2.4.1 圆的标准方程
学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程.2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系.
一、圆的标准方程
问题1 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
问题2 已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？
知识梳理
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径.
例1 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为 .
(2)以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是 .
反思感悟 圆的标准方程的应用
(1)根据圆的标准方程可以写出圆心坐标和半径，注意x与a，y与b中间的符号；
(2)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式等.
跟踪训练1 (1)圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为( )
A.(0，1) B.(0，－1)
C.(－1，0) D.(1，0)
(2)圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线l：y＝x－1对称的圆的标准方程为( )
A.(x－2)2＋y2＝2 B.(x＋2)2＋y2＝2
C.x2＋(y－2)2＝2 D.x2＋(y＋1)2＝2
二、点与圆的位置关系
问题3 点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？
知识梳理
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，
设d＝|PC|＝.
位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断
点在圆外 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2
点在圆上 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2
点在圆内 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2
例2 (1)已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是( )
A.点P在圆C内 B.点P在圆C外
C.点P在圆C上 D.无法确定
(2)已知点P(2，1)和圆C：＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝ ；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为 .
反思感悟 判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断.
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
跟踪训练2 已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为 .
三、求圆的标准方程
例3 求经过点P(1，1)和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
反思感悟 求圆的标准方程的两种方法
(1)几何法：利用图形的几何性质，如“弦的垂直平分线过圆心”“两条弦的垂直平分线的交点必为圆心”等，直接求出圆的圆心坐标和半径，从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程.
跟踪训练3 已知点A(－4，－2)，B(－4，2)，C(－2，2)，求△ABC外接圆的标准方程.
1.知识清单：
(1)圆的标准方程.
(2)点与圆的位置关系.
2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法.
3.常见误区：几何法求圆的标准方程出现漏解情况.
1.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为( )
A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4
B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16
D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16
2.点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
3.若点P(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为( )
A.a>
B.a<－
C.a>或a<－
D.不确定
4.与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程为 .
答案精析
问题1 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的要素：圆心和半径，
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
问题2 如图，设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得
＝r，两边平方，得
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
知识梳理
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2
例1 (1)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，
又与y轴相切，∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为
(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析 ∵AB为直径，
∴AB的中点(1，2)为圆心，
|AB|＝＝5为半径，
∴该圆的标准方程为
(x－1)2＋(y－2)2＝25.
跟踪训练1 (1)D
(2)A [圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心为(1，1)，设点(1，1)关于直线l：y＝x－1对称的点为(x0，y0)，
则解得
所以所求圆的圆心为(2，0)，
半径为r＝
故所求圆的标准方程为
(x－2)2＋y2＝2.]
问题3 点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.
知识梳理
> > ＝ ＝ < <
例2 (1)A [由题意，得
a＋b＝1，ab＝－
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8，
∴点P在圆C内.]
(2)－2或－6 a<－6或a>－2
解析 由题意，得
＋(y－1)2＝1，
当点P在圆C上时，
由＋(1－1)2＝1 ，
解得a＝－2或a＝－6.
当点P在圆C外时，
由＋(1－1)2>1，
解得a<－6或a>－2.
跟踪训练2 [0，1)
解析 由题意知
即解得0≤a<1.
例3 解 方法一 (待定系数法)
设圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有
解得
即圆的标准方程是
(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二 (几何法)
由题意知OP是圆的弦，
其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴
得
即圆心坐标为(4，－3)，
半径为r＝＝5.
即圆的标准方程是
(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
跟踪训练3 解 设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意可得
解得
因此△ABC外接圆的标准方程是
(x＋3)2＋y2＝5.
随堂演练
1.C [以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为
(x－2)2＋(y＋1)2＝16.]
2.B [∵12＋32＝10<24，
∴点P在圆内.]
3.C [∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，169a2>1，a2>
∴a>或a<－.]
4.(x－2)2＋(y＋3)2＝25
解析 因为已知圆的圆心坐标为(2，－3)，所以所求圆的圆心坐标为(2，－3)，所以所求圆的半径为＝5，所以所求圆的标准方程为
(x－2)2＋(y＋3)2＝25.(共69张PPT)
2.4.1
圆的标准方程
第二章 §2.4 圆的方程
<<<
1.掌握圆的定义及标准方程.(重点)
2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系.(难点)
学习目标
古朗月行(节选)
[唐] 李白
小时不识月，呼作白玉盘.
又疑瑶台镜，飞在青云端.
月亮在中国人心中具有多重象征意义，承载着丰富的文化内涵和情感寄托.如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？
导 语
一、圆的标准方程
二、点与圆的位置关系
课时对点练
三、求圆的标准方程
随堂演练
内容索引
圆的标准方程
一
提示 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的要素：圆心和半径，
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
问题1
提示 如图，设圆上任一点M(x，y)，则|MA|=r，
由两点间的距离公式，得=r，
两边平方，得(x-a)2+(y-b)2=r2.
已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？
问题2
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径.
(x-a)2+(y-b)2=r2
x2+y2=r2
(1)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r=1时，方程为x2+y2=1，称为单位圆.
(2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的.
(3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上.
注 意 点
<<<
(1)与y轴相切，且圆心坐标为(-5，-3)的圆的标准方程为
.
例 1
∵圆心坐标为(-5，-3)，
又与y轴相切，∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25.
解析
(x+5)2+(y+3)2=25
(2)以两点A(-3，-1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是
.
(x-1)2+(y-2)2=25
∵AB为直径，
∴AB的中点(1，2)为圆心，
|AB|==5为半径，
∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.
解析
圆的标准方程的应用
(1)根据圆的标准方程可以写出圆心坐标和半径，注意x与a，y与b中间的符号；
(2)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式等.
反
思
感
悟
(1)圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为
A.(0，1) B.(0，－1)
C.(－1，0) D.(1，0)
跟踪训练 1
√
(2)圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线l：y＝x－1对称的圆的标准方程为
A.(x－2)2＋y2＝2 B.(x＋2)2＋y2＝2
C.x2＋(y－2)2＝2 D.x2＋(y＋1)2＝2
√
圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心为(1，1)，设点(1，1)关于直线l：y＝x－1对称的点为(x0，y0)，
则解得
所以所求圆的圆心为(2，0)，半径为r＝
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2.
解析
二
点与圆的位置关系
提示 点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.
点M0(x0，y0)在圆x2+y2=r2内的条件是什么？在圆x2+y2=r2外的条件又是什么？
问题3
圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，
设d=|PC|=.
位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断
点在圆外 d r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
点在圆上 d r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
点在圆内 d r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
>
>
=
=
<
<
(1)(课本例1) 求圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，-7)，M2(-2，-1)是否在这个圆上.
例 2
圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25.
把点M1(5，-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(5-2)2+(-7+3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上.
解
把点M2(-2，-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(-2-2)2+(-1+3)2=20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上(如图).
(1)已知a，b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2+y2=8的位置关系是
A.点P在圆C内 B.点P在圆C外
C.点P在圆C上 D.无法确定
例 2
√
由题意，得a+b=1，ab=-，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8，
∴点P在圆C内.
解析
(2)已知点P(2，1)和圆C：+(y-1)2=1，若点P在圆C上，则实数a= ；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为 .
-2或-6
a<-6或a>-2
由题意，得+(y-1)2=1，
当点P在圆C上时，
由+(1-1)2=1 ，
解得a=-2或a=-6.
当点P在圆C外时，
由+(1-1)2>1，
解得a<-6或a>-2.
解析
判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断.
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
反
思
感
悟
已知点M(5+1，)在圆(x-1)2+y2=26的内部，则a的取值范围为 .
跟踪训练 2
由题意知
即解得0≤a<1.
解析
[0，1)
求圆的标准方程
三
(课本例2) △ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)，求△ABC的外接圆的标准方程.
例 3
设所求的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. ①
因为A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.
于是
即
解
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2，
得到关于a，b的二元一次方程组
解此方程组，得
代入(5-a)2+(1-b)2=r2，得r2=25.
所以，△ABC的外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25.
解
(课本例3) 已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程.
例 3
方法一 设圆心C的坐标为(a，b).
因为圆心C在直线l：x-y+1=0上，
所以a-b+1=0. ①
因为A，B是圆上两点，所以|CA|=|CB|.
根据两点间距离公式，
有=
即a-3b-3=0. ②
由①②可得a=-3，b=-2.
所以圆心C的坐标是(-3，-2).
解
圆的半径r=|AC|==5.
所以，所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25.
方法二 如图，设线段AB的中点为D.
由A，B两点的坐标为(1，1)，
(2，-2)，可得点D的坐标为
直线AB的斜率为kAB==-3.
因此，线段AB的垂直平分线l'的方程是y+=即x-3y-3=0.
解
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组的解.
解这个方程组，得
所以圆心C的坐标是(-3，-2).
圆的半径r=|AC|==5.
所以，所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25.
解
求经过点P(1，1)和坐标原点O，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.
例 3
方法一 (待定系数法)
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
则有
即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
方法二 (几何法)
由题意知OP是圆的弦，
其垂直平分线为x+y-1=0.
解
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴
得
即圆心坐标为(4，-3)，
半径为r==5.
即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
解
求圆的标准方程的两种方法
(1)几何法：利用图形的几何性质，如“弦的垂直平分线过圆心”“两条弦的垂直平分线的交点必为圆心”等，直接求出圆的圆心坐标和半径，从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程.
反
思
感
悟
已知点A(－4，－2)，B(－4，2)，C(－2，2)，求△ABC外接圆的标准方程.
跟踪训练 3
设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意可得
解得
因此△ABC外接圆的标准方程是(x＋3)2＋y2＝5.
解
1.知识清单：
(1)圆的标准方程.
(2)点与圆的位置关系.
2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法.
3.常见误区：几何法求圆的标准方程出现漏解情况.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.以(2，-1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为
A.(x+2)2+(y-1)2=4
B.(x+2)2+(y+1)2=4
C.(x-2)2+(y+1)2=16
D.(x+2)2+(y-1)2=16
√
以(2，-1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=16.
解析
1
2
3
4
2.点P(1，3)与圆x2+y2=24的位置关系是
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
√
∵12+32=10<24，
∴点P在圆内.
解析
1
2
3
4
3.若点P(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部，则a的取值范围为
A.a> B.a<-
C.a>或a<- D.不确定
√
∵P在圆外，∴(5a+1-1)2+(12a)2>1，169a2>1，a2>，∴a>或a<-.
解析
1
2
3
4
4.与圆(x-2)2+(y+3)2=16同圆心，且过点P(-1，1)的圆的标准方程为
.
因为已知圆的圆心坐标为(2，-3)，所以所求圆的圆心坐标为(2，-3)，所以所求圆的半径为=5，所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
解析
(x-2)2+(y+3)2=25
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C B ACD B (x-1)2+y2＝18
题号 9 10 11 12 答案 C B π 1
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)∵点M(6，9)在圆N上，
∴(6-5)2+(9-6)2＝a2，∴a2＝10.
又a>0.∴a＝.
(2)由已知，得圆心N(5，6).
∵|PN|＝，|QN|＝＝3，
∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，
∴a的取值范围是(3，).
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)当AB为直径时，
过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.即AB的中点(0，1)为圆心，
半径r＝|AB|＝，
则圆的标准方程为x2+(y-1)2＝10.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)方法一 AB的斜率k＝-3，
则AB的垂直平分线的方程是y-1＝x，
即x-3y+3＝0，
又圆心在直线2x-y-4＝0上，
得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3，2)，
r＝|AC|＝＝2，
故所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2＝20.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法二 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2＝r2，
则
故所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2＝20.
基础巩固
1.圆(x-1)2+(y+)2=1的圆心坐标是
A.(1，) B.(-1，)
C.(1，-) D.(-1，-)
√
由圆的标准方程(x-1)2+(y+)2=1，
得圆心坐标为(1，-).
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.圆心为(1，2)，且过(0，0)的圆的标准方程为
A.(x+1)2+(y+2)2= B.x2+y2=5
C.(x-1)2+(y-2)2=5 D.x2+y2=
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因为圆的圆心为(1，2)，且过(0，0)，
则圆的半径r==，
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
解析
3.已知圆(x-a)2+(y-1)2=2a(0
A.圆内 B.圆外
C.圆上 D.圆上或圆外
√
由圆的标准方程(x-a)2+(y-1)2=2a，
知圆心为(a，1)，
则原点与圆心的距离为.
∵0=r，
即原点在圆外.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4.(多选)已知圆M：(x-4)2+(y+3)2=25，则下列说法正确的是
A.圆M的圆心为(4，-3)
B.圆M的圆心为(-4，3)
C.圆M的半径为5
D.圆M被y轴截得的线段长为6
√
由圆M：(x-4)2+(y+3)2=52，
得圆心为(4，-3)，半径为5，则A，C正确，B错误；
令x=0，得y=0或y=-6，线段长为6，故D正确.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
√
5.已知A(4，0)，B(1，)，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为
A.+=3 B.(x-2)2+y2=4
C.x2+y2=4 D.(x-1)2+y2=4
√
答案
1
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由题意，kAB==-，
AB的中点坐标为，
所以线段AB的中垂线为y-=，
令y=0得x=2，
所以M(2，0)，半径r=2，所以圆M的标准方程为(x-2)2+y2=4.
解析
6.与圆C：(x-1)2+y2=36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为 .
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(x-1)2+y2=18
圆C的半径R=6，设所求圆的半径为r，
则=，所以r2=18，
又圆心坐标为(1，0)，
则所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=18.
解析
7.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a；
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∵点M(6，9)在圆N上，
∴(6-5)2+(9-6)2=a2，∴a2=10.
又a>0.∴a=.
解
(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.
答案
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由已知，得圆心N(5，6).
∵|PN|==，
|QN|==3，
∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，
∴a的取值范围是(3，).
解
8.已知点A(1，-2)，B(-1，4)，求
(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；
答案
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当AB为直径时，
过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.
即AB的中点(0，1)为圆心，
半径r=|AB|=，
则圆的标准方程为x2+(y-1)2=10.
解
(2)过点A，B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.
答案
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方法一 AB的斜率k=-3，
则AB的垂直平分线的方程是y-1=x，
即x-3y+3=0，
又圆心在直线2x-y-4=0上，
得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3，2)，
r=|AC|==2，
故所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
解
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方法二 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
则
故所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20.
解
9.圆C：(x-a)2+(y+1)2=4的圆心到直线x=1与直线y=1的距离相等，则实数a等于
A.-1 B.1或-3
C.-1或3 D.3
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√
综合运用
由(x-a)2+(y+1)2=4，知C(a，-1)，则|a-1|=|1-(-1)|，解得a=-1或a=3.
解析
10.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P，则与圆C：(x-2)2+(y+3)2=
16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为
A.(x-2)2+(y+3)2=36
B.(x-2)2+(y+3)2=25
C.(x-2)2+(y+3)2=18
D.(x-2)2+(y+3)2=9
答案
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√
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由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0，
得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0，
则
即P(-1，1).
∵圆C：(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2，-3)，∴|PC|==5，
∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
解析
11.曲线y=-(x≤0)的长度为 .
能力提升
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π
由y=-得x2+y2=4(x≤0，y≤0)，
所以曲线y=-(x≤0)的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆在第三象限的弧长，
所以曲线y=-(x≤0)的长度是×4π=π.
解析
12.大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足|OP|=2，其中O为
坐标原点，若M，则|PM|的最小值为 .
答案
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动点P的轨迹是以O为圆心，
2为半径的圆，即x2+y2=4，
而|OM|==1<2，
故点M在圆内，
所以当O，M，P三点共线时，|PM|最小，
即|PM|min=2-|OM|=2-1=1.
解析
第二章 §2.4 圆的方程
<<<作业23 圆的标准方程
分值：80分
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分
1.圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是
A.(1，) B.(－1，)
C.(1，－) D.(－1，－)
2.圆心为(1，2)，且过(0，0)的圆的标准方程为
A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝
B.x2＋y2＝5
C.(x－1)2＋(y－2)2＝5
D.x2＋y2＝
3.已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0A.圆内 B.圆外
C.圆上 D.圆上或圆外
4.(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是
A.圆M的圆心为(4，－3)
B.圆M的圆心为(－4，3)
C.圆M的半径为5
D.圆M被y轴截得的线段长为6
5.已知A(4，0)，B(1，)，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为
A.＝3
B.(x－2)2＋y2＝4
C.x2＋y2＝4
D.(x－1)2＋y2＝4
6.与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为 .
7.(14分)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).
(1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a；(7分)
(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.(7分)
8.(15分)已知点A(1，－2)，B(－1，4)，求
(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；(7分)
(2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程.(8分)
9.圆C：(x－a)2＋(y＋1)2＝4的圆心到直线x＝1与直线y＝1的距离相等，则实数a等于
A.－1 B.1或－3
C.－1或3 D.3
10.已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9
11.曲线y＝－(x≤0)的长度为 .
12.大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足|OP|＝2，其中O为坐标原点，若M，则|PM|的最小值为 .
答案精析
1.C [由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，
得圆心坐标为(1，－).]
2.C [因为圆的圆心为(1，2)，且过(0，0)，
则圆的半径r＝，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.]
3.B [由圆的标准方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，
知圆心为(a，1)，
则原点与圆心的距离为.
∵0∴>＝r，
即原点在圆外.]
4.ACD [由圆M：
(x－4)2＋(y＋3)2＝52，
得圆心为(4，－3)，半径为5，则A，C正确，B错误；
令x＝0，得y＝0或y＝－6，线段长为6，故D正确.]
5.B [由题意，kAB＝＝－，
AB的中点坐标为，
所以线段AB的中垂线为
y－，
令y＝0得x＝2，
所以M(2，0)，半径r＝2，所以圆M的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.]
6.(x－1)2＋y2＝18
解析 圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r，则，
所以r2＝18，
又圆心坐标为(1，0)，
则所求圆的标准方程为
(x－1)2＋y2＝18.
7.解 (1)∵点M(6，9)在圆N上，
∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10.
又a>0.∴a＝.
(2)由已知，得圆心N(5，6).
∵|PN|＝，
|QN|＝＝3，
∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，
∴a的取值范围是(3，).
8.解 (1)当AB为直径时，
过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.即AB的中点(0，1)为圆心，
半径r＝|AB|＝，
则圆的标准方程为
x2＋(y－1)2＝10.
(2)方法一 AB的斜率k＝－3，
则AB的垂直平分线的方程是
y－1＝x，
即x－3y＋3＝0，
又圆心在直线2x－y－4＝0上，
得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3，2)，r＝|AC|＝
＝2，
故所求圆的标准方程是
(x－3)2＋(y－2)2＝20.
方法二 设圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
故所求圆的标准方程为
(x－3)2＋(y－2)2＝20.
9.C [由(x－a)2＋(y＋1)2＝4，
知C(a，－1)，则|a－1|＝|1－(－1)|，
解得a＝－1或a＝3.]
10.B [由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，
得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
则解得
即P(－1，1).
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴|PC|＝＝5，
∴所求圆的标准方程为
(x－2)2＋(y＋3)2＝25.]
11.π
解析 由y＝－得
x2＋y2＝4(x≤0，y≤0)，
所以曲线y＝－(x≤0)的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆在第三象限的弧长，
所以曲线y＝－(x≤0)的长度是×4π＝π.
12.1
解析 动点P的轨迹是以O为圆心，
2为半径的圆，即x2＋y2＝4，
而|OM|＝＝1<2，
故点M在圆内，
所以当O，M，P三点共线时，|PM|最小，即|PM|min＝2－|OM|＝2－1＝1.