1.6 有理数的乘方
1.6.1 认识乘方
知识点1 有理数乘方的意义
1.(－2)4表示的意义是( A )
A.－2×(－2)×(－2)×(－2)
B．－2＋(－2)＋(－2)＋(－2)
C．－2×4
D．2×2×2×2
2.（广西桂林龙胜县期中）下列叙述正确的是( D )
A．3与－3互为倒数
B．3与互为相反数
C．－25的底数是－2
D．当a≠0时，|a|总是大于0
3.底数是－，指数是2的幂可写成 （－）2 ．
4.平方得16的数为 ±4 ， －2 的立方等于－8.
知识点2 有理数乘方的法则
5.（广西梧州苍梧县期中）计算(－4)3的结果是( D )
A．64 B．3 C．－4 D．－64
6.（广西北海银海区期中）下列各组数中，数值相等的是( B )
A．32和23 B．(－2)3和－23
C．－32和(－3)2 D．－(－2)和－|－2|
7.（广西河池凤山县期中）下列各式计算结果是负数的是( A )
A．(－2)3 B．(－3)2
C．|－3| D．－(－3)
8.现定义一种新运算※：a※b＝ab，如3※2＝32＝9，则(－2)※3＝ －8 ．
易错易混点 当乘方的底数为负数或分数时，漏掉
括号而出错
9.把下列各式用幂的形式表示．
(1)3×3×3×3＝ 34 ；
(2)(－1)·(－1)·(－1)·(－1)·(－1)＝ (－1)5 ；
(3)××＝ （）3 ．
(1)3×3×3×3＝34；
(2)(－1)·(－1)·(－1)·(－1)·(－1)＝ (－1)5；
(3)××＝（）3.
10.（福建漳州华安县期中）下列说法正确的是( D )
A．－28的底数是－2
B．25表示5个2相加
C．(－3)3与－33意义相同
D．－的底数是2
11.（山东日照东港区期中）计算(－1)n＋(－1)n+1（其中n是正整数）的结果是( C )
A．－12n+1 B．－1
C．0 D．1
12.《棋盘上的米粒》故事中，皇帝往棋盘的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3格上加倍至4粒，…，以此类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在第20格中所放的米粒数是 219 ．
13.（江苏南京秦淮区期中）若24＋24＝2a，35＋35＋35＝3b，则a－b的值为 －1 ．
14.计算－42÷(－2)3×（－），小明同学的计算过程如下：
－42÷(－2)3×（－）
＝16÷(－8)×（－）
＝16÷1
＝16.
(1)请判断小明同学的解答过程是否正确；
(2)若你认为小明同学解答过程错误，请写出正确解答过程．
(1)不正确，理由如下：
因为－42表示的是42的相反数，即－42＝－16，所以－42÷(－2)3×（－）应该等于－16÷(－8)×（－），再从左往右依次计算，而不是先算乘法，再算除法，所以小明同学的解答过程不正确；
(2)－42÷(－2)3×（－）＝－16÷(－8)×（－）＝2×（－）＝－.
【母题P47练习T3】 计算：
(1)(－3)4；(2)(－4)3；(3)(－8)3；(4)（－）3.
(1)(－3) 4＝81；(2)(－4)3＝－64；(3)(－8)3＝－512；(4) （－）3＝－.
【变式1】 计算：62×（－）3的正确结果为 － ．
【变式2】 计算：
(1)(－8)2×（－）3；(2)（－）2÷（－）3.
(1)(－8)2×（－）3＝－64×＝－27；
(2)（－）2÷（－）3＝－×125＝－.
15.（应用意识）有一块面积为2平方米的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少平方米？
第1次剪掉一半，剩下的面积＝×2（平方米），
第2次剪掉一半，剩下的面积＝（）2×2（平方米），
……
第6次剪掉一半，剩下的面积＝（）6×2＝（平方米）.
16.（计算能力）（福建三明永安市期中）(1)计算下面两组算式：
①(3×5)2＝ 225 ，32×52＝ 225 ；
②［(－2)×3］2＝ 36 ，(－2)2×32＝ 36 ；
(2)猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n＝ anbn ；请你利用乘方的意义说明理由．
(2)当n为正整数时，
(ab)n＝(ab)(ab)(ab)·…·(ab)
＝a·a·a·…·a·b·b·b·…·b
＝anbn.
1.6.2 科学记数法
知识点1 科学记数法
1.（广西来宾象州县期中）“一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴．”中学生要珍惜每分每秒，努力学习，一天的时间为86 400秒，将数据86 400用科学记数法表示为( C )
A.86.4×103 B．8.64×103
C．8.64×104 D．0.864×105
2.（广西贺州富川县期中）2024年10月贺州市第六届学生运动会在昭平县城举行，参加本次运动会的各项目比赛的运动员达3 550人，将3 550这个数用科学记数法表示为 3.55×103 ．
3.用科学记数法表示下列各数：
(1)728 500；(2)3 600 000 000；
(3)2 009 000 000；(4)－976.2；
(5)1 985.6；(6)－2 390 000.
(1)728 500＝7.285×105；
(2)3 600 000 000＝3.6×109；
(3)2 009 000 000＝2.009×109；
(4)－976.2＝－9.762×102；
(5)1 985.6＝1.985 6×103；
(6)－2 390 000＝－2.39×106.
知识点2 用科学记数法表示的数的原数
4.（湖南永州宁远县期中）用科学记数法表示的数7.21×1011，它原来是( B )位整数．
A．10 B．12 C．13 D．14
5.（湖北武汉武昌区期中）用科学记数法表示的数为2.25×105，则原数是( B )
A．22 500 B．225 000
C．2 250 000 D．2 250
6.太阳半径约为6.96×108米，则原数是 696 000 000 千米.
7.下列用科学记数法表示的数的原数是什么？
(1)2.02×107；(2)－7.80×104；
(3)－5.001×102；(4)1.0×106.
(1)20 200 000；(2)－78 000；(3)－500.1；(4)1 000 000.
易错易混点 将原数用科学记数法表示时，忽略原数
后的单位而出错
8.（广西防城港期中）根据文化和旅游部发布的数据，2024年“五一”假期期间全国国内旅游出游人数达到了2.95亿人次．数字2.95亿用科学记数法表示为( B )
A．2.95×107 B．2.95×108
C．2.95×109 D．2.95×1010
9.（广西崇左期中）广西某县位于广西西北部，是百越古道上重要的支点，滇桂黔三省结合部，全县总人口约22.9万人，数据22.9万用科学记数法表示为( A )
A．2.29×105 B．2.29×106
C．22.9×104 D．0.229×106
10.（广西贵港平南县模拟）截至2024年3月18日，南水北调东中线一期工程已累计向北方输水7×1010立方米，直接受益人口超1.76亿人，其中7×1010立方米可表示为( C )
A．7亿立方米 B．70亿立方米
C．700亿立方米 D．7 000亿立方米
11.地球的质量约为6×1013亿吨，太阳的质量约是地球质量的3.3×105倍，太阳的质量用科学记数法表示为( B )
A．1.98×1018亿吨 B．1.98×1019亿吨
C．1.98×1020亿吨 D．1.98×1065亿吨
12.一个整数2 440…0用科学记数法表示为2.44×106，则原数中“0”的个数为 4 ．
13.比较大小．
(1)9.523×1010与1.002×1011；
(2)－8.76×109与－1.03×1010.
(1)9.523×1010<1.002×1011；
(2)－8.76×109>－1.03×1010.
14.（河北唐山一模）某市计划修建一个长为3.6×102米，宽为3×102米的矩形市民休闲广场．
(1)请计算该广场的面积S（结果用科学记数法表示）；
(2)如果用一种60 cm×60 cm的正方形大理石地砖铺装该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖．
(1)根据题意，得S＝3.6×102×3×102＝10.8×104＝1.08×105(m2).答：广场的面积为1.08×105 m2；
(2)因为单块大理石的面积是60 cm×60 cm＝0.6 m×0.6 m＝0.36 m2，所以1.08×105÷0.36＝3×105（块）.答：需要3×105块大理石地砖．
【母题P49练习T2】 人的大脑每天能记录大约86 000 000条信息，请用科学记数法表示这个数据．
86 000 000用科学记数法表示为8.6×107.
【变式1】 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是215 000 000米．将数字215 000 000用科学记数法表示为 2.15×108 ．
【变式2】 已知1 cm3的氢气质量约为0.000 09 g，请用科学记数法表示下列计算结果．
(1)求一个容积为8 000 000 cm3的氢气球所充氢气的质量；
(2)一块橡皮重45 g，这块橡皮的质量是1 cm3的氢气质量的多少倍．
(1)0.000 09×8 000 000＝720(g)，720 g＝7.2×102 g；
(2)45÷0.000 09＝500 000＝5×105，故这块橡皮的质量是1 cm3的氢气质量的5×105倍．
15.（运算能力）德国科学家贝塞尔推算出天鹅座61距离地球104 000 000 000 000 km.
(1)用科学记数法表示出暗星到地球的距离；
(2)如果光线每秒大约可行300 000 km，那么你能计算出从天鹅座61发出的光线到达地球大约需要多少秒吗？用科学记数法表示出来（结果保留一位小数）.
(1)104 000 000 000 000 km＝1.04×1014 km.
(2)1.04×1014÷(3×105)≈3.5×108（秒）.
故从天鹅座61发出的光线到达地球大约需要3.5×108秒．
16.（应用意识）在一次水灾中，大约有2.5×107个人无家可归，假如一顶帐篷占地100平方米，可以放置40个床位（一人一床位）.为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多少地方？若某广场面积为5 000平方米，要安置这些人，大约需要多少个这样的广场？（所有结果用科学记数法表示）
需要的帐篷数为2.5×107÷40＝6.25×105（顶）；
这些帐篷的占地面积为6.25×105×100＝6.25×107（平方米）；
需要广场的个数为6.25×107÷5 000＝1.25×104（个）.1.6 有理数的乘方
1.6.1 认识乘方
知识点1 有理数乘方的意义
1.(－2)4表示的意义是( )
A.－2×(－2)×(－2)×(－2)
B．－2＋(－2)＋(－2)＋(－2)
C．－2×4
D．2×2×2×2
2.（广西桂林龙胜县期中）下列叙述正确的是( )
A．3与－3互为倒数
B．3与互为相反数
C．－25的底数是－2
D．当a≠0时，|a|总是大于0
3.底数是－，指数是2的幂可写成 ．
4.平方得16的数为 ， 的立方等于－8.
知识点2 有理数乘方的法则
5.（广西梧州苍梧县期中）计算(－4)3的结果是( )
A．64 B．3 C．－4 D．－64
6.（广西北海银海区期中）下列各组数中，数值相等的是( )
A．32和23 B．(－2)3和－23
C．－32和(－3)2 D．－(－2)和－|－2|
7.（广西河池凤山县期中）下列各式计算结果是负数的是( )
A．(－2)3 B．(－3)2
C．|－3| D．－(－3)
8.现定义一种新运算※：a※b＝ab，如3※2＝32＝9，则(－2)※3＝ ．
易错易混点 当乘方的底数为负数或分数时，漏掉
括号而出错
9.把下列各式用幂的形式表示．
(1)3×3×3×3＝ ；
(2)(－1)·(－1)·(－1)·(－1)·(－1)＝ ；
(3)××＝ ．
10.（福建漳州华安县期中）下列说法正确的是( )
A．－28的底数是－2
B．25表示5个2相加
C．(－3)3与－33意义相同
D．－的底数是2
11.（山东日照东港区期中）计算(－1)n＋(－1)n+1（其中n是正整数）的结果是( )
A．－12n+1 B．－1
C．0 D．1
12.《棋盘上的米粒》故事中，皇帝往棋盘的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3格上加倍至4粒，…，以此类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在第20格中所放的米粒数是 ．
13.（江苏南京秦淮区期中）若24＋24＝2a，35＋35＋35＝3b，则a－b的值为 ．
14.计算－42÷(－2)3×（－），小明同学的计算过程如下：
－42÷(－2)3×（－）
＝16÷(－8)×（－）
＝16÷1
＝16.
(1)请判断小明同学的解答过程是否正确；
(2)若你认为小明同学解答过程错误，请写出正确解答过程．
【母题P47练习T3】 计算：
(1)(－3)4；(2)(－4)3；(3)(－8)3；(4)（－）3.
【变式1】 计算：62×（－）3的正确结果为 ．
【变式2】 计算：
(1)(－8)2×（－）3；(2)（－）2÷（－）3.
15.（应用意识）有一块面积为2平方米的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少平方米？
16.（计算能力）（福建三明永安市期中）(1)计算下面两组算式：
①(3×5)2＝ ，32×52＝ ；
②［(－2)×3］2＝ ，(－2)2×32＝ ；
(2)猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n＝ ；请你利用乘方的意义说明理由．
1.6.2 科学记数法
知识点1 科学记数法
1.（广西来宾象州县期中）“一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴．”中学生要珍惜每分每秒，努力学习，一天的时间为86 400秒，将数据86 400用科学记数法表示为( )
A.86.4×103 B．8.64×103
C．8.64×104 D．0.864×105
2.（广西贺州富川县期中）2024年10月贺州市第六届学生运动会在昭平县城举行，参加本次运动会的各项目比赛的运动员达3 550人，将3 550这个数用科学记数法表示为 ．
3.用科学记数法表示下列各数：
(1)728 500；(2)3 600 000 000；
(3)2 009 000 000；(4)－976.2；
(5)1 985.6；(6)－2 390 000.
知识点2 用科学记数法表示的数的原数
4.（湖南永州宁远县期中）用科学记数法表示的数7.21×1011，它原来是( )位整数．
A．10 B．12 C．13 D．14
5.（湖北武汉武昌区期中）用科学记数法表示的数为2.25×105，则原数是( )
A．22 500 B．225 000
C．2 250 000 D．2 250
6.太阳半径约为6.96×108米，则原数是 千米.
7.下列用科学记数法表示的数的原数是什么？
(1)2.02×107；(2)－7.80×104；
(3)－5.001×102；(4)1.0×106.
易错易混点 将原数用科学记数法表示时，忽略原数
后的单位而出错
8.（广西防城港期中）根据文化和旅游部发布的数据，2024年“五一”假期期间全国国内旅游出游人数达到了2.95亿人次．数字2.95亿用科学记数法表示为( )
A．2.95×107 B．2.95×108
C．2.95×109 D．2.95×1010
9.（广西崇左期中）广西某县位于广西西北部，是百越古道上重要的支点，滇桂黔三省结合部，全县总人口约22.9万人，数据22.9万用科学记数法表示为( )
A．2.29×105 B．2.29×106
C．22.9×104 D．0.229×106
10.（广西贵港平南县模拟）截至2024年3月18日，南水北调东中线一期工程已累计向北方输水7×1010立方米，直接受益人口超1.76亿人，其中7×1010立方米可表示为( )
A．7亿立方米 B．70亿立方米
C．700亿立方米 D．7 000亿立方米
11.地球的质量约为6×1013亿吨，太阳的质量约是地球质量的3.3×105倍，太阳的质量用科学记数法表示为( )
A．1.98×1018亿吨 B．1.98×1019亿吨
C．1.98×1020亿吨 D．1.98×1065亿吨
12.一个整数2 440…0用科学记数法表示为2.44×106，则原数中“0”的个数为 ．
13.比较大小．
(1)9.523×1010与1.002×1011；
(2)－8.76×109与－1.03×1010.
14.（河北唐山一模）某市计划修建一个长为3.6×102米，宽为3×102米的矩形市民休闲广场．
(1)请计算该广场的面积S（结果用科学记数法表示）；
(2)如果用一种60 cm×60 cm的正方形大理石地砖铺装该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖．
【母题P49练习T2】 人的大脑每天能记录大约86 000 000条信息，请用科学记数法表示这个数据．
【变式1】 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是215 000 000米．将数字215 000 000用科学记数法表示为 ．
【变式2】 已知1 cm3的氢气质量约为0.000 09 g，请用科学记数法表示下列计算结果．
(1)求一个容积为8 000 000 cm3的氢气球所充氢气的质量；
(2)一块橡皮重45 g，这块橡皮的质量是1 cm3的氢气质量的多少倍．
15.（运算能力）德国科学家贝塞尔推算出天鹅座61距离地球104 000 000 000 000 km.
(1)用科学记数法表示出暗星到地球的距离；
(2)如果光线每秒大约可行300 000 km，那么你能计算出从天鹅座61发出的光线到达地球大约需要多少秒吗？用科学记数法表示出来（结果保留一位小数）.
16.（应用意识）在一次水灾中，大约有2.5×107个人无家可归，假如一顶帐篷占地100平方米，可以放置40个床位（一人一床位）.为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多少地方？若某广场面积为5 000平方米，要安置这些人，大约需要多少个这样的广场？（所有结果用科学记数法表示）
