第3章 一次方程(组)
3．1 等量关系和方程
知识梳理
1．方程
(1)含有__ __的表示等量关系的等式叫作方程．
(2)把所要求的量用字母x(或y…)表示，根据问题中的等量关系__ __，这一过程叫作建立方程．
2．一元一次方程
(1)像方程2x＋(14－x)＝26，2.4y＋2y＋2.4＝6.8这样，只含有__ __未知数，并且未知数的次数是__ __，这样的方程叫作一元一次方程．
(2)能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中__ __的一个值．
重难突破
重难点 建立一元一次方程模型
【典例】 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程( )
A．＋1＝ B．＝－9
C．－1＝ D．＋1＝
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
【对点训练】
1．一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程：0.8x－20＝0.6x＋10.小明列此方程的依据是( )
A.商品的利润不变 B．商品的售价不变
C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变
2．2024年元旦期间，小华和家人到公园景区游玩．公园里有大小两种游船，小华发现：1艘大船与1艘小船一次满载游客共26人，2艘大船与3艘小船一次满载游客共60人．若设一艘大船一次满载人数为x人，则根据题意可列方程为__ __．
课堂10分钟
1．下列各式中，不是方程的是( )
A．a＝0 B．2x＋3
C．2m＋1＝5 D．2(y＋1)＝3y＋2
2．如果关于x的方程2x＋k－4＝0的解是x＝－3，那么k的值是( )
A．－10 B．－2 C．2 D．10
3．下列方程为一元一次方程的是( )
A．x－y＝1 B．＝x＋3
C．x＝3 D．x2－1＝0
4．已知方程(a－1)x|a|＋16＝0是关于x的一元一次方程，则a的值为__ __．
5．某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产了60件，设原计划每小时生产y个零件，可列方程为__ __．
3．2 等式的基本性质
第1课时 等式的基本性质
知识梳理
1．等式的性质1
等式两边都加上或减去同一个数(或整式)，等式两边仍然__ __．
2．等式的性质2
等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为__ __的数，等式两边仍然相等．
运用等式性质化简时，若约去的不是一个数，而是一个表示数的字母或式子，约分前一定要对字母或式子进行分类讨论．
重难突破
重难点 等式的性质
【典例】 下列运用等式的性质变形错误的是( )
A．由a＝b，得a＋3＝b＋3
B．由a－5＝b－5，得a＝b
C．由a＝b，得－2a＝－2b
D．由a＝b，得＝
应用等式性质时，要注意两点：(1)怎样变形；(2)依据哪一条性质，变形时要步步有据．
【对点训练】
已知a＝b，则下列根据等式的性质变形错误的是( )
A．a＋2＝2＋b B．a－2＝2－b
C．－2a＝－2b D．＝
课堂10分钟
1．下列等式变形中，正确的是( )
A.若3x－2＝5，则3x＝－7
B．若5x＋2＝－6，则5x＝－8
C．若－x＝2，则2x＝6
D．若－8x＝4，则x＝－2
2．已知2a＝b＋1，那么下列等式中不成立的是( )
A．2a＋1＝b＋2 B．2a－b＝1
C．a＝b＋ D．4a＝2b＋1
3．如果a＝b，那么＝成立时c应满足的条件是__ __．
4．阅读理解题：
下面是小明将等式x－4＝3x－4进行变形的过程：
x－4＋4＝3x－4＋4，①
x＝3x，②
1＝3.③
(1)小明①的依据是__ __．
(2)小明出错的步骤是__ __，错误的原因是__ __．
(3)给出正确的解法．
第2课时 移项
知识梳理
1．移项
(1)把方程中的某一项__ __后，从__ __的一边移到另一边，方程的这种变形叫作移项．
(2)移项要__ __．
移项必须是从等式的一边移到另一边，而不是在等式的同一边交换一下项的位置．
2．移项将方程化成x＝a的形式的步骤
①__ __；②__ __；③系数化为1.
重难突破
重难点 用移项将方程化成x＝a的形式
【典例】 利用移项将方程2x＋3＝－3x－7化为x＝a的形式．
移项的关键是分清项移动的方向，一般情况下遵循如下原则：含字母的项移到等号左边，不含字母的项移到等号右边，移项前项的符号要改变．
【对点训练】
1．将方程5x－3－2x＝2，移项正确的是( )
A．5x－2x－3＝2 B．5x＋2x＋3＝2
C．5x－2x＝2－3 D．5x－2x＝2＋3
2．方程5x＋9＝2x－1可化成x＝__ __．
课堂10分钟
1．下列等式，由方程2x－4＝6变形得到的是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝5
2．下列方程中，可化成x＝2的方程是( )
A．3x＝x＋3 B．－x＋3＝0
C．5x－3＝7 D．3x＝6＋x
3．将方程x＝3x＋7移项，得x－3x＝7，这一步的依据是__ __．
4．给出下列方程的变形：①由x＋6＝8，得x＝8－6；
②由x＝－3，得x＝－6；③由6x＋2＝4x，得3x＋1＝2x；④由5x＋1＝4x－3，得5x＋3＝4x－1.其中属于移项的是__ __．(填序号)
5．当x＝__ __时，多项式2x－3与多项式－2＋x的值相等．
第3课时 去括号、去分母
知识梳理
1．去括号法则
(1)括号前面是正号，去掉括号和它前面的正号，括号里的各项都__ __．
(2)括号前面是负号，去掉括号和它前面的负号，括号里的各项都__ __．
2．去括号将方程化成x＝a的形式的步骤
①__ __；②移项；③合并同类项；④系数化为1.
去括号时，要看清括号前面的符号，切忌看错符号而误用法则．
3．去分母时，在原方程的两边都乘各个分母的__ __．
4．去分母将方程化成x＝a的形式的步骤
①__ __；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.
重难突破
重难点 用去括号、去分母将方程化成x＝a的形式
【典例】 把方程－＝1化成x＝a的形式．
去分母的关键是寻找分母的最简公分母，一般情况下最简公分母取各分母的最小公倍数，在去分母时，如果遇到项为整式，别漏乘即可．
【对点训练】
1．方程－＝1去分母、去括号后，正确结果是( )
A．9x＋3－10x－1＝1
B．9x＋3－10x－1＝6
C．9x＋3－10x＋1＝1
D．9x＋3－10x＋1＝6
2．方程(2x－5)＋＝1可化成x＝__ __．
课堂10分钟
1．方程＋1＝去分母时，左右两边同时乘一个数，该数最合适的是( )
A．4 B．5
C．6 D．12
2．将方程1－3(x－1)＝5(x＋2)去括号，正确的是( )
A．1－3x－1＝5x＋2
B．1－3x＋3＝5x＋10
C．1－3x＋1＝5x＋2
D．1－3x－3＝5x＋10
3．对于任意两个有理数a，b，规定a b＝3a－b，若2x (3x－2)＝8，则该方程可化成x＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
4．方程－＝1去分母后，得到的方程是__ __.
5．设M＝2x－3，N＝3x－1，若2M与N的值互为相反数，则x＝__ __．
3．3 一元一次方程的解法
第1课时 用移项、去括号解方程
知识梳理
1．解方程
求__ __的过程叫作解方程．
2．移项、去括号解一元一次方程的一般步骤：
①__ __；②__ __；③合并同类项；③系数化为1.
解含括号的一元一次方程时，若括号前有系数，一定要把系数与括号里面的各项都相乘，切记不要漏乘．
重难突破
重难点 用移项、去括号解方程
【典例】 解方程：3(x－1)－4＝2(1－3x).
(1)去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤；(2)解方程前，应先观察方程的特点，灵活选择合适的方法，使方程逐渐向x＝a的形式转化．
【对点训练】
1．解方程2(2x－1)－(x－3)＝1时，去括号，得__ __＝1.
2．解方程：4－2(x＋4)＝3(x－1).
去括号，得4－2x－8＝3x－3，移项，得－2x－3x＝－3－4＋8，合并同类项，得－5x＝1，两边除以－5，得x＝－0.2.
课堂10分钟
1．解方程3x－2(2x－1)＝6，去括号的结果正确的是( )
A．3x－2x＋1＝6 B．3x－4x＋1＝6
C．3x－4x－2＝6 D．3x－4x＋2＝6
2．若式子2(3x－5)与式子6－(1－x)的值相等，则这个值是( )
A．8 B．3
C．2 D．
3．已知2(x－5)与3(5－2x)互为相反数，则x＝__ __．
4．多项式5(x＋2)比多项式3(2x－1)大7，求x的值．
根据题意，得5(x＋2)－3(2x－1)＝7，去括号，得5x＋10－6x＋3＝7，移项，得5x－6x＝7－10－3，合并同类项，得－x＝－6，两边除以－1，得x＝6.
第2课时 用去分母解方程
知识梳理
1．去分母时，方程两边同时乘分母的__ __．
2．去分母解一元一次方程的一般步骤
①__ __；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.
去分母时要特别注意：(1)每一项都要乘最简公分母；(2)分数线本身起除号的作用，去分母时分数线上的多项式要添上括号．
重难突破
重难点 用去分母解一元一次方程
【典例】 解方程：1－＝.
解含分母的方程时，先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
【对点训练】
方程2(－1)＝的解为__ __．
课堂10分钟
1．方程＝1－去分母后正确的结果是( )
A．2(x－2)＝6－(2x－1)
B．2(x－2)＝1－(2x－1)
C．x－2＝6－(2x－1)
D．x－2＝1－(2x－1)
2．将方程－＝1去分母得到方程6x－3－2x－2＝6，其错误的原因是( )
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘分母为1的项
C．去分母时，分子部分的多项式未添括号
D．去分母时，分子未乘相应的数
3．小张在解方程－＝1时，步骤如下：
－＝1.
解：3(3x＋1)－(2x－5)＝6，①
9x＋3－2x＋5＝6，②
9x－2x＝6－3－5，③
7x＝－2，④
x＝－.⑤
则下列选项中步骤与其依据搭配错误的是( )
A．步骤①去分母；等式的性质2
B．步骤②去括号；分配律
C．步骤③移项；等式的性质1
D．步骤⑤系数化为1；等式的性质1
4．把方程－1＝的分母化成整数后，可得方程__ __．
5．解方程：
(1)0.2－(0.4－0.1x)＝0.6x－0.2(x＋1)；
(2)－1＝2x－.
3．4 一元一次方程的应用
第1课时 行程问题、和差问题与工程问题
知识梳理
1．运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤
①从实际问题出发，分析等量关系并设未知数；②建立方程模型；③__ __；④__ __；⑤作答．
2．行程问题
路程＝速度×__ __．
在列方程时，要注意区分行程问题中的“相遇问题”和“追及问题”．
3．和差问题
①和：即求几个量的和，用__ __．
②差：即求几个量的差，用__ __．
4．工程问题
①工作量＝工作效率×__ __；
②若一件工作分几个人完成，则__ __
的和＝工作总量；
③若一件工作分几个阶段完成，则__ __的和＝工作总量．
重难突破
重难点 行程问题
【典例】 一轮船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5 h．已知船在静水中的速度为18 km/h，水流速度为2 km/h，甲、乙两地之间的距离为( )
A.90 km B．120 km
C．150 km D.160 km
流水行船问题的常用公式：(1)路程＝速度×时间；(2)顺水速度＝静水速度＋水流速度；(3)逆水速度＝静水速度－水流速度．
【对点训练】
1．一条船沿江从A地顺流行驶到B地需5小时，从B地逆流行驶至A地需8小时，水流速度是3千米/小时，设该船在静水中的速度是x千米/小时，则依题意可列方程( )
A．5(x＋3)＝8(x－3)
B．5(x＋3)＝8(3－x)
C．5(x＋3)＝8x
D．5(x－3)＝8(x＋3)
2．某人乘船在顺次有A，C，B三地的河流上行驶，先由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船6 h，已知船在静水中的速度是16 km/h，水流速度是4 km/h，若A，C两地距离为4 km，设A，B两地的距离为x km，则A、B两地间的距离是__ __km.
课堂10分钟
1．一辆客车和卡车同时从A地沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是80 km/h，卡车的行驶速度是70 km/h，客车比卡车早2 h经过B地．设A，B间的路程是x km，可得方程( )
A．80x－70x＝2 B．－＝2
C．70x－80x＝2 D．－＝2
2．某牧场放养的鸵鸟和奶牛一共70只，已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为196条，则鸵鸟的只数比奶牛多( )
A．20只 B．15只 C．14只 D．13只
3．一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需( )
A．2天 B．3天 C．4天 D．5天
4．五年级学生中女生比男生多10人，在体育达标测试中，男生全部达标，而女生有10%未达标，这样男、女生共有180人达标，则五年级学生共有__ __人.
5．甲每小时生产某种零件15个，甲生产3小时后，乙也加入生产同一种零件，再经过5小时，两人共生产这种零件210个，则乙每小时生产这种零件__ __个．
第2课时 方案问题与分配问题
知识梳理
1.方案问题
解方案问题的一般步骤：①根据题意，合理设出未知数；②借助 寻找等量关系，并建立方程；③求解方程得出答案并检验．
2.分配问题
解分配问题的一般步骤：①根据题意，合理设出未知数；②借助 后双方有新的倍比关系建立方程；③求解方程得出答案并检验．
分配问题常见题型：(1)既调入又调出；(2)只调入没调出，调入部分变化，其余不变；(3)只调出没调入，调出部分变化，其余不变．解分配问题时，应避免误解关键词而列错方程．
重难突破
重难点 方案问题
【典例】 环江牛角寨瀑布群景区和环江木论喀斯特生态旅游景区是国家4A级旅游景区，寒假期间拟定门票价格每张30元，团队票可选择两种购票优惠方案．
方案一：全体人员打8折；
方案二：有5人可以免票，剩下的人员打9折．
(1)若某团队有100人，为节省购票费用，求该团队应该选择哪种购票方案？
(2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，求该团队共有多少人？
在解含有多种方案可供选择的实际问题时，往往先要理清方案，表示出每种方案的费用，然后根据题意建立方程求解．
【对点训练】
1.某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：
班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有( )
A．60人 B．61人 C．62人 D．63人
2.阳春三月，草长莺飞.2025届四个班的同学决定外出研学，四个班计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配38座客车，则用车数量将减少1辆，并空出2个座位．则四个班外出研学共有 人．
课堂10分钟
1.在“垃圾分类”活动中，实践组有23人，宣传组有16人．应从宣传组调多少人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的两倍？设从宣传组调x人到实践组，则可列方程为( )
A．23－x＝2×16＋x B．23＋x＝2×16－x
C．23－x＝2(16＋x) D．23＋x＝2(16－x)
2.某公司推出两种通话收费方案．方案一：月租费为36元，本地通话话费为0.1元/分；方案二：不收月租费，本地通话话费为0.6元/分．设小明的爸爸一个月的通话时间为x分钟．若两种方案的话费一样多，则小明爸爸一个月的通话时间为( )
A．60分钟 B．70分钟 C．72分钟 D．80分钟
3.用A型和B型两种机器生产同样的产品，已知5台A型机器一天生产的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产一个产品，则每箱可装 个产品．
4.某学校手工艺社团编织手工花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣构成，已知手工艺社团有30人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或20个花瓣．安排多少人编织花心，多少人编织花瓣，才能使一节课编织出来的花心和花瓣刚好配套？
3.5 认识二元一次方程组
知识梳理
1.二元一次方程
含有 个未知数，并且含未知数的项的次数都是 ，这样的方程叫作二元一次方程．
2.二元一次方程组
只含有 个未知数，并且含未知数的项的次数都是 的方程组叫作二元一次方程组．
3.二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程左右两边的值 的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解．
(1)虽然二元一次方程的解有无数个，但是每一个给定的x却只有唯一的y与之对应；
(2)二元一次方程的解的书写有明确要求，注意书写规范．
4.方程组的解
一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值 ，则把(c1，c2)叫作这个方程组的一个解，习惯上记作 ．
5.解方程组
求方程组的解的过程叫作解方程组．
重难突破
重难点 二元一次方程组
【典例】 下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A． B．
C． D．
二元一次方程组满足3个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．
【对点训练】
1.在下列方程组：①②
③④⑤中，是二元一次方程组的是( )
A．①②③ B．①②④
C．①②⑤ D．①②③⑤
2.若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则(a－1)2 024＝ ．
课堂10分钟
1.下列方程中，是二元一次方程的是( )
A．x2＋x＝1 B．xy＝3
C．3x－y＝2z D．2x－3y＝5
2.已知是方程3x＋2y＝12的一个解，则m的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.若方程x|m|-2＋(m－3)y＝5是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ．
4.已知是关于x，y的二元一次方程组的解，求a＋b的值．
3.6 二元一次方程组的解法
3.6.1 代入消元法
知识梳理
代入消元法
把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的 表示，然后把这个 代入另一个方程中，便消去了一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程就可以求出其中一个未知数的值，再把求出的未知数的值代入前面的代数式中，就可以求出另一个未知数的值，至此就求出了二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法．
(1)在运用代入消元法解方程时，如果代入的是多项式，一点要加上括号；(2)为了避免算错，求出解后可回代入原方程组进行检验．
重难突破
重难点 代入消元法
【典例】 解方程组：
当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入消元法会比较简便．
【对点训练】
1.方程组的解是 ．
2.用代入法解方程组：
课堂10分钟
1.用代入消元法解方程组变形不正确的是( )
A．由②得x＝ B．由②得y＝
C．由①得x＝ D．由①得y＝5－2x
2.已知方程组指出下列解法中比较简洁的是( )
A.利用①，用含x的式子表示y，再代入②
B．利用①，用含y的式子表示x，再代入②
C．利用②，用含x的式子表示y，再代入①
D．利用②，用含y的式子表示x，再代入①
3.我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y，得到x＋6x＝14，从而求解．这种解法体现的数学思想是( )
A．数形结合思想 B．分类讨论思想
C．转化思想 D．整体思想
4.用代入法解二元一次方程组时，将方程②代入方程①，得到结果正确的是 ．（不用化简）
5.解下列方程组：
(1) (2)
3.6.2 加减消元法
知识梳理
加减消元法
对于二元一次方程组，把一个方程进行适当 后，再加上（或减去）另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值，再把这个值代入原二元一次方程组的 ，就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法．
(1)在进行方程的加减时，易出现符号错误，因此要特别仔细；(2)为了避免算错，求出解后可回代入原方程组进行检验．
重难突破
重难点 加减消元法
【典例】 解方程组：
当两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减消元法会比较简便．
【对点训练】
1.用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法中无法消元的是( )
A．①×2＋② B．①×5－②×3
C．①×3－②×5 D．①×(－5)＋②×3
2.对有理数x，y，定义新运算：x y＝ax＋by＋1，其中a，b是常数．若2 (－1)＝－3，3 3＝4，则a＋b＝ ．
课堂10分钟
1.用加减法解二元一次方程组用①－②得到的方程是( )
A．3x＝－4 B．－3x＝18
C．7x＝6 D．－7x＝10
2.用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中( )
A．某个未知数的系数为1
B．某个未知数的系数相等
C．某个未知数的系数互为相反数
D．某个未知数的系数的绝对值相等
3.用加减消元法解二元一次方程组下列步骤可以消去未知数x的是( )
A．①×4＋②×3 B．①×2－②×5
C．①×5－②×2 D．①×5＋②×2
4.解二元一次方程组的基本思路是“消元”，则解方程组最适合用 消元法．
5.关于x，y的二元一次方程组的解为求m和n的值．
3.7 二元一次方程组的应用
第1课时 行程问题与商品销售问题
知识梳理
1.列二元一次方程组解决实际问题的思路
从实际问题出发，先分析题意找出 等量关系，并列出 ，然后解这个 ，最后检查是否符合实际问题的需要，如果符合，它就是实际问题的解．
2.行程问题
路程＝速度×时间．
在解行程问题时，若以时间（或路程）建立等量关系去列方程，一定要注意等号左右两边时间（或路程）的单位要相同．
3.商品销售问题
利润＝售价－进价，利润＝利润率×进价．
重难突破
重难点 商品销售问题
【典例】 某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60 000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13 500元，进价和售价如表：
价格 上衣 裤子
进价（元/件） 100 150
售价（元/件） 125 180
求小东的商店购进上衣和裤子各多少件？
商品销售问题，把握两点：(1)商品销售盈利百分数是相对于进价而言，不要误认为是相对于定价或售价；(2)列方程时要注意区分“利润”和“利润率”的不同．
【对点训练】
1.张老师和李老师为了奖励各班上期数学竞赛成绩优异的同学，在某文具店购买了圆规和三角板作为奖品，购买明细见下表：
名称 圆规（个） 三角板（副） 总费用（元）
张老师 14 8 120
李老师 6 12 90
王老师也在该店购买了这种圆规和三角板各15件，共用 元．
2.目前节能灯在城市已基本普及，为响应号召，某商场计划用3 800元购进甲、乙两种节能灯共120只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只） 售价（元/只）
甲型 25 30
乙型 45 60
(1)求甲、乙两种节能灯各进多少只？
(2)全部售完120只节能灯后，该商场获利多少元？
课堂10分钟
1.“阅读与人文滋养内心”，某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的2倍少10页，若小明、小颖平均每天分别阅读x页、y页，则下列方程组正确的是( )
A． B．
C． D．
2.某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共用90 min，若往返都坐车，全部行程只需要30 min，若往返都步行，全部行程需要（假定步行、坐车的平均速度不变）( )
A．100 min B．120 min
C．150 min D．160 min
3.小明在学习之余去买文具，打算购买2支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下：
小明：您好，我要买2支签字笔和3本笔记本．
售货员：好的，那你应付18元．
小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付22元．
若小明买1支签字笔和1本笔记本应付的钱数为( )
A．7元 B．8元 C．9元 D．10元
4.小明在某商店购买商品A，B共三次，只有一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按商品的原价购买，三次购买商品A，B的数量及费用如表：
次数 商品A的 数量/个 商品B的 数量/个 总费用/元
第一次 6 5 1 140
第二次 3 7 1 110
第三次 9 8 1 062
若商品A，B的折扣相同，则折扣是 折．
5.小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜，2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．下面是这一家三口的对话，请根据对话解决小明想要知道的信息：
妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同质量的这两种菜只要36元．”
爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨了50%，排骨的单价上涨了20%；”
小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”
第2课时 租运问题与待定系数问题
知识梳理
1.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
(1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系；
(2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来；
(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出 等量关系，列出 ；
(4)求解；
(5)检验作答：检验所求解是否符合 ，并作答．
2.租运问题
3.待定系数问题
重难突破
重难点 租运问题
【典例】 如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2 000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8 000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨·千米），铁路运价为0.5元/（吨·千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1 900元．
求：(1)该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？
(2)这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？
由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，化简时一般是除以各项系数的最大公约数．
【对点训练】
1.运输两批救援物资：第一批220吨，用4节火车皮和5辆货车正好装完；第二批158吨，用3节火车皮和2辆货车正好装完．如果每节火车皮的运载量相同，每辆货车的运载量相同，那么一节火车皮和一辆货车共装救援物资 吨．
2.某船载重量为260吨，货仓容积为1 000立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，若要充分利用该船的载重量与货舱容积，甲、乙两种货物应各装多少？
课堂10分钟
1.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m＋n的值可能是( )
A.2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025
2.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨．
3.本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费，寄件超过1千克的部分按千克计费，小文分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如表：
收费标准：
目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克）
上海 7 b
北京 10 b＋4
实际收费：
目的地 质量 费用（元）
上海 2 a－6
北京 3 a＋7
(1)求a，b的值；
(2)小文要寄5千克的东西到上海，7千克的东西到北京，需花多少运费？
*3.8 三元一次方程组
知识梳理
1.三元一次方程
含有 个未知数，并且含未知数的项的次数都是 的方程，叫作三元一次方程．
2.三元一次方程组
含有 个未知数，并且含未知数的项的次数都是 的方程组叫作三元一次方程组．一般地，三元一次方程组含有 个方程．
(1)组成三元一次方程组的每一个方程不一定都是三元一次方程；(2)组成三元一次方程组中的某个方程，可以是一元一次方程，或二元一次方程，或三元一次方程，实际上只需方程组中共有三个未知数即可．
3.三元一次方程组的解
在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知数的值，叫作这个三元一次方程组的一个解．
4.解三元一次方程组的思路
解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解．消元的方法仍是 消元法或 消元法．
重难突破
重难点 三元一次方程组的解法
【典例】 方程组的解为 ．
(1)先消系数最简单的未知数，这样计算简便；(2)先消某个方程中缺少的未知数，即方程组中某个方程缺少某个未知数，把另外两个方程结合，消去这个未知数；(3)先消系数的绝对值相等（或成倍数关系）的未知数．
【对点训练】
1.解三元一次方程组若先消去y，组成关于x，z的方程组，则应对方程组进行的变形是( )
A．①＋②，②＋③ B．①＋②，②－③
C．①－②，②＋③ D．①－②，②－③
2.解方程组：
课堂10分钟
1.下列是三元一次方程组的是( )
A． B．
C． D．
2.解方程组如果要使运算简便，那么消元时最好应( )
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．先消常数项
3.下列四组数值中，是方程组的解的是( )
A． B．
C． D．
4.在春节来临之际，京东商城推出A，B，C三种礼盒，如果购买A礼盒3盒、B礼盒2盒和C礼盒2盒，则需付2 200元；如果购买A礼盒4盒、B礼盒3盒和C礼盒5盒，则需付3 150元．李老板预计购买A礼盒5盒、B礼盒4盒和C礼盒8盒送亲戚朋友，则共需付 元．
5.解方程组：第3章 一次方程(组)
3．1 等量关系和方程
知识梳理
1．方程
(1)含有__未知数__的表示等量关系的等式叫作方程．
(2)把所要求的量用字母x(或y…)表示，根据问题中的等量关系__列出方程__，这一过程叫作建立方程．
2．一元一次方程
(1)像方程2x＋(14－x)＝26，2.4y＋2y＋2.4＝6.8这样，只含有__一个__未知数，并且未知数的次数是__1__，这样的方程叫作一元一次方程．
(2)能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中__未知数__的一个值．
重难突破
重难点 建立一元一次方程模型
【典例】 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程( )
A．＋1＝ B．＝－9
C．－1＝ D．＋1＝
解析：根据车的辆数不变，可以建立方程＋1＝.
答案：A
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
【对点训练】
1．一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程：0.8x－20＝0.6x＋10.小明列此方程的依据是( C )
A.商品的利润不变 B．商品的售价不变
C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变
2．2024年元旦期间，小华和家人到公园景区游玩．公园里有大小两种游船，小华发现：1艘大船与1艘小船一次满载游客共26人，2艘大船与3艘小船一次满载游客共60人．若设一艘大船一次满载人数为x人，则根据题意可列方程为__2x＋3(26－x)＝60__．
课堂10分钟
1．下列各式中，不是方程的是( B )
A．a＝0 B．2x＋3
C．2m＋1＝5 D．2(y＋1)＝3y＋2
2．如果关于x的方程2x＋k－4＝0的解是x＝－3，那么k的值是( D )
A．－10 B．－2 C．2 D．10
3．下列方程为一元一次方程的是( C )
A．x－y＝1 B．＝x＋3
C．x＝3 D．x2－1＝0
4．已知方程(a－1)x|a|＋16＝0是关于x的一元一次方程，则a的值为__－1__．
5．某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产了60件，设原计划每小时生产y个零件，可列方程为__12(y＋10)＝13y＋60__．
3．2 等式的基本性质
第1课时 等式的基本性质
知识梳理
1．等式的性质1
等式两边都加上或减去同一个数(或整式)，等式两边仍然__相等__．
2．等式的性质2
等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为__0__的数，等式两边仍然相等．
运用等式性质化简时，若约去的不是一个数，而是一个表示数的字母或式子，约分前一定要对字母或式子进行分类讨论．
重难突破
重难点 等式的性质
【典例】 下列运用等式的性质变形错误的是( )
A．由a＝b，得a＋3＝b＋3
B．由a－5＝b－5，得a＝b
C．由a＝b，得－2a＝－2b
D．由a＝b，得＝
解析：A.由a＝b，根据等式性质1，得a＋3＝b＋3，变形正确，不符合题意；B.由a－5＝b－5，根据等式性质1，得a＝b，变形正确，不符合题意；C.由a＝b，根据等式性质2，得－2a＝－2b，变形正确，不符合题意；D.由a＝b，根据等式性质2，若c≠0，则有＝，若c＝0，则，无意义，故变形错误，符合题意．
答案：D
应用等式性质时，要注意两点：(1)怎样变形；(2)依据哪一条性质，变形时要步步有据．
【对点训练】
已知a＝b，则下列根据等式的性质变形错误的是( B )
A．a＋2＝2＋b B．a－2＝2－b
C．－2a＝－2b D．＝
课堂10分钟
1．下列等式变形中，正确的是( B )
A.若3x－2＝5，则3x＝－7
B．若5x＋2＝－6，则5x＝－8
C．若－x＝2，则2x＝6
D．若－8x＝4，则x＝－2
2．已知2a＝b＋1，那么下列等式中不成立的是( D )
A．2a＋1＝b＋2 B．2a－b＝1
C．a＝b＋ D．4a＝2b＋1
3．如果a＝b，那么＝成立时c应满足的条件是__c≠－1__．
4．阅读理解题：
下面是小明将等式x－4＝3x－4进行变形的过程：
x－4＋4＝3x－4＋4，①
x＝3x，②
1＝3.③
(1)小明①的依据是__等式的两边都加(或减)同一个数(或整式)，结果仍得等式__．
(2)小明出错的步骤是__③__，错误的原因是__等式两边都除以x，x可能为0__．
(3)给出正确的解法．
(1)小明①的依据是等式的两边都加(或减)同一个数(或整式)，结果仍得等式；
(2)小明出错的步骤是③，错误的原因是等式两边都除以x，x可能为0；
(3)x－4＝3x－4，由等式性质1，等式两边同时加上4，得x－4＋4＝3x－4＋4，即x＝3x，由等式性质1，等式两边同时减去3x，得x－3x＝0，合并同类项，得－2x＝0，由等式性质2，等式两边同时除以－2，得x＝0.
第2课时 移项
知识梳理
1．移项
(1)把方程中的某一项__改变符号__后，从__等式__的一边移到另一边，方程的这种变形叫作移项．
(2)移项要__变号__．
移项必须是从等式的一边移到另一边，而不是在等式的同一边交换一下项的位置．
2．移项将方程化成x＝a的形式的步骤
①__移项__；②__合并同类项__；③系数化为1.
重难突破
重难点 用移项将方程化成x＝a的形式
【典例】 利用移项将方程2x＋3＝－3x－7化为x＝a的形式．
解析：先将方程移项，再合并同类项，最后方程两边同时除以未知数的系数，把x的系数化为1，即可求出解．
答案：移项得2x＋3x＝－7－3，合并同类项，得5x＝－10，两边除以5，得x＝－2.
移项的关键是分清项移动的方向，一般情况下遵循如下原则：含字母的项移到等号左边，不含字母的项移到等号右边，移项前项的符号要改变．
【对点训练】
1．将方程5x－3－2x＝2，移项正确的是( D )
A．5x－2x－3＝2 B．5x＋2x＋3＝2
C．5x－2x＝2－3 D．5x－2x＝2＋3
2．方程5x＋9＝2x－1可化成x＝__－__．
课堂10分钟
1．下列等式，由方程2x－4＝6变形得到的是( D )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝5
2．下列方程中，可化成x＝2的方程是( C )
A．3x＝x＋3 B．－x＋3＝0
C．5x－3＝7 D．3x＝6＋x
3．将方程x＝3x＋7移项，得x－3x＝7，这一步的依据是__等式的基本性质__．
4．给出下列方程的变形：①由x＋6＝8，得x＝8－6；
②由x＝－3，得x＝－6；③由6x＋2＝4x，得3x＋1＝2x；④由5x＋1＝4x－3，得5x＋3＝4x－1.其中属于移项的是__①④__．(填序号)
5．当x＝__1__时，多项式2x－3与多项式－2＋x的值相等．
第3课时 去括号、去分母
知识梳理
1．去括号法则
(1)括号前面是正号，去掉括号和它前面的正号，括号里的各项都__不改变__．
(2)括号前面是负号，去掉括号和它前面的负号，括号里的各项都__要改变__．
2．去括号将方程化成x＝a的形式的步骤
①__去括号__；②移项；③合并同类项；④系数化为1.
去括号时，要看清括号前面的符号，切忌看错符号而误用法则．
3．去分母时，在原方程的两边都乘各个分母的__最小公倍数__．
4．去分母将方程化成x＝a的形式的步骤
①__去分母__；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.
重难突破
重难点 用去括号、去分母将方程化成x＝a的形式
【典例】 把方程－＝1化成x＝a的形式．
解析：先将方程两边同乘6去掉分母，然后去掉括号、移项、并合并同类项，最后把x的系数化为1，即可求出解．
答案：去分母，得2(2x＋1)－(5x－1)＝6；去括号，得4x＋2－5x＋1＝6；移项，得4x－5x＝6－2－1；合并同类项，得－x＝3；两边除以－1，得x＝－3.
去分母的关键是寻找分母的最简公分母，一般情况下最简公分母取各分母的最小公倍数，在去分母时，如果遇到项为整式，别漏乘即可．
【对点训练】
1．方程－＝1去分母、去括号后，正确结果是( B )
A．9x＋3－10x－1＝1
B．9x＋3－10x－1＝6
C．9x＋3－10x＋1＝1
D．9x＋3－10x＋1＝6
2．方程(2x－5)＋＝1可化成x＝__2__．
课堂10分钟
1．方程＋1＝去分母时，左右两边同时乘一个数，该数最合适的是( C )
A．4 B．5
C．6 D．12
2．将方程1－3(x－1)＝5(x＋2)去括号，正确的是( B )
A．1－3x－1＝5x＋2
B．1－3x＋3＝5x＋10
C．1－3x＋1＝5x＋2
D．1－3x－3＝5x＋10
3．对于任意两个有理数a，b，规定a b＝3a－b，若2x (3x－2)＝8，则该方程可化成x＝( D )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
4．方程－＝1去分母后，得到的方程是__2(2x－1)－(5x＋3)＝6__.
5．设M＝2x－3，N＝3x－1，若2M与N的值互为相反数，则x＝__1__．
3．3 一元一次方程的解法
第1课时 用移项、去括号解方程
知识梳理
1．解方程
求__方程的解__的过程叫作解方程．
2．移项、去括号解一元一次方程的一般步骤：
①__去括号__；②__移项__；③合并同类项；③系数化为1.
解含括号的一元一次方程时，若括号前有系数，一定要把系数与括号里面的各项都相乘，切记不要漏乘．
重难突破
重难点 用移项、去括号解方程
【典例】 解方程：3(x－1)－4＝2(1－3x).
解析：先去括号，得3x－3－4＝2－6x，再移项，得3x＋6x＝2＋3＋4，最后合并同类项、系数化为1即可．
答案：3(x－1)－4＝2(1－3x)，去括号，得3x－3－4＝2－6x，移项，得3x＋6x＝2＋3＋4，合并同类项，得9x＝9，两边除以9，得x＝1.
(1)去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤；(2)解方程前，应先观察方程的特点，灵活选择合适的方法，使方程逐渐向x＝a的形式转化．
【对点训练】
1．解方程2(2x－1)－(x－3)＝1时，去括号，得__4x－2－x＋3__＝1.
2．解方程：4－2(x＋4)＝3(x－1).
去括号，得4－2x－8＝3x－3，移项，得－2x－3x＝－3－4＋8，合并同类项，得－5x＝1，两边除以－5，得x＝－0.2.
课堂10分钟
1．解方程3x－2(2x－1)＝6，去括号的结果正确的是( D )
A．3x－2x＋1＝6 B．3x－4x＋1＝6
C．3x－4x－2＝6 D．3x－4x＋2＝6
2．若式子2(3x－5)与式子6－(1－x)的值相等，则这个值是( A )
A．8 B．3
C．2 D．
3．已知2(x－5)与3(5－2x)互为相反数，则x＝__－__．
4．多项式5(x＋2)比多项式3(2x－1)大7，求x的值．
根据题意，得5(x＋2)－3(2x－1)＝7，去括号，得5x＋10－6x＋3＝7，移项，得5x－6x＝7－10－3，合并同类项，得－x＝－6，两边除以－1，得x＝6.
第2课时 用去分母解方程
知识梳理
1．去分母时，方程两边同时乘分母的__最小公倍数__．
2．去分母解一元一次方程的一般步骤
①__去分母__；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.
去分母时要特别注意：(1)每一项都要乘最简公分母；(2)分数线本身起除号的作用，去分母时分数线上的多项式要添上括号．
重难突破
重难点 用去分母解一元一次方程
【典例】 解方程：1－＝.
解析：先去分母，得4－(3x－1)＝2(3＋x)，再去括号，得4－3x＋1＝6＋2x，然后移项、合并同类项、最后系数化1，得x＝－.
答案：去分母，得4－(3x－1)＝2(3＋x)，去括号，得4－3x＋1＝6＋2x，移项，得－3x－2x＝6－4－1，合并同类项，得－5x＝1，系数化为1，得x＝－.
解含分母的方程时，先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
【对点训练】
方程2(－1)＝的解为__x＝5__．
课堂10分钟
1．方程＝1－去分母后正确的结果是( A )
A．2(x－2)＝6－(2x－1)
B．2(x－2)＝1－(2x－1)
C．x－2＝6－(2x－1)
D．x－2＝1－(2x－1)
2．将方程－＝1去分母得到方程6x－3－2x－2＝6，其错误的原因是( C )
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘分母为1的项
C．去分母时，分子部分的多项式未添括号
D．去分母时，分子未乘相应的数
3．小张在解方程－＝1时，步骤如下：
－＝1.
解：3(3x＋1)－(2x－5)＝6，①
9x＋3－2x＋5＝6，②
9x－2x＝6－3－5，③
7x＝－2，④
x＝－.⑤
则下列选项中步骤与其依据搭配错误的是( D )
A．步骤①去分母；等式的性质2
B．步骤②去括号；分配律
C．步骤③移项；等式的性质1
D．步骤⑤系数化为1；等式的性质1
4．把方程－1＝的分母化成整数后，可得方程__－1＝__．
5．解方程：
(1)0.2－(0.4－0.1x)＝0.6x－0.2(x＋1)；
(2)－1＝2x－.
(1)去括号，得0.2－0.4＋0.1x＝0.6x－0.2x－0.2，移项，得0.1x－0.6x＋0.2x＝－0.2－0.2＋0.4，合并同类项，得－0.3x＝0，两边除以－0.3，得x＝0；
(2)去分母，得2(x＋3)－4＝8x－(5－x)，去括号，得2x＋6－4＝8x－5＋x，移项，得2x－8x－x＝－5－6＋4，合并同类项，得－7x＝－7，两边除以－7，得x＝1.
3．4 一元一次方程的应用
第1课时 行程问题、和差问题与工程问题
知识梳理
1．运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤
①从实际问题出发，分析等量关系并设未知数；②建立方程模型；③__解方程__；④__检验解的合理性__；⑤作答．
2．行程问题
路程＝速度×__时间__．
在列方程时，要注意区分行程问题中的“相遇问题”和“追及问题”．
3．和差问题
①和：即求几个量的和，用__加法__．
②差：即求几个量的差，用__减法__．
4．工程问题
①工作量＝工作效率×__工作时间__；
②若一件工作分几个人完成，则__每个人的工作量__
的和＝工作总量；
③若一件工作分几个阶段完成，则__每个阶段的工作量__的和＝工作总量．
重难突破
重难点 行程问题
【典例】 一轮船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5 h．已知船在静水中的速度为18 km/h，水流速度为2 km/h，甲、乙两地之间的距离为( )
A.90 km B．120 km
C．150 km D.160 km
解析：设船逆水航行从乙地到甲地需x小时，根据题意，得(18＋2)(x－1.5)＝(18－2)x，解得x＝7.5，所以甲、乙两地之间的距离为(18－2)×7.5＝120(km).
答案：B
流水行船问题的常用公式：(1)路程＝速度×时间；(2)顺水速度＝静水速度＋水流速度；(3)逆水速度＝静水速度－水流速度．
【对点训练】
1．一条船沿江从A地顺流行驶到B地需5小时，从B地逆流行驶至A地需8小时，水流速度是3千米/小时，设该船在静水中的速度是x千米/小时，则依题意可列方程( A )
A．5(x＋3)＝8(x－3)
B．5(x＋3)＝8(3－x)
C．5(x＋3)＝8x
D．5(x－3)＝8(x＋3)
2．某人乘船在顺次有A，C，B三地的河流上行驶，先由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船6 h，已知船在静水中的速度是16 km/h，水流速度是4 km/h，若A，C两地距离为4 km，设A，B两地的距离为x km，则A、B两地间的距离是__47.5__km.
课堂10分钟
1．一辆客车和卡车同时从A地沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是80 km/h，卡车的行驶速度是70 km/h，客车比卡车早2 h经过B地．设A，B间的路程是x km，可得方程( B )
A．80x－70x＝2 B．－＝2
C．70x－80x＝2 D．－＝2
2．某牧场放养的鸵鸟和奶牛一共70只，已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为196条，则鸵鸟的只数比奶牛多( C )
A．20只 B．15只 C．14只 D．13只
3．一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需( D )
A．2天 B．3天 C．4天 D．5天
4．五年级学生中女生比男生多10人，在体育达标测试中，男生全部达标，而女生有10%未达标，这样男、女生共有180人达标，则五年级学生共有__190__人.
5．甲每小时生产某种零件15个，甲生产3小时后，乙也加入生产同一种零件，再经过5小时，两人共生产这种零件210个，则乙每小时生产这种零件__18__个．
第2课时 方案问题与分配问题
知识梳理
1.方案问题
解方案问题的一般步骤：①根据题意，合理设出未知数；②借助 方案 寻找等量关系，并建立方程；③求解方程得出答案并检验．
2.分配问题
解分配问题的一般步骤：①根据题意，合理设出未知数；②借助 分配 后双方有新的倍比关系建立方程；③求解方程得出答案并检验．
分配问题常见题型：(1)既调入又调出；(2)只调入没调出，调入部分变化，其余不变；(3)只调出没调入，调出部分变化，其余不变．解分配问题时，应避免误解关键词而列错方程．
重难突破
重难点 方案问题
【典例】 环江牛角寨瀑布群景区和环江木论喀斯特生态旅游景区是国家4A级旅游景区，寒假期间拟定门票价格每张30元，团队票可选择两种购票优惠方案．
方案一：全体人员打8折；
方案二：有5人可以免票，剩下的人员打9折．
(1)若某团队有100人，为节省购票费用，求该团队应该选择哪种购票方案？
(2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，求该团队共有多少人？
解析：(1)分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可；(2)设团队有x人，根据题意，可以列出方程x×30×0.8＝(x－5)×0.9×30，再求解即可．
答案：(1)由题意可得，方案一的花费为100×30×0.8＝2 400（元），方案二的花费为(100－5)×30×0.9＝2 565（元），因为2 565＞2 400，所以该团队应该选择方案一．
(2)设团队有x人，根据题意得x×30×0.8＝(x－5)×0.9×30，解得x＝45.答：该团队有45人．
在解含有多种方案可供选择的实际问题时，往往先要理清方案，表示出每种方案的费用，然后根据题意建立方程求解．
【对点训练】
1.某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：
班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有( D )
A．60人 B．61人 C．62人 D．63人
2.阳春三月，草长莺飞.2025届四个班的同学决定外出研学，四个班计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配38座客车，则用车数量将减少1辆，并空出2个座位．则四个班外出研学共有 188 人．
课堂10分钟
1.在“垃圾分类”活动中，实践组有23人，宣传组有16人．应从宣传组调多少人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的两倍？设从宣传组调x人到实践组，则可列方程为( D )
A．23－x＝2×16＋x B．23＋x＝2×16－x
C．23－x＝2(16＋x) D．23＋x＝2(16－x)
2.某公司推出两种通话收费方案．方案一：月租费为36元，本地通话话费为0.1元/分；方案二：不收月租费，本地通话话费为0.6元/分．设小明的爸爸一个月的通话时间为x分钟．若两种方案的话费一样多，则小明爸爸一个月的通话时间为( C )
A．60分钟 B．70分钟 C．72分钟 D．80分钟
3.用A型和B型两种机器生产同样的产品，已知5台A型机器一天生产的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产一个产品，则每箱可装 12 个产品．
4.某学校手工艺社团编织手工花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣构成，已知手工艺社团有30人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或20个花瓣．安排多少人编织花心，多少人编织花瓣，才能使一节课编织出来的花心和花瓣刚好配套？
设安排x人编织花心，则(30－x)人编织花瓣，根据题意得，8×5x＝20(30－x)，解得x＝10，此时30－x＝30－10＝20（人）.答：安排10人编织花心，20人编织花瓣，才能使一节课编织出来的花心和花瓣刚好配套．
3.5 认识二元一次方程组
知识梳理
1.二元一次方程
含有 两 个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 ，这样的方程叫作二元一次方程．
2.二元一次方程组
只含有 两 个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作二元一次方程组．
3.二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程左右两边的值 相等 的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解．
(1)虽然二元一次方程的解有无数个，但是每一个给定的x却只有唯一的y与之对应；
(2)二元一次方程的解的书写有明确要求，注意书写规范．
4.方程组的解
一般地，对于未知数为x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数c1，c2代入，能使每个方程左右两边的值 相等 ，则把(c1，c2)叫作这个方程组的一个解，习惯上记作 ．
5.解方程组
求方程组的解的过程叫作解方程组．
重难突破
重难点 二元一次方程组
【典例】 下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A． B．
C． D．
解析：根据二元一次方程组的定义，中，第二个方程不是整式方程，故A不符合题意；是二元一次方程组，B符合题意；有3个未知数，C不符合题意；中，第一个方程xy的次数是2次，D不符合题意．
答案：B
二元一次方程组满足3个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程．
【对点训练】
1.在下列方程组：①②
③④⑤中，是二元一次方程组的是( C )
A．①②③ B．①②④
C．①②⑤ D．①②③⑤
2.若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则(a－1)2 024＝ 1 ．
课堂10分钟
1.下列方程中，是二元一次方程的是( D )
A．x2＋x＝1 B．xy＝3
C．3x－y＝2z D．2x－3y＝5
2.已知是方程3x＋2y＝12的一个解，则m的值为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.若方程x|m|-2＋(m－3)y＝5是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 －3 ．
4.已知是关于x，y的二元一次方程组的解，求a＋b的值．
把代入方程x＋y＝3中，得2＋a＝3，解得a＝1，把x＝2，y＝1代入方程2x＋y＝b中，得2×2＋1＝b，解得b＝5，所以a＋b＝1＋5＝6.
3.6 二元一次方程组的解法
3.6.1 代入消元法
知识梳理
代入消元法
把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的 代数式 表示，然后把这个 代数式 代入另一个方程中，便消去了一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程就可以求出其中一个未知数的值，再把求出的未知数的值代入前面的代数式中，就可以求出另一个未知数的值，至此就求出了二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法．
(1)在运用代入消元法解方程时，如果代入的是多项式，一点要加上括号；(2)为了避免算错，求出解后可回代入原方程组进行检验．
重难突破
重难点 代入消元法
【典例】 解方程组：
解析：利用代入消元法，先由方程②，得y＝2－2x③，再把③代入方程①中，得x＝2，最后把x＝2代入②，得y＝－2.
答案：将方程②移项，得y＝2－2x③，把③代入方程①中，得3x－2(2－2x)＝10，解得x＝2，把x＝2代入②，得4＋y＝2，解得y＝－2，因此，是原二元一次方程组的解．
当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入消元法会比较简便．
【对点训练】
1.方程组的解是 ．
2.用代入法解方程组：
将方程①移项，得2x＝3＋2y③，把③代入方程②中，得2(3＋2y)＋3y＝－1，解得y＝－1.把y＝－1代入③，得x＝，因此，是原二元一次方程组的解．
课堂10分钟
1.用代入消元法解方程组变形不正确的是( C )
A．由②得x＝ B．由②得y＝
C．由①得x＝ D．由①得y＝5－2x
2.已知方程组指出下列解法中比较简洁的是( B )
A.利用①，用含x的式子表示y，再代入②
B．利用①，用含y的式子表示x，再代入②
C．利用②，用含x的式子表示y，再代入①
D．利用②，用含y的式子表示x，再代入①
3.我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y，得到x＋6x＝14，从而求解．这种解法体现的数学思想是( C )
A．数形结合思想 B．分类讨论思想
C．转化思想 D．整体思想
4.用代入法解二元一次方程组时，将方程②代入方程①，得到结果正确的是 4x＋3(－x＋2)＝4 ．（不用化简）
5.解下列方程组：
(1) (2)
(1)由②得y＝3x－7③，把③代入①，得4x－3(3x－7)＝6，解得x＝3.把x＝3代入③，解得y＝2，所以原方程组的解是
(2)原方程组可化为由①得2y＝3x－8③，把③代入②，得3x＋3x－8＝10，解得x＝3，把x＝3代入③，解得y＝，所以原方程组的解是
3.6.2 加减消元法
知识梳理
加减消元法
对于二元一次方程组，把一个方程进行适当 变形 后，再加上（或减去）另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值，再把这个值代入原二元一次方程组的 任意一个方程 ，就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法．
(1)在进行方程的加减时，易出现符号错误，因此要特别仔细；(2)为了避免算错，求出解后可回代入原方程组进行检验．
重难突破
重难点 加减消元法
【典例】 解方程组：
解析：利用加减消元法，先将方程①×2＋②可消去y，求出x的值，再代入求出y的值即可．
答案：①×2＋②，得2(3x＋2y)＋(5x－4y)＝4×2＋14，解得x＝2，把x＝2代入①，得6＋2y＝4，解得y＝－1，因此，是原二元一次方程组的解．
当两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减消元法会比较简便．
【对点训练】
1.用加减消元法解二元一次方程组时，下列做法中无法消元的是( C )
A．①×2＋② B．①×5－②×3
C．①×3－②×5 D．①×(－5)＋②×3
2.对有理数x，y，定义新运算：x y＝ax＋by＋1，其中a，b是常数．若2 (－1)＝－3，3 3＝4，则a＋b＝ 1 ．
课堂10分钟
1.用加减法解二元一次方程组用①－②得到的方程是( B )
A．3x＝－4 B．－3x＝18
C．7x＝6 D．－7x＝10
2.用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中( D )
A．某个未知数的系数为1
B．某个未知数的系数相等
C．某个未知数的系数互为相反数
D．某个未知数的系数的绝对值相等
3.用加减消元法解二元一次方程组下列步骤可以消去未知数x的是( C )
A．①×4＋②×3 B．①×2－②×5
C．①×5－②×2 D．①×5＋②×2
4.解二元一次方程组的基本思路是“消元”，则解方程组最适合用 加减 消元法．
5.关于x，y的二元一次方程组的解为求m和n的值．
把代入方程组
得
①×3＋②，得3(2m＋4n)＋(4m－12n)＝8×3＋(－4)，解得m＝2，
把m＝2代入①，得n＝1.
3.7 二元一次方程组的应用
第1课时 行程问题与商品销售问题
知识梳理
1.列二元一次方程组解决实际问题的思路
从实际问题出发，先分析题意找出 两个 等量关系，并列出 二元一次方程组 ，然后解这个 方程组 ，最后检查是否符合实际问题的需要，如果符合，它就是实际问题的解．
2.行程问题
路程＝速度×时间．
在解行程问题时，若以时间（或路程）建立等量关系去列方程，一定要注意等号左右两边时间（或路程）的单位要相同．
3.商品销售问题
利润＝售价－进价，利润＝利润率×进价．
重难突破
重难点 商品销售问题
【典例】 某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60 000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13 500元，进价和售价如表：
价格 上衣 裤子
进价（元/件） 100 150
售价（元/件） 125 180
求小东的商店购进上衣和裤子各多少件？
解析：设小东的商店购进上衣x件，裤子y件，根据“店主小东用60 000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13 500元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
答案：设小东的商店购进上衣x件，裤子y件，根据题意得
解得
答：小东的商店购进上衣300件，裤子200件．
商品销售问题，把握两点：(1)商品销售盈利百分数是相对于进价而言，不要误认为是相对于定价或售价；(2)列方程时要注意区分“利润”和“利润率”的不同．
【对点训练】
1.张老师和李老师为了奖励各班上期数学竞赛成绩优异的同学，在某文具店购买了圆规和三角板作为奖品，购买明细见下表：
名称 圆规（个） 三角板（副） 总费用（元）
张老师 14 8 120
李老师 6 12 90
王老师也在该店购买了这种圆规和三角板各15件，共用 157.5 元．
2.目前节能灯在城市已基本普及，为响应号召，某商场计划用3 800元购进甲、乙两种节能灯共120只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只） 售价（元/只）
甲型 25 30
乙型 45 60
(1)求甲、乙两种节能灯各进多少只？
(2)全部售完120只节能灯后，该商场获利多少元？
(1)设甲种节能灯进x只，乙种节能灯进y只，由题意得：解得答：甲种节能灯进80只，乙种节能灯进40只；
(2)根据题意得 80×(30－25)＋40×(60－45)＝1 000（元）.答：全部售完120只节能灯后，该商场获利1 000元．
课堂10分钟
1.“阅读与人文滋养内心”，某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读的页数的2倍少10页，若小明、小颖平均每天分别阅读x页、y页，则下列方程组正确的是( A )
A． B．
C． D．
2.某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共用90 min，若往返都坐车，全部行程只需要30 min，若往返都步行，全部行程需要（假定步行、坐车的平均速度不变）( C )
A．100 min B．120 min
C．150 min D．160 min
3.小明在学习之余去买文具，打算购买2支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下：
小明：您好，我要买2支签字笔和3本笔记本．
售货员：好的，那你应付18元．
小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付22元．
若小明买1支签字笔和1本笔记本应付的钱数为( B )
A．7元 B．8元 C．9元 D．10元
4.小明在某商店购买商品A，B共三次，只有一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按商品的原价购买，三次购买商品A，B的数量及费用如表：
次数 商品A的 数量/个 商品B的 数量/个 总费用/元
第一次 6 5 1 140
第二次 3 7 1 110
第三次 9 8 1 062
若商品A，B的折扣相同，则折扣是 六 折．
5.小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜，2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．下面是这一家三口的对话，请根据对话解决小明想要知道的信息：
妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同质量的这两种菜只要36元．”
爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨了50%，排骨的单价上涨了20%；”
小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”
设上月萝卜的单价是x元/斤，排骨的单价y元/斤，根据题意，
得
解得今天萝卜的单价是2×(1＋50%)＝3（元/斤），排骨的单价是15×(1＋20%)＝18（元/斤）.答：今天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．
第2课时 租运问题与待定系数问题
知识梳理
1.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
(1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系；
(2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来；
(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出 两个 等量关系，列出 方程组 ；
(4)求解；
(5)检验作答：检验所求解是否符合 实际意义 ，并作答．
2.租运问题
3.待定系数问题
重难突破
重难点 租运问题
【典例】 如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2 000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8 000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨·千米），铁路运价为0.5元/（吨·千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1 900元．
求：(1)该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？
(2)这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？
解析：(1)设该工厂从湖州购买了x吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干y吨，根据运费＝每吨每千米的运费×运输质量结合这次运输共支出公路运输费960元、铁路运输费1 900元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)根据利润＝销售收入－成本－运费，即可得出结论．
答案：(1)设该工厂从湖州购买了x吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干y吨，根据题意得
化简，得解得
答：该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨．
(2)8 000×20－2 000×50－960－1 900＝57 140（元）.
答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57 140元．
由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，化简时一般是除以各项系数的最大公约数．
【对点训练】
1.运输两批救援物资：第一批220吨，用4节火车皮和5辆货车正好装完；第二批158吨，用3节火车皮和2辆货车正好装完．如果每节火车皮的运载量相同，每辆货车的运载量相同，那么一节火车皮和一辆货车共装救援物资 54 吨．
2.某船载重量为260吨，货仓容积为1 000立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，若要充分利用该船的载重量与货舱容积，甲、乙两种货物应各装多少？
设装甲种货物质量x吨，装乙种货物质量y吨，根据题意，得化简得解得答：装甲种货物80吨，装乙种货物180吨．
课堂10分钟
1.用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m＋n的值可能是( D )
A.2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025
2.有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 23.5 吨．
3.本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费，寄件超过1千克的部分按千克计费，小文分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如表：
收费标准：
目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克）
上海 7 b
北京 10 b＋4
实际收费：
目的地 质量 费用（元）
上海 2 a－6
北京 3 a＋7
(1)求a，b的值；
(2)小文要寄5千克的东西到上海，7千克的东西到北京，需花多少运费？
(1)根据题意得解得：答：a的值为15，b的值为2.
(2)由(1)可知，a＝15，b＝2，则b＋4＝6，所以7＋(5－1)×2＋10＋(7－1)×6＝61（元）.答：小文要寄5千克的东西到上海，7千克的东西到北京，需花61元运费．
*3.8 三元一次方程组
知识梳理
1.三元一次方程
含有 三 个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程，叫作三元一次方程．
2.三元一次方程组
含有 三 个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作三元一次方程组．一般地，三元一次方程组含有 三 个方程．
(1)组成三元一次方程组的每一个方程不一定都是三元一次方程；(2)组成三元一次方程组中的某个方程，可以是一元一次方程，或二元一次方程，或三元一次方程，实际上只需方程组中共有三个未知数即可．
3.三元一次方程组的解
在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知数的值，叫作这个三元一次方程组的一个解．
4.解三元一次方程组的思路
解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解．消元的方法仍是 代入 消元法或 加减 消元法．
重难突破
重难点 三元一次方程组的解法
【典例】 方程组的解为 ．
解析：②＋③得出3x＋2y＝6，④由①和④组成一个二元一次方程组，求出方程组的解再把代入③求出z即可．
答案：
(1)先消系数最简单的未知数，这样计算简便；(2)先消某个方程中缺少的未知数，即方程组中某个方程缺少某个未知数，把另外两个方程结合，消去这个未知数；(3)先消系数的绝对值相等（或成倍数关系）的未知数．
【对点训练】
1.解三元一次方程组若先消去y，组成关于x，z的方程组，则应对方程组进行的变形是( C )
A．①＋②，②＋③ B．①＋②，②－③
C．①－②，②＋③ D．①－②，②－③
2.解方程组：
①×2得4x＋2y＋6z＝22④，①×3得6x＋3y＋9z＝33⑤，④－②得x＋8z＝11⑥，⑤＋③得10x＋7z＝37⑦，⑥×10得10x＋80z＝110⑧，⑧－⑦得73z＝73，解得z＝1.把z＝1代入⑥得x＋8＝11，解得x＝3，把x＝3，z＝1代入①得：6＋y＋3＝11，解得y＝2，所以原方程组的解为
课堂10分钟
1.下列是三元一次方程组的是( D )
A． B．
C． D．
2.解方程组如果要使运算简便，那么消元时最好应( B )
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．先消常数项
3.下列四组数值中，是方程组的解的是( D )
A． B．
C． D．
4.在春节来临之际，京东商城推出A，B，C三种礼盒，如果购买A礼盒3盒、B礼盒2盒和C礼盒2盒，则需付2 200元；如果购买A礼盒4盒、B礼盒3盒和C礼盒5盒，则需付3 150元．李老板预计购买A礼盒5盒、B礼盒4盒和C礼盒8盒送亲戚朋友，则共需付 4 100 元．
5.解方程组：
③－①得y＝3，①×2＋②得4x－y＝5，把y＝3代入4x－y＝5得4x－3＝5，解得x＝2，把x＝2，y＝3代入①得2＋3－z＝0，解得z＝5，所以原方程组的解为
