相应的知识铺垫。
二 、新知讲授，合作探究：
（活动一) 有理数是否满足乘法分配律？
1.教师活动：多媒体展示课件
任意选择三个有理数 (至少有一个是负数)，分别填入下列 、 和 内，并比较两个运算结果：
SHAPE \* MERGEFORMAT ×（ + ）和 × + ×
3×[(-5) + (-2)] = ， 3×(-5) + 3×(-2) = .
换几个数再试一试，你能发现什么？
教师根据学生例举的数据进行分组计算，奇数组计算左边的式子，偶数组计算右边的式子。
第一组数据计算完后在组织偶数组学生计算：3×[(-5) + (-2)] = ，奇数组计算3×(-5) + 3×(-2) = .
学生活动：举手例举数据，奇数组计算左边的式子，偶数组计算右边的式子，观察两式的结果，再根据教师的分组计算3×[(-5) + (-2)] = 或3×(-5) + 3×(-2) = .
2.教师活动：从上述计算中，你能得出什么结论？ C
分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.
用字母表示为：a（b+c）= ab + ac
教师引导学生进行归纳和总结，带领学生回归课本知识点并圈画关键词。类比乘法交换律和结合律的知识引导学生用符号语言表达有理数的乘法分配律。
学生活动：有理数满足乘法分配律，学生在教师的引导下根据前面所学的有理数乘法交换律和结合律的符号语言尝试用字母表达出有理数的乘法结合律。
〖设计意图〗由学生自己例举数据并在教师的引导下利用有理数的乘法法则计算并观察结果，发现规律，对引入负数后的乘法分配律有直观的认识，再由课件的习题进行进一步验证。对于3×[(-5) + (-2)]的计算教师引导学生严格按照加法法则1：同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加来计算。对于3×(-5) + 3×(-2)的计算教师引导学生按照乘法法则：两数相乘，同号得证，异号得负，并把绝对值相乘来计算，在计算的过程中复习并巩固之前的知识点。有两小题计算题的铺垫，类比前几节课加法运算律和乘法运算律的学习，学生就很容易概括得出有理数乘法分配律的知识，并记住公式的结构特征。
（活动二）探究a（b-c）=ab-ac是否成立
教师活动：在课件上将“a（b-c）=ab-ac”板书在“a（b+c）= ab + ac”下方，让学生观察这两个式子（教师引导学生带入几组具体数值），并抛出问题：将原式中的加号变成减号后还满足乘法分配律吗？如果满足，你能用我们学过的哪个法则来证明呢？学生独立思考，教师请不同层次的学生发表看法。
学生活动：①不满足，一定只能是加号才能满足乘法分配律。A
②满足，但是不知道为什么。B
③满足，用减法法则可以说明：减去一个数等于加上这个数的相反数。C
〖设计意图〗引导学生结合所学知识来探究在有理数的乘法分配律的背景下有理数加减之间的转化关系，从而加深学生对有理数乘法分配律更深层次的理解，为后续学生运用有理数的乘法分配律简化运算奠定基础。
（活动三：感知有理数乘法分配律的正向运算和逆向运算思维）
教师活动：计算下列各式，并观察它们是否运用了有理数的乘法分配律？根据有理数乘法运算律的符号表达式你有什么发现？
3×0.25+3×0.75 A （2）（-3）×0.25+（-3）×0.75 BC
教师组织各小组组长、副组长指导组员完成联系，并进行小组讨论。教师巡视，给予一定时间后请各小组派代表起来发言。
〖设计意图〗两题练习都是乘法分配律的逆向运算，由易到难。通过计算，让学生初步感知有理数乘法分配律的正向运算和逆向运算的互通性。并将公式固化下来，体会计算的简化、快速，培养符号感和求简意识，理解公式中字母的广泛的含义。充分发挥小组合作学习的优势，培养合作意识，让学优生兵教兵，促进语言表达能力，获得成功的喜悦。
新知应用，例题讲解，当堂训练
（活动一）例题讲解与答题示范
教师活动：教师在黑板上写下例1：见课本
教师在讲解时着重在黑板上书写解答过程（用不同色笔区分），强调学生不跳步、注意符号。
学生活动：根据教师的引导和教师一起在草稿本上书写完整的解答过程。
（活动二）当堂练习
教师活动：课件展示练习题：
教师做好游戏准备，埋下“地雷”，然后组织学生在草稿本上书写过程，教师巡视，发现问题，抽取答题较为规范和答题不规范的学生作业进行投屏展示，形成对照，将答题规范的学生名字写在一旁进行表扬和加分（+3分），对于答题不规范但是有进步的同学也进行鼓励和加分（+2分）。同时也投屏学生出错的地方，让学生找出错的地方、分析错的原因及如何改正。
学生活动：学生参照前面的例题规范答题，积极参与扫雷游戏，与教师一起点评被展示的学生作业。
（活动三）例题讲解与答题示范
教师活动：教师在黑板上写下例2：4.98×（-5）
教师引导学生观察例题，并给予提示：“能不能把4.98拆成更容易与-5相乘的数呢？拆成两个数相加怎么样？比如拆成4+0.98，还有没有其他拆法能更方便运算？”
学生活动：尝试拆分，在草稿纸上写下自己的做法。
（活动四）当堂练习
教师活动：课件展示练习题：（-1002）×17
与活动二一样，组织学生作答并展示、讲解。
〖设计意图〗此环节是教师先讲解例题并在板书上规范答题，用不同色笔标记出易错点，让学生更进一步掌握有理数的乘法分配律并规范答题步骤，通过扫雷游戏提高学生的紧张度和课堂参与度。选取的学生作业展示更能反应出大部分同学在计算时会出现的易错点和疑难点。这让学生进一步掌握了有理数的乘法分配律在简化计算上的应用，提高计算准确率和速度，体会数学的符号感和求简意识。培养学生细心、稳重、专注的做题习惯。 特别是当堂练习题，让学生从更深的一个角度来有理数的乘法分配律，防止解题时符号出现问题，减少计算的出错率。其中例2重在培养学生的发散思维，让学生体会乘法分配律更巧妙的用法。
（活动五）能力提升
教师活动：课件展示练习题： 见课件
与活动二一样，组织学生作答并展示、讲解。
〖设计意图〗培养学生的逆向思维能力。
四：本课小结：
本节课你学到什么知识？（有理数的乘法分配律）
本节课你获得了哪些技能？（乘法分配律、拆分）
本节课渗透了什么数学思想？（特殊到一般思想、转化思想）
大家刚刚在做练习计算题时有没有什么情感或态度上的收获？（计算要细心，过程要耐心，勤思考，勤动笔）
（学生回答，其他同学补充，教师最后总结）
〖设计意图〗小结以提问的形式让学生回答，可以让学生对本节课所学知识进行梳理，加深印象。教师总结时特别指出运用有理数乘法分配律进行简化运算时的注意事项。
成效评价（当堂小测）：
A组：（1） （2）(-4)×29.75
B组：（1） （2）-7×( ) +19×( ) -5×( )
C组: （1） （2）
〖设计意图〗配于本节课知识点相应题目，题目根据难易度分组，由易到难，注重学生知识的形成过程，例如：A组设计的第（1）题用（+36）而不是（-36）是为了让基础较差的学生能在做题中获得成就感，进而有信心尝试着挑战B组、C组题目。通过小测教师能帮助学生及时检查并巩固所学知识情况，对各层次的学生，给予相应的评价，让学生学有所成，体验学习成功的喜悦，查找缺漏以利于后续学习，也有利于教师调整教学。评价的具体做法是：学生每6个人分一个小组，A组题是全体学生都要完成的，BC组题是中等生和优等生要完成的，C组题是优等生要完成的，每个题目基础分都是3分，如果越级完成题目而且做对了，再加3分/题(可叠加）。每周至少2次小测，每周统计一次各组得分，每个月评比一次。学生学习基础与学习能力的差异是客观存在的，对学生分层评价，鼓励上进，极大的调动学生的学习积极性，让课堂效率最大化，小组合作学习还延伸到课外，各个组良性竞争，课内解决不了的问题，利用课外时间继续兵教兵，提高教与学的效率。
布置作业：
必做题：①教材第49页习题1.9 A组、B组习题
②书面作业：校本作业26页第8题（书面作业获得表情包表扬贴纸的可＋3分）
③校本作业第第26-27页
选做题：校本作业第27页第16小题。
小组帮扶作业：小组长出2至3题由组员完成，若组员顺利完成练习且经教师出题考核过关，则小组长＋5分，其组员＋3分。
〖设计意图〗针对学生数学能力存在差异的客观事实，瞄准学生的最近发展区，布置有梯度的作业，唤起学生的学习热情，使学生的个性和特长得到淋漓尽致的发挥，让各层次学生都能体验到学习成功的喜悦，激发学生完成作业的兴趣和信心。此外，额外增加的积分活动可以调动各组组长与组员兵教兵的积极性，同时还挖掘了组长的创造性，培养组员的责任感。
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