第2课时 直线与圆的方程的应用
学习目标 1. 理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题.
一、圆的切线问题
例1 (1)过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为 .
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.3
反思感悟 求过某一点的圆的切线方程
(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在且不为0，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式方程可得切线方程.
②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.
(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.
②当切线斜率不存在时要加以验证.
注意：过圆外一点的切线有两条.
跟踪训练1 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3，3)的切线方程为( )
A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0
C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0
(2)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，则直线l的方程为 .
二、圆的方程的实际应用
例2 一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是( )
A.13米 B.14米 C.15米 D.16米
反思感悟 建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题.
跟踪训练2 一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过( )
A.1.4米 B.3.0米 C.3.6米 D.4.5米
三、直线与圆的方程的实际应用
例3 如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点.
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
反思感悟 解决直线与圆的实际应用题的步骤
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.
(2)建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.
跟踪训练3 某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向50米的A处出发，沿西北方向走向位于设备正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测的时长为( )
A.1分钟 B. 分钟
C.2分钟 D. 分钟
1.知识清单：
(1)圆的切线问题.
(2)圆的方程的实际应用.
(3)直线与圆的方程的实际应用.
2.方法归纳：数学建模、坐标法.
3.常见误区：不能正确进行数学建模.
1.圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为( )
A.x＋y－2＝0 B.x＋y－4＝0
C.x－y－4＝0 D.x－y＋2＝0
2. 经测得某圆拱索桥(如图)的跨度|AB|＝100米，拱高|OP|＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约为(注：≈3.162)( )
A.6.48米 B.4.48米
C.2.48米 D.5.48米
3.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是 .
4.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它 (填“会”或“不会”)受到台风的影响.
答案精析
例1 (1)y＝4或3x＋4y－13＝0
解析 ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10>1，
∴点A在圆外.
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意.
因此直线l的斜率存在，设为k，
则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.
圆心(2，3)到切线l的距离为
＝1，
解得k＝0或k＝－
因此，所求直线l的方程为
y＝4或3x＋4y－13＝0.
(2)C [圆心C(3，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝2
所以切线长的最小值为
l＝.]
跟踪训练1 (1)B [x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1，2)，
kPC＝∴切线的斜率k＝－2，
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，
即2x＋y－9＝0.]
(2)x＋2y－3＝0
解析 根据题意，
由圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，
化为标准方程得(x＋2)2＋y2＝5，
其圆心为M(－2，0)，
因为直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，
则点P在直线l上且MP与直线l垂直.kMP＝＝2，
则有－＝－则有b＝2a，
又由点P在直线l上，
则－a＋2b－3＝0，
解得a＝1，b＝2，
则直线l的方程为x＋2y－3＝0.
例2 D [建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－6，－2)，B(6，－2)，
设圆的方程为
x2＋(y＋m)2＝m2(m>0)，将A点坐标代入圆的方程，则有m＝10，
故圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，
令y＝－4，则x＝±8，
故|EF|＝16(米).]
跟踪训练2 C [可画出示意图如图所示，通过勾股定理解得OD＝＝
＝3.6(米).]
例3 解 (1)由题意，得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
解得
∴圆C的方程为
x2＋y2－20x－60y＝0.
(2)该船初始位置为点D，
则D(－20，－20)，
且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航行方向为直线l：
x－y＋20－20＝0，
由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，
半径r＝10
由于圆心C到直线l的距离
d＝
＝10<10
故该船有触礁的危险.
跟踪训练3 C [以设备的位置为坐标原点O，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，
则A(500)，B(0，50)，
可得lAB∶x＋y＝50
圆O：x2＋y2＝10 000.
记从N处开始被监测，到M处监测结束，因为O到lAB的距离为|OO'|＝＝50(米)，
所以|MN|＝2＝100(米)，故监测时长为＝2(分钟).]
随堂演练
1.C [∵()2＋(－1)2＝4，
∴点P在圆上.∴P为切点.
∵切点与圆心连线的斜率为－
∴切线的斜率为
∴切线方程为y＋1＝(x－)，
即x－y－4＝0.]
2.A [以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系，
由题意可知，点A的坐标为
(－50，－10)，
设圆拱桥所在圆的半径为r，
∵|OP|＝10，
由勾股定理可得
(r－|OP|)2＋|OA|2＝r2，
即(r－10)2＋502＝r2，解得r＝130，
所以圆心坐标为(0，－130)，则圆的方程为x2＋(y＋130)2＝1302，
将x＝－30代入圆的方程得
(y＋130)2＝1302－(－30)2
＝16 000，
∵y>－10，解得y＝40－130，
∴|MN|＝(40－130)－(－10)
＝40－120≈40×3.162－120
＝6.48(米).]
3.－2
解析 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即
－2＝－2.
4.不会
解析 如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方程为x2＋y2＝9；轮船航线所在的直线l的方程为4x＋7y－28＝0.又圆心O到直线l的距离为>3，
可知直线与圆相离，
故轮船不会受到台风的影响.(共76张PPT)
第2课时
直线与圆的方程的应用
第二章 2.5.1 直线与圆的位置关系
<<<
1. 理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用(重点).
2.会用“数形结合”的数学思想解决问题(难点).
学习目标
当前台风中心P在某海滨城市O向东300 km处生成，并以40 km/h的速度向北偏西45°方向移动.已知距离台风中心250 km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？受台风侵袭大概持续多长时间？
导 语
一、圆的切线问题
二、圆的方程的实际应用
课时对点练
三、直线与圆的方程的实际应用
随堂演练
内容索引
圆的切线问题
一
(1)(课本例2) 过点P(2，1)作圆O：x2+y2=1的切线l，求切线l的方程.
例 1
方法一 设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y-1=k(x-2)，
即kx-y+1-2k=0.
由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1，
得=1，解得k=0或.
因此，所求切线l的方程为y=1，或4x-3y-5=0.
解
方法二 设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y-1=k(x-2).
因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解.
消元，得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0. ①
因为方程①只有一个解，所以Δ=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0，
解得k=0或.
所以，所求切线l的方程为y=1，或4x-3y-5=0.
解
(1)过点A(-1，4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l，则切线l的方程为
.
例 1
y=4或3x+4y-13=0
∵(-1-2)2+(4-3)2=10>1，∴点A在圆外.
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x=-1，不满足题意.
因此直线l的斜率存在，设为k，
则切线l的方程为y-4=k(x+1)，
即kx-y+4+k=0.
圆心(2，3)到切线l的距离为=1，
解得k=0或k=-，
因此，所求直线l的方程为y=4或3x+4y-13=0.
解析
(2)由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则该切线长的最小值为
A.1 B.2 C. D.3
√
圆心C(3，0)到直线y=x+1的距离d==2，
所以切线长的最小值为l==.
解析
求过某一点的圆的切线方程
(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在且不为0，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为-，由点斜式方程可得切线方程.
②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0.
反
思
感
悟
(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y-y0 =k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.
②当切线斜率不存在时要加以验证.
注意：过圆外一点的切线有两条.
反
思
感
悟
(1)过圆x2+y2-2x-4y=0上一点P(3，3)的切线方程为
A.2x-y+9=0 B.2x+y-9=0
C.2x+y+9=0 D.2x-y-9=0
跟踪训练 1
√
x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1，2)，
kPC=，∴切线的斜率k=-2，
∴切线方程为y-3=-2(x-3)，即2x+y-9=0.
解析
(2)已知直线l：ax+by-3=0与圆M：x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1，2)，则直线l的方程为 .
x+2y-3=0
根据题意，由圆M：x2+y2+4x-1=0，化为标准方程得(x+2)2+y2=5，其圆心为M(-2，0)，
因为直线l：ax+by-3=0与圆M：x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1，2)，
则点P在直线l上且MP与直线l垂直.
kMP==2，则有-=-，
则有b=2a，
又由点P在直线l上，则-a+2b-3=0，
解得a=1，b=2，
则直线l的方程为x+2y-3=0.
解析
二
圆的方程的实际应用
(课本例3) 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=
20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m).
例 2
建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，
O为坐标原点，圆心在y轴上.
由题意，点P，B的坐标分别为(0，4)，(10，0).
设圆心坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.
下面确定b和r的值.
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.
解
于是，得到方程组
解得b=-10.5，r2=14.52.
所以，圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.
把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，
得(-2)2+(y+10.5)2=14.52，
即y+10.5=(P2的纵坐标y>0，平方根取正值).
所以y=-10.5≈14.36-10.5=3.86(m).
答：支柱A2P2的高度约为3.86 m.
解
一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是
A.13米 B.14米
C.15米 D.16米
例 2
√
建立如图所示的平面直角坐标系，则A(-6，-2)，B(6，-2)，
设圆的方程为x2+(y+m)2=m2(m>0)，
将A点坐标代入圆的方程，则有m=10，
故圆的方程为x2+(y+10)2=100，
令y=-4，则x=±8，故|EF|=16(米).
解析
建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题.
反
思
感
悟
一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过
A.1.4米 B.3.0米 C.3.6米 D.4.5米
跟踪训练 2
可画出示意图如图所示，通过勾股定理解得OD== =3.6(米).
解析
√
直线与圆的方程的实际应用
三
(课本例4) 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
例 3
以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系.为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0，3)，轮船所在位置的坐标为(4，0).这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2+y2=4；
轮船航线所在直线l的方程为+=1，
即3x+4y-12=0.
联立直线l与圆O的方程，得
解
消去y，得25x2-72x+80=0.
由Δ=(-72)2-4×25×80<0，可知方程组无解.
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.
解
如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点.
(1)求圆C的方程；
例 3
由题意，得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则
解得
∴圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.
解
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
该船初始位置为点D，则D(-20，-20)，
且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航行方向为直线l：x-y+20-20=0，
由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r=10，
由于圆心C到直线l的距离
d==10<10，
故该船有触礁的危险.
解
解决直线与圆的实际应用题的步骤
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.
(2)建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.
反
思
感
悟
某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向50米的A处出发，沿西北方向走向位于设备正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测的时长为
A.1分钟 B. 分钟
C.2分钟 D. 分钟
跟踪训练 3
√
以设备的位置为坐标原点O，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，则A(50，0)，B(0，50)，可得lAB∶x+y=50，圆O：x2+y2=10 000.
记从N处开始被监测，
解析
到M处监测结束，因为O到lAB的距离为|OO'|==50(米)，
所以|MN|=2=100(米)，
故监测时长为=2(分钟).
1.知识清单：
(1)圆的切线问题.
(2)圆的方程的实际应用.
(3)直线与圆的方程的实际应用.
2.方法归纳：数学建模、坐标法.
3.常见误区：不能正确进行数学建模.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.圆x2+y2=4在点P(，-1)处的切线方程为
A.x+y-2=0 B.x+y-4=0
C.x-y-4=0 D.x-y+2=0
√
1
2
3
4
∵()2+(-1)2=4，
∴点P在圆上.∴P为切点.
∵切点与圆心连线的斜率为-，
∴切线的斜率为，
∴切线方程为y+1=(x-)，
即x-y-4=0.
解析
1
2
3
4
2.经测得某圆拱索桥(如图)的跨度|AB|=100米，拱高|OP|=10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约为(注：≈3.162)
A.6.48米 B.4.48米
C.2.48米 D.5.48米
√
1
2
3
4
以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系，
由题意可知，点A的坐标为(-50，-10)，
设圆拱桥所在圆的半径为r，
∵|OP|=10，
由勾股定理可得(r-|OP|)2+|OA|2=r2，
即(r-10)2+502=r2，解得r=130，
所以圆心坐标为(0，-130)，
解析
1
2
3
4
则圆的方程为x2+(y+130)2=1302，
将x=-30代入圆的方程得
(y+130)2=1302-(-30)2=16 000，
∵y>-10，解得y=40-130，
∴|MN|=(40-130)-(-10)
=40-120≈40×3.162-120=6.48(米).
解析
1
2
3
4
3.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示，村外一小路方程可用x-y+2=0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是
.
从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，-3)到直线x-y+2=0的距离减去圆的半径2，即-2=-2.
解析
-2
1
2
3
4
4.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它
(填“会”或“不会”)受到台风的影响.
不会
1
2
3
4
如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方程为x2+y2=9；轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0.又圆心O到直线l的距离为=>3，
可知直线与圆相离，
故轮船不会受到台风的影响.
解析
课时对点练
五
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
题号 1 2 3 4 5 6 9 10
答案 D D CD B AC BCD 1
题号 11 12 答案 17.5
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1＝k(x-4)，
即kx-y-4k-1＝0，则＝2，
解得k＝-，
所以此时直线l的方程为3x+4y-8＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x+4y-8＝0.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)当直线l的倾斜角为135°时，
直线l的方程为x+y-3＝0，
圆心到直线l的距离d＝，
故所求弦长为2＝2＝2.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，
则A(40，0)，B(0，30)，
圆O的方程为x2+y2＝252.
直线AB的方程为＝1，
即3x+4y-120＝0.
设点O到直线AB的距离为d，
则d＝＝24<25，
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以外籍轮船能被海监船监测到.
设监测时间为t，
则t＝＝0.5(h).
所以这艘外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5 h.
基础巩固
1.过点P(2，1)作圆O：x2+y2=1的切线l，则切线l的方程为
A.y=1
B.4x-3y-5=0
C.y=1或3x-4y-5=0
D.y=1或4x-3y-5=0
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
当直线l斜率不存在时，x=2与圆O相离，
因此设切线l的方程为y-1=k(x-2)，即kx-y-2k+1=0，
∴圆心到直线l的距离d==1，
∴3k2-4k=0，∴k=0或k=，
∴切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0.
解析
2.一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40 海里处有一个小岛A，距离小岛10 海里范围内可能存在暗礁.若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则暗礁所在区域边界的方程为
A.(x+20)2+(y+20)2=100
B.(x-20)2+(y-20)2=100
C.(x+20)2+(y+20)2=100
D.(x-20)2+(y-20)2=100
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
易得暗礁所在区域边界为一个圆，过A作y轴的垂线，垂足为B(图略)，则∠AOB=30°，
∵|OA|=40，
∴|AB|=20，|OB|==20，
∴暗礁所在区域边界方程为(x-20)2+(y-20)2=100.
解析
3.(多选)若直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b的值是
A.-2 B.-12
C.2 D.12
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0，
可化为(x-1)2+(y-1)2=1，
由圆心(1，1)到直线3x+4y-b=0的距离为==1，得b=2或b=12.
解析
4.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形储备基地(如图)，它的附近有一条平直的公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专线DE，则DE的最短距离为
A.6 km B.(4-1)km
C.(4+1)km D.4 km
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，O的正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，
则圆O的方程为x2+y2=1，
因为点B(8，0)，C(0，8)，
所以直线BC的方程为x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离，此时DE的最小值为-1=(4-1)km.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5.(多选)在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2+y2-2y-1=0，若直线y=x-1上存在一点M，使过点M所作的圆的两条切线相互垂直，则点M的纵坐标为
A.1 B.
C.-1 D.-
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
圆x2+y2-2y-1=0的圆心C(0，1)，半径为，因为过点M所作的圆的两条切线相互垂直，所以点M、圆心以及两个切点构成正方形，且|MC|=2，因为M在直线y=x-1上，所以可设M(a，a-1)，则|MC|2=a2+(a-2)2=4，解得a=2或a=0，故点M的纵坐标为1或-1.
解析
6.过点A(-2，-1)向圆C：(x-1)2+(y-2)2=4作切线，切点为B，则|AB|= .
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由圆C：(x-1)2+(y-2)2=4，圆心坐标为C(1，2)，半径为2，因为过点A(-2，-1)向圆C作切线，切点为B，且|AC|==3，所以|AB|===.
解析
7.已知圆C：(x-2)2+(y-3)2=4外有一点P(4，-1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
圆C的圆心为(2，3)，半径r=2.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=4，此时圆C与直线l相切；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x-4)，即kx-y-4k-1=0，
则=2，解得k=-，
所以此时直线l的方程为3x+4y-8=0.
综上，直线l的方程为x=4或3x+4y-8=0.
解
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
当直线l的倾斜角为135°时，
直线l的方程为x+y-3=0，
圆心到直线l的距离d==，
故所求弦长为2=2=2.
解
8.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，
则A(40，0)，B(0，30)，
圆O的方程为x2+y2=252.
直线AB的方程为+=1，
即3x+4y-120=0.
设点O到直线AB的距离为d，
则d==24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到.
解
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
设监测时间为t，
则t==0.5(h).
所以这艘外籍轮船能被海监船监测到，
持续时间为0.5 h.
解
9.(多选)从点A(-3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2+y2-4x-4y+7=0上，则下列结论正确的是
A.若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x-4y-3=0
B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x-y=0
C.若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是5-1
D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
综合运用
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
点A(-3，3)关于x轴的对称点为A'(-3，-3).圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1，由题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y+3=k(x+3)，即kx-y+
3k-3=0.由相切知=1，解得k=或k=.
所以反射光线方程为y+3=(x+3)或y+3=(x+3)，
即4x-3y+3=0或3x-4y-3=0，故A错误；
又A'(-3，-3)，C(2，2)的方程为y=x，故B正确；
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因为|A'C|==5，所以光线经过的最短路程为5-1，故C正确；
由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1，0)和
，故D正确.
解析
10.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为 h.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则台风中心经过以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，
即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，由题意知，台风路径用方程表示为y=x，则圆心B(40，0)到直线y=x的距离
d==20，可求得|MN|=2=20，
所以城市B处于危险区的时间为=1(h).
解析
11.已知圆C：x2+(y-2)2=16，点P在直线l：x+2y+6=0上，过点P作圆C的两
条切线，切点分别为A，B.当∠APB最大时，cos∠APB= .
能力提升
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如图所示，易知∠APB=2∠APC，若∠APB最大，则∠APC最大，
在Rt△APC中，sin∠APC=，则当∠APC最大时，|PC|取得最小值，
显然由点到直线的距离公式可知|PC|≥=2，
则当|PC|=2时，sin∠APC=，
则cos∠APB=1-2sin2∠APC=-.
解析
12.某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心O的东北方向20 米的点A处，有一360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度.那么观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为 米.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
17.5
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则O(0，0)，A(20，20)，观景直道所在直线的方程为y=-10，由图易知，过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过点A且恰与圆O相切，
解析
①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切；
②若直线l不垂直于x轴，设l：y-20=k(x-20)，整理得kx-y-20k+20=0，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以圆心O到直线l的距离d==4，解得k=或k=，所以直线l的方程为3x-4y+20=0或4x-3y-20=0，
设这两条直线与y=-10交于D，E，
由解得x=-20，
由解得x=-2.5，
所以|DE|=17.5.
解析
第二章 2.5.1 直线与圆的位置关系
<<<作业26 直线与圆的方程的应用
分值：80分
单选题每小题5分，共15分；多选题每小题6分，共18分
1.过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为
A.y＝1
B.4x－3y－5＝0
C.y＝1或3x－4y－5＝0
D.y＝1或4x－3y－5＝0
2. 一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40 海里处有一个小岛A，距离小岛10 海里范围内可能存在暗礁.若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则暗礁所在区域边界的方程为
A.(x＋20)2＋(y＋20)2＝100
B.(x－20)2＋(y－20)2＝100
C.(x＋20)2＋(y＋20)2＝100
D.(x－20)2＋(y－20)2＝100
3.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是
A.－2 B.－12 C.2 D.12
4. 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形储备基地(如图)，它的附近有一条平直的公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专线DE，则DE的最短距离为
A.6 km B.(4－1)km
C.(4＋1)km D.4 km
5.(多选)在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2＋y2－2y－1＝0，若直线y＝x－1上存在一点M，使过点M所作的圆的两条切线相互垂直，则点M的纵坐标为
A.1 B. C.－1 D.－
6.过点A(－2，－1)向圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4作切线，切点为B，则|AB|＝ .
7.(13分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(6分)
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.(7分)
8.(14分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
9.(多选)从点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是
A.若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0
B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0
C.若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是5－1
D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是
10.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为 h.
11.已知圆C：x2＋(y－2)2＝16，点P在直线l：x＋2y＋6＝0上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.当∠APB最大时，cos∠APB＝ .
12. 某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心O的东北方向20 米的点A处，有一360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度.那么观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为 米.
答案精析
1.D [当直线l斜率不存在时，x＝2与圆O相离，因此设切线l的方程为
y－1＝k(x－2)，
即kx－y－2k＋1＝0，
∴圆心到直线l的距离
d＝＝1，
∴3k2－4k＝0，∴k＝0或k＝，
∴切线l的方程为
y＝1或4x－3y－5＝0.]
2.D [易得暗礁所在区域边界为一个圆，过A作y轴的垂线，垂足为B(图略)，则∠AOB＝30°，
∵|OA|＝40，
∴|AB|＝20，
|OB|＝＝20，
∴暗礁所在区域边界方程为
(x－20)2＋(y－20)2＝100.]
3.CD [圆的方程为
x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为
＝1，
得b＝2或b＝12.]
4.B [以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，O的正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，
则圆O的方程为x2＋y2＝1，
因为点B(8，0)，C(0，8)，
所以直线BC的方程为x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离，此时DE的最小值为－1＝(4－1)km.]
5.AC [圆x2＋y2－2y－1＝0的圆心C(0，1)，半径为，因为过点M所作的圆的两条切线相互垂直，所以点M、圆心以及两个切点构成正方形，且|MC|＝2，因为M在直线y＝x－1上，所以可设M(a，a－1)，
则|MC|2＝a2＋(a－2)2＝4，
解得a＝2或a＝0，
故点M的纵坐标为1或－1.]
6.
解析 由圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆心坐标为C(1，2)，半径为2，因为过点A(－2，－1)向圆C作切线，切点为B，且|AC|＝＝3，
所以|AB|＝.
7.解 (1)圆C的圆心为(2，3)，
半径r＝2.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，
即kx－y－4k－1＝0，
则＝2，
解得k＝－，
所以此时直线l的方程为
3x＋4y－8＝0.
综上，直线l的方程为
x＝4或3x＋4y－8＝0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时，
直线l的方程为x＋y－3＝0，
圆心到直线l的距离
d＝，
故所求弦长为
2＝2＝2.
8.解 如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，
则A(40，0)，B(0，30)，
圆O的方程为x2＋y2＝252.
直线AB的方程为＝1，
即3x＋4y－120＝0.
设点O到直线AB的距离为d，
则d＝＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到.
设监测时间为t，
则t＝＝0.5(h).
所以这艘外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5 h.
9.BCD [点A(－3，3)关于x轴的对称点为A'(－3，－3).圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，由题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.由相切知＝1，
解得k＝或k＝.
所以反射光线方程为
y＋3＝(x＋3)或y＋3＝(x＋3)，
即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误；
又A'(－3，－3)，
C(2，2)的方程为y＝x，故B正确；
因为|A'C|＝＝5，
所以光线经过的最短路程为5－1，故C正确；
由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1，0)和，所以被挡住的范围是，故D正确.]
10.1
解析 如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则台风中心经过以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，由题意知，台风路径用方程表示为y＝x，则圆心B(40，0)到直线y＝x的距离d＝＝20，可求得
|MN|＝2＝20，
所以城市B处于危险区的时间为
＝1(h).
11.－
解析 如图所示，易知∠APB＝2∠APC，
若∠APB最大，则∠APC最大，
在Rt△APC中，
sin∠APC＝，
则当∠APC最大时，|PC|取得最小值，
显然由点到直线的距离公式可知
|PC|≥＝2，
则当|PC|＝2时，sin∠APC＝，
则cos∠APB＝1－2sin2∠APC＝－.
12.17.5
解析 以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则O(0，0)，A(20，20)，观景直道所在直线的方程为y＝－10，由图易知，过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过点A且恰与圆O相切，
①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切；
②若直线l不垂直于x轴，
设l：y－20＝k(x－20)，
整理得kx－y－20k＋20＝0，
所以圆心O到直线l的距离
d＝＝4，
解得k＝或k＝，
所以直线l的方程为
3x－4y＋20＝0或4x－3y－20＝0，
设这两条直线与y＝－10交于D，E，
由解得x＝－20，
由解得x＝－2.5，
所以|DE|＝17.5.
