2.3 整式的概念
第1课时 整式
知识点1 单项式的定义及相关概念
1.（广西贵港桂平市期中）下列代数式中不是单项式的是( A )
A． B． C．3 D．0
2.（广西崇左宁明县期中）下列各式中，次数为4的单项式是( B )
A．x2y B．x3y C．3xy D．x3＋y3
3.（广西大学附中期中）单项式－xy的系数是( D )
A． B．－ C． D．－
知识点2 多项式的定义及相关概念
4.下列代数式中，是多项式的是( D )
A．＋1 B．abc
C．－5x2y2 D．a＋b
5.（广西崇左江州区期中）对于多项式3x2y3＋2y3－1，下列说法正确的是( A )
A．该多项式的次数是5
B．该多项式是三次三项式
C．该多项式的常数项是1
D．该多项式最高项的系数是2
6.（广西贺州八步区期中）多项式4x2y－5x3y2＋7xy3－1是 五 次 四 项式．
知识点3 整式
7.（广西大学附中期中）下列各式中，不是整式的是( B )
A．3a＋b B．2x＝1
C．0 D．xy
8.（湖南常德澧县期中）下列式子：，－π，，x2y3，，3－x.其中整式有 4 个．
易错易混点 误将数的指数视作多项式项的次数而
出错
9.多项式xy2＋9x2y3－5xy－46是 五 次多项式．
10.（广西防城港上思县期中）下列说法正确的是( C )
A．单项式－mn的次数是0
B．单项式πab的系数是1
C．单项式－bc4的系数是－
D．－5是一次单项式
11.（广西贵港平南县期中）若多项式x|m|－(m－3)x＋7是关于x的三次三项式，则m的值是( B )
A．3 B．－3
C．－4 D．3或－3
12.下列式子：①－xy，②x＋1，③3a2b，④1－x，⑤(a＋1)2，⑥中，单项式有 ①③⑥ ．（填序号）
13.（广西梧州苍梧县期中）一个关于x的二次三项式，二次项的系数是－1，一次项的系数和常数项都是2，则这个多项式是 －x2＋2x＋2 ．
14.（广西桂林永福县期中）已知单项式6x2y4与yzm+2的次数相同，求3m－2的值．
因为单项式6x2y4与yzm+2的次数相同，所以2＋4＝1＋m＋2，解得m＝3，所以3m－2＝3×3－2＝9－2＝7.
15.如图所示，在长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形，用a，b，x表示纸片剩余部分的面积．列出的代数式是整式吗？如果是，指出它是单项式还是多项式．
纸片剩余部分的面积是ab－4x2，它是整式，是多项式．
【母题P77练习T2】 分别写出下列多项式的次数和常数项：
(1)－3x＋11；
(2)－x2＋4x－7；
(3)x3－2x2y－3x＋y2＋5y－1；
(4)－x4＋5x2y3－12xy＋y2－2y＋25.
(1)－3x＋11，是一次多项式，常数项是11；
(2)－x2＋4x－7，是二次多项式，常数项是－7；
(3)x3－2x2y－3x＋y2＋5y－1，是三次多项式，常数项是－1；
(4)－x4＋5x2y3－12xy＋y2－2y＋25，是五次多项式，常数项是25.
【变式1】 指出下列多项式的项和次数，并说明它们是几次几项式．
(1)x4－x2－1；
(2)－2x6＋x5y2－x2y5－2xy3＋1.
(1)x4－x2－1的项有三项为x4，－x2，－1，次数是4，即四次三项式；
(2)－2x6＋x5y2－x2y5－2xy3＋1的项有五项为－2x6，x5y2，－x2y5，－2xy3，1，次数是5＋2＝7，即七次五项式．
【变式2】 说出下列多项式是几次几项式，并指出常数项和最高次项的系数．
(1)－4x4y－2x2＋3＋5y；
(2)x3y2＋3y2x－4＋2πx4y3.
(1)根据多项式定义可知，－4x4y－2x2＋3＋5y是5次4项式，常数项是3，最高次项的系数是－4；
(2)根据多项式定义可知：x3y2＋3y2x－4＋2πx4y3是7次4项式，常数项是－4，最高次项的系数是2π.
16.（规律探究）（广西防城港期中）按一定规律排列的单项式：－3，5a，－7a2，9a3，…，则第9个单项式是 －19a8 .
因为－3，5a，－7a2，9a3，…，
所以符号的排列规律为第奇数个单项式的符号为“－”，第偶数个单项式的符合为“＋”，
系数的排列规律为－3，5，－7，9，…，(－1)n(2n＋1)，
指数的排列规律为0，1，2，3，…，n－1，
所以第9个单项式的符号为“－”，系数为(－1)9×(2×9＋1)＝－19，指数为n－1＝9－1＝8，
故第9个单项式是－19a8.
第2课时 合并同类项
知识点1 认识同类项
1.（广西南宁期中）下列单项式中，与2m是同类项的是( D )
A．2 B．m2 C．2mn D．－3m
2.（广西大学附中期中）下列各式中是同类项的为( D )
A．－x2y和xy2 B．xy和xz
C．ab和abc D．－3m2n3和n3m2
3.单项式a2by与单项式2axb3是同类项，则x＋y的值是( B )
A．3 B．5 C．7 D．8
知识点2 合并同类项
4.（广西贺州八步区期中）下列运算中，正确的是( D )
A．8x＋5y＝13xy B．2a2＋a2＝3a4
C．5x－3x＝2 D．7x2y－2yx2＝5x2y
5.(1)计算：3a－2a＝ a ；
(2)计算：－p－p＝ －2p ；
(3)计算：a2b－2a2b＝ －a2b .
6.合并同类项：
(1)5a－3b－a＋2b；
(2)－3x2＋7x－6＋2x2－5a＋1；
(3)a2b－b2c＋3a2b＋2b2c；
(4)－a2b－ab2＋a2b＋ab2.
(1)原式＝5a－a－3b＋2b＝4a－b；
(2)原式＝－3x2＋2x2＋7x－5a－6＋1＝－x2＋7x－5a－5；
(3)原式＝a2b＋3a2b－b2c＋2b2c＝4a2b＋b2c；
(4)原式＝－a2b＋a2b－ab2＋ab2＝－a2b＋ab2.
知识点3 降幂（或升幂）排列
7.把多项式a3＋b2－3ab2－3a2b按a降幂排列正确的是( C )
A．b2－3ab2－3a2b＋a3
B．b2－3a2b－3ab2＋a3
C．a3－3a2b－3ab2＋b2
D．a3－3ab2－3a2b＋b2
易错易混点 合并同类项时，忽略项的符号而出错
8.计算：3ab2－5a2b＋4a2b－3ab2＝ －a2b ．
9.把(x－y)2看作一个整体，－2(x－y)2＋(x－y)2－3(x－y)2合并同类项的结果是( C )
A．(x－y)2 B．－4x2＋4y2
C．－4(x－y)2 D．－4(x－y)3
10.七年级一班有(2a－b)个男生和(3a＋b)个女生，则男生比女生少 (a＋2b) 人．
11.（广西贵港平南县期中）若单项式－3xmyn与xy3的和仍是单项式，则m－n的值是 －2 ．
12.已知关于x，y的多项式mx2＋4xy－x－2x2＋nxy－3y＋8合并同类项后不含二次项，求nm的值.
mx2＋4xy－x－2x2＋nxy－3y＋8
＝(m－2)x2＋(4＋n)xy－x－3y＋8，
由题意，得m－2＝0，4＋n＝0，
解得m＝2，n＝－4.
所以nm＝(－4)2＝16.
【母题P80练习T2】 把下列多项式合并同类项，并指出它们分别是几次几项式．
(1)6x4－5x4＋7x2－3x4＋8；
(2)8x4y－5x3y－6x4y＋2x3y＋9xy－11.
(1)6x4－5x4＋7x2－3x4＋8＝6x4－5x4－3x4＋7x2＋8＝－2x4＋7x2＋8，它是四次三项式；
(2)8x4y－5x3y－6x4y＋2x3y＋9xy－11＝8x4y－6x4y－5x3y＋2x3y＋9xy－11＝2x4y－3x3y＋9xy－11，它是五次四项式．
【变式】 合并同类项：
(1)a2＋2a－a＋a2－1；
(2)3y4－6x3y－5y4＋2yx3.
(1)原式＝(1＋1)a2＋(2－1)a－1＝2a2＋a－1；
(2)原式＝(3－5)y4＋(－6＋2)x3y＝－2y4－
4x3y.
13.（抽象能力）小明说：“我发现一个结论，任何一个两位数，把它的十位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的两位数，这个数与新两位数的和一定是11的倍数．”你认为他的结论正确吗？为什么？
结论正确．
理由：设原来的两位数为10a＋b，则对调后的两位数为10b＋a，
所以10a＋b＋10b＋a＝11(a＋b).
故不论a＋b为何值，10a＋b＋10b＋a总能被11整除，故此结论正确．
14.（运算能力）对于代数式2x2＋7xy＋3y2＋x2－kxy＋5y2，老师提出了两个问题，第一个问题：当k为何值时，代数式中不含xy项？第二个问题：在第一问的前提下，如果x＝2，y＝－1，代数式的值是多少？
(1)小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧．
(2)在做第二个问题时，马小虎同学把y＝－1，错看成y＝1，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？
(1)因为2x2＋7xy＋3y2＋x2－kxy＋5y2
＝(2x2＋x2)＋(3y2＋5y2)＋(7xy－kxy)
＝3x2＋8y2＋(7－k)xy，
所以只要7－k＝0，这个代数式就不含xy项．
即k＝7时，代数式中不含xy项．
(2)因为在第一问的前提下原代数式为3x2＋8y2.
当x＝2，y＝－1时，
原式＝3×22＋8×(－1)2＝12＋8＝20.
当x＝2，y＝1时，
原式＝3×22＋8×12＝12＋8＝20.
所以马小虎的最后结果是正确的．2.3 整式的概念
第1课时 整式
知识点1 单项式的定义及相关概念
1.（广西贵港桂平市期中）下列代数式中不是单项式的是( )
A． B． C．3 D．0
2.（广西崇左宁明县期中）下列各式中，次数为4的单项式是( )
A．x2y B．x3y C．3xy D．x3＋y3
3.（广西大学附中期中）单项式－xy的系数是( )
A． B．－ C． D．－
知识点2 多项式的定义及相关概念
4.下列代数式中，是多项式的是( )
A．＋1 B．abc
C．－5x2y2 D．a＋b
5.（广西崇左江州区期中）对于多项式3x2y3＋2y3－1，下列说法正确的是( )
A．该多项式的次数是5
B．该多项式是三次三项式
C．该多项式的常数项是1
D．该多项式最高项的系数是2
6.（广西贺州八步区期中）多项式4x2y－5x3y2＋7xy3－1是 项式．
知识点3 整式
7.（广西大学附中期中）下列各式中，不是整式的是( )
A．3a＋b B．2x＝1
C．0 D．xy
8.（湖南常德澧县期中）下列式子：，－π，，x2y3，，3－x.其中整式有 个．
易错易混点 误将数的指数视作多项式项的次数而
出错
9.多项式xy2＋9x2y3－5xy－46是 次多项式．
10.（广西防城港上思县期中）下列说法正确的是( )
A．单项式－mn的次数是0
B．单项式πab的系数是1
C．单项式－bc4的系数是－
D．－5是一次单项式
11.（广西贵港平南县期中）若多项式x|m|－(m－3)x＋7是关于x的三次三项式，则m的值是( )
A．3 B．－3
C．－4 D．3或－3
12.下列式子：①－xy，②x＋1，③3a2b，④1－x，⑤(a＋1)2，⑥中，单项式有 ．（填序号）
13.（广西梧州苍梧县期中）一个关于x的二次三项式，二次项的系数是－1，一次项的系数和常数项都是2，则这个多项式是 ．
14.（广西桂林永福县期中）已知单项式6x2y4与yzm+2的次数相同，求3m－2的值．
15.如图所示，在长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形，用a，b，x表示纸片剩余部分的面积．列出的代数式是整式吗？如果是，指出它是单项式还是多项式．
【母题P77练习T2】 分别写出下列多项式的次数和常数项：
(1)－3x＋11；
(2)－x2＋4x－7；
(3)x3－2x2y－3x＋y2＋5y－1；
(4)－x4＋5x2y3－12xy＋y2－2y＋25.
【变式1】 指出下列多项式的项和次数，并说明它们是几次几项式．
(1)x4－x2－1；
(2)－2x6＋x5y2－x2y5－2xy3＋1.
【变式2】 说出下列多项式是几次几项式，并指出常数项和最高次项的系数．
(1)－4x4y－2x2＋3＋5y；
(2)x3y2＋3y2x－4＋2πx4y3.
16.（规律探究）（广西防城港期中）按一定规律排列的单项式：－3，5a，－7a2，9a3，…，则第9个单项式是 .
第2课时 合并同类项
知识点1 认识同类项
1.（广西南宁期中）下列单项式中，与2m是同类项的是( )
A．2 B．m2 C．2mn D．－3m
2.（广西大学附中期中）下列各式中是同类项的为( )
A．－x2y和xy2 B．xy和xz
C．ab和abc D．－3m2n3和n3m2
3.单项式a2by与单项式2axb3是同类项，则x＋y的值是( )
A．3 B．5 C．7 D．8
知识点2 合并同类项
4.（广西贺州八步区期中）下列运算中，正确的是( )
A．8x＋5y＝13xy B．2a2＋a2＝3a4
C．5x－3x＝2 D．7x2y－2yx2＝5x2y
5.(1)计算：3a－2a＝ ；
(2)计算：－p－p＝ ；
(3)计算：a2b－2a2b＝ .
6.合并同类项：
(1)5a－3b－a＋2b；
(2)－3x2＋7x－6＋2x2－5a＋1；
(3)a2b－b2c＋3a2b＋2b2c；
(4)－a2b－ab2＋a2b＋ab2.
知识点3 降幂（或升幂）排列
7.把多项式a3＋b2－3ab2－3a2b按a降幂排列正确的是( )
A．b2－3ab2－3a2b＋a3
B．b2－3a2b－3ab2＋a3
C．a3－3a2b－3ab2＋b2
D．a3－3ab2－3a2b＋b2
易错易混点 合并同类项时，忽略项的符号而出错
8.计算：3ab2－5a2b＋4a2b－3ab2＝ ．
9.把(x－y)2看作一个整体，－2(x－y)2＋(x－y)2－3(x－y)2合并同类项的结果是( )
A．(x－y)2 B．－4x2＋4y2
C．－4(x－y)2 D．－4(x－y)3
10.七年级一班有(2a－b)个男生和(3a＋b)个女生，则男生比女生少 人．
11.（广西贵港平南县期中）若单项式－3xmyn与xy3的和仍是单项式，则m－n的值是 ．
12.已知关于x，y的多项式mx2＋4xy－x－2x2＋nxy－3y＋8合并同类项后不含二次项，求nm的值.
【母题P80练习T2】 把下列多项式合并同类项，并指出它们分别是几次几项式．
(1)6x4－5x4＋7x2－3x4＋8；
(2)8x4y－5x3y－6x4y＋2x3y＋9xy－11.
【变式】 合并同类项：
(1)a2＋2a－a＋a2－1；
(2)3y4－6x3y－5y4＋2yx3.
13.（抽象能力）小明说：“我发现一个结论，任何一个两位数，把它的十位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的两位数，这个数与新两位数的和一定是11的倍数．”你认为他的结论正确吗？为什么？
14.（运算能力）对于代数式2x2＋7xy＋3y2＋x2－kxy＋5y2，老师提出了两个问题，第一个问题：当k为何值时，代数式中不含xy项？第二个问题：在第一问的前提下，如果x＝2，y＝－1，代数式的值是多少？
(1)小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧．
(2)在做第二个问题时，马小虎同学把y＝－1，错看成y＝1，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？
