4．3 角
4．3.1 角与角的大小比较
知识点1 角的定义及表示
1．下列说法中，正确的是( C )
A.两条射线组成的图形叫作角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫作角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形
2．下列语句正确的是__③__．(只填序号)
①延长一个角的两边；②周角是一条射线；③反向延长射线OA就得到一个以点O为顶点的平角；④平角就是一条直线．
3．如图，回答下列问题：
(1)∠ECG和∠C是不是同一个角？
(2)∠ABC和∠BCA是不是同一个角？
(3)图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来．
(1)∠ECG和∠C的顶点都是C，角的两边都是射线CA、CB，因此是同一个角；
(2)∠ABC和∠BCA的顶点不同，因此不是同一个角；
(3)图中可以用一个字母表示的角有3个，分别是∠A，∠B，∠C.
知识点2 角的大小比较
4．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( A )
A．∠AOB>∠AOC B．∠AOB<∠BOC
C．∠BOC>∠AOC D．∠AOC>∠BOC
5．(江苏扬州仪征市期末)小正方形网格如图所示，点A，B，C，D，O均为格点，那么∠AOB__＞__
∠COD(填“＞”“＜”或“＝”).
知识点3 角平分线
6．(广西来宾兴宾区期末)如图，∠BOD＝118°，∠COD是直角，OC平分∠AOB，则∠AOB的度数为__56°__．
7．如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝∠BOD，射线OE平分∠BOC，∠EOD＝42°，求∠EOC的大小．
设∠AOC＝x°，则∠BOE＝(42＋x)°，
根据题意，得∠AOC＋2∠BOE＝180°，
即x＋2(42＋x)＝180，解得x＝32，
所以∠EOC＝∠BOE＝(42＋x)°＝74°.
易错易混点 在数角的个数时，混淆角的表示方法
而出错
8．图中共有__7__个小于平角的角，其中可用一个大写字母表示的角有__2__个．
9．(湖北十堰竹溪县期末)下列关于角的说法正确的个数是( A )
①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．(山东泰安肥城市期末)如图，下列关于角的表示说法错误的是( C )
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．∠AOC也可用∠O来表示
D．图中共有三个角，分别是∠AOB，∠AOC，∠BOC
11．(吉林松原宁江区校级期末)如图，图中小于平角的角有__9__个．
12．如图，OD是∠AOB的平分线，∠AOC比∠BOC大30°.则∠COD的度数是__15°__．
13．如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD.
(1)当∠AOC＝60°时，求∠DOE的度数；
(2)请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．
(1)因为∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，所以∠BOC＝90°－60°＝30°，因为OB平分∠COD，所以∠BOC＝∠BOD＝30°，所以∠DOE＝180°－30°－30°＝120°；
(2)∠DOE＝2∠AOC.理由如下：因为∠AOB＝90°，所以∠BOC＝90°－∠AOC，因为OB平分∠COD，所以∠BOC＝∠BOD＝90°－∠AOC，所以∠DOE＝180°－2∠BOC＝180°－2(90°－∠AOC)＝2∠AOC.
14．(推理能力)如图，将两块三角板的顶点重合．
(1)请写出图中所有以O点为顶点且小于平角的角；
(2)若∠DOC＝53°，试求∠AOB的度数；
(3)当三角板AOC绕点O适当旋转(保持两三角板有重合部分)时，∠AOB与∠DOC之间具有怎样的数量关系？
(1)图中所有以点O为顶点且小于平角的角有∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB；
(2)因为∠DOC＝53°，∠AOC＝90°，所以∠AOD＝90°－53°＝37°，因为∠DOB＝90°，
所以∠AOB＝∠AOD＋∠DOB＝37°＋90°＝
127°；
(3)∠AOB＝180°－∠DOC.
理由如下：因为∠AOC＝90°，所以∠AOD＝90°－∠DOC，因为∠DOB＝90°，所以∠AOB＝∠AOD＋∠DOB＝90°－∠DOC＋90°＝180°－∠DOC，即∠AOB＝180°－∠DOC.
4．3.2 角的度量与计算
知识点1 角的度量与换算
1．下列计算错误的是( B )
A．0.25°＝900″ B．125.45°＝12 545′
C．1 000″＝()° D．1.5°＝90′
2．(1)35.12°＝__35__°__7__′__12__″；
(2)89°25′48″＝__89.43__°；
(3)2 700″＝__0.75__°.
知识点2 余角和补角的定义与性质
3．(广西百色期末)如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝45°，则∠BOC的度数为( B )
A．125° B．135° C．145° D．155°
4．(广西贵港港南区期末)将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝18°，则∠BOC的大小为( A )
A．162° B．142° C．172° D．150°
5．(广西钦州浦北县期末)已知∠α＝38°12′，那么∠α的余角是__51°48′__．
6．(广西柳州期末)若∠A＝53°20′，则∠A的补角的度数为__126°40′__．
7．(广西河池宜州区期末)一个角的补角为144°，那么这个角的余角是__54°__．
易错易混点 在求角的度数时，忽略射线的不同位置
而出错
8．已知∠AOB＝60°，自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC∶∠AOB＝1∶3，则∠BOC的度数是__80°或40°__．
9．时钟显示为8：30时，时针与分针所夹的角是( C )
A．90° B．120° C．75° D．84°
8时30分时，钟面上时针指向数字8与9的中间，分针指向数字6，所以时针与分针所成的角等于2×30°＋×30°＝75°.
10．(广西贺州期末)若三个角的大小：∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，则( A )
A．∠A＞∠B＞∠C
B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B
D．∠C＞∠A＞∠B
11．(广西玉林玉州区期末)将一副学生用三角板(一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形)如图叠放，则下列4个结论中正确的个数为( C )
①OE平分∠AOD；②∠AOC＝∠EOD；
③∠AOC－∠CEA＝15°；④∠COB＋∠AOD＝180°.
A．0 B．1 C．2 D．3
12．(江苏苏州高新区期末)如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，那么∠1的度数为__34°30′__．
13．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠BOC＝40°，OD，OE分别是∠BOC，∠AOC的平分线．
(1)求∠AOE的度数；
(2)写出图中与∠EOC互余的角；
(3)∠COE有补角吗？若有，请把它找出来，并说明理由．
(1)因为∠BOC＝40°，所以∠AOC＝140°，
因为OE是∠AOC的平分线，所以∠AOE＝140°÷2＝70°；
(2)因为OD，OE分别是∠BOC，∠AOC的平分线，
所以∠AOE＝∠EOC，∠COD＝∠BOD，所以∠EOC＋∠COD＝90°，所以∠BOD＋∠EOC＝90°，所以图中与∠EOC互余的角有∠COD，∠BOD；
(3)∠COE有补角．
理由如下：因为∠AOE＝∠EOC，∠AOE＋∠BOE＝180°，
所以∠COE＋∠BOE＝180°，所以∠COE有补角是∠BOE.
【母题P164练习T2】计算：
(1)72°12′＋50°40′30″；
(2)113°50′40″－57°48′42″.
(1)72°12′＋50°40′30″＝122°52′30″；
(2)113°50′40″－57°48′42″＝113°49′100″－57°48′42″＝56°1′58″.
【变式1】 计算：56°17′＋12°45′－16°21′＝__52°41′__．
【变式2】 计算：
(1)180°－36°54″；(2)182°36′÷4＋22°16′×3.
(1)180°－36°54″＝179°59′60″－36°0′54″＝143°59′6″；
(2)182°36′÷4＋22°16′×3＝180°156′÷4＋66°48′＝45°39′＋66°48′＝111°87′＝112°27′.
14．(推理能力)(江苏南京鼓楼区期末)已知∠AOB＝120°，射线OC，OD在∠AOB内部，OC平分∠AOB，∠COD＝40°.
(1)求∠BOD的大小；
(2)若射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，直接写出∠MON的大小．
(1)因为∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，如图①，当OD在∠AOC内部时，∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝60°＋40°＝100°，如图②，当OD在∠BOC内部时，∠BOD＝∠BOC－∠COD＝60°－40°＝20°，所以∠BOD的大小为20°或100°；
(2)如图③，当OD在∠AOC内部时，∠BOD＝100°，∠AOC＝60°，因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，所以∠AOM＝∠AOC＝30°，∠BON＝∠BOD＝50°，所以∠MON＝∠AOB－∠AOM－∠BON＝120°－30°－50°＝40°；
如图④，当OD在∠BOC内部时，∠BOD＝20°，∠AOC＝60°，因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，所以∠AOM＝∠AOC＝30°，∠BON＝∠BOD＝10°，所以∠MON＝∠AOB－∠AOM－∠BON＝120°－30°－10°＝80°；综上所述，∠MON的大小为40°或80°.4．3 角
4．3.1 角与角的大小比较
知识点1 角的定义及表示
1．下列说法中，正确的是( )
A.两条射线组成的图形叫作角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫作角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形
2．下列语句正确的是__ __．(只填序号)
①延长一个角的两边；②周角是一条射线；③反向延长射线OA就得到一个以点O为顶点的平角；④平角就是一条直线．
3．如图，回答下列问题：
(1)∠ECG和∠C是不是同一个角？
(2)∠ABC和∠BCA是不是同一个角？
(3)图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来．
知识点2 角的大小比较
4．在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( )
A．∠AOB>∠AOC B．∠AOB<∠BOC
C．∠BOC>∠AOC D．∠AOC>∠BOC
5．(江苏扬州仪征市期末)小正方形网格如图所示，点A，B，C，D，O均为格点，那么∠AOB__ __
∠COD(填“＞”“＜”或“＝”).
知识点3 角平分线
6．(广西来宾兴宾区期末)如图，∠BOD＝118°，∠COD是直角，OC平分∠AOB，则∠AOB的度数为__ __．
7．如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝∠BOD，射线OE平分∠BOC，∠EOD＝42°，求∠EOC的大小．
易错易混点 在数角的个数时，混淆角的表示方法而出错
8．图中共有__ __个小于平角的角，其中可用一个大写字母表示的角有__ __个．
9．(湖北十堰竹溪县期末)下列关于角的说法正确的个数是( )
①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．(山东泰安肥城市期末)如图，下列关于角的表示说法错误的是( )
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．∠AOC也可用∠O来表示
D．图中共有三个角，分别是∠AOB，∠AOC，∠BOC
11．(吉林松原宁江区校级期末)如图，图中小于平角的角有__ __个．
12．如图，OD是∠AOB的平分线，∠AOC比∠BOC大30°.则∠COD的度数是__ __．
13．如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD.
(1)当∠AOC＝60°时，求∠DOE的度数；
(2)请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．
14．(推理能力)如图，将两块三角板的顶点重合．
(1)请写出图中所有以O点为顶点且小于平角的角；
(2)若∠DOC＝53°，试求∠AOB的度数；
(3)当三角板AOC绕点O适当旋转(保持两三角板有重合部分)时，∠AOB与∠DOC之间具有怎样的数量关系？
4．3.2 角的度量与计算
知识点1 角的度量与换算
1．下列计算错误的是( )
A．0.25°＝900″ B．125.45°＝12 545′
C．1 000″＝()° D．1.5°＝90′
2．(1)35.12°＝__ __°__ __′__ __″；
(2)89°25′48″＝__ __°；
(3)2 700″＝__ __°.
知识点2 余角和补角的定义与性质
3．(广西百色期末)如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝45°，则∠BOC的度数为( )
A．125° B．135° C．145° D．155°
4．(广西贵港港南区期末)将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝18°，则∠BOC的大小为( )
A．162° B．142° C．172° D．150°
5．(广西钦州浦北县期末)已知∠α＝38°12′，那么∠α的余角是__ __．
6．(广西柳州期末)若∠A＝53°20′，则∠A的补角的度数为__ __．
7．(广西河池宜州区期末)一个角的补角为144°，那么这个角的余角是__ __．
易错易混点 在求角的度数时，忽略射线的不同位置
而出错
8．已知∠AOB＝60°，自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC∶∠AOB＝1∶3，则∠BOC的度数是__ __．
9．时钟显示为8：30时，时针与分针所夹的角是( )
A．90° B．120° C．75° D．84°
10．(广西贺州期末)若三个角的大小：∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，则( )
A．∠A＞∠B＞∠C
B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B
D．∠C＞∠A＞∠B
11．(广西玉林玉州区期末)将一副学生用三角板(一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形)如图叠放，则下列4个结论中正确的个数为( )
①OE平分∠AOD；②∠AOC＝∠EOD；
③∠AOC－∠CEA＝15°；④∠COB＋∠AOD＝180°.
A．0 B．1 C．2 D．3
12．(江苏苏州高新区期末)如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，那么∠1的度数为__ __．
13．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠BOC＝40°，OD，OE分别是∠BOC，∠AOC的平分线．
(1)求∠AOE的度数；
(2)写出图中与∠EOC互余的角；
(3)∠COE有补角吗？若有，请把它找出来，并说明理由．
【母题P164练习T2】计算：
(1)72°12′＋50°40′30″；
(2)113°50′40″－57°48′42″.
【变式1】 计算：56°17′＋12°45′－16°21′＝__ __．
【变式2】 计算：
(1)180°－36°54″；(2)182°36′÷4＋22°16′×3.
14．(推理能力)(江苏南京鼓楼区期末)已知∠AOB＝120°，射线OC，OD在∠AOB内部，OC平分∠AOB，∠COD＝40°.
(1)求∠BOD的大小；
(2)若射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，直接写出∠MON的大小．
