2.5.2 圆与圆的位置关系
学习目标 1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题.
一、两圆位置关系的判断
1.代数法：设两圆方程分别为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，联立方程得一元二次方程，
方程组有两组不同的实数解 两圆 ，有一组实数解 两圆 ，无实数解 两圆 .
2.几何法：已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d＝|C1C2|＝.则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系 圆心距与半径之间的关系 图示
两圆外离 d>r1＋r2
两圆外切 d＝r1＋r2
两圆相交 |r1－r2|< d
两圆内切 d＝|r1－r2|
两圆内含 d<|r1－r2|
例1 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含.
反思感悟 判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
跟踪训练1 (1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是( )
A.4 B.6 C.16 D.36
(2)到点A(－1，2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有 条.
二、相交弦问题
例2 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
反思感悟 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
跟踪训练2 圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为 .
三、圆与圆的综合性问题
例3 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程.
延伸探究 将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求？
反思感悟 通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题.
1.知识清单：
(1)两圆位置关系的判断.
(2)两圆的公共弦问题.
(3)圆与圆的综合性问题.
2.方法归纳：几何法、代数法.
3.常见误区：将两圆内切和外切相混.
1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A.外离 B.相交
C.外切 D.内切
2.(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A.2 B.－5
C.－2 D.5
3.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是 .
4.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝ .
答案精析
知识梳理
1.相交 相切 外离或内含
例1 解 圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，
半径r1＝4，r2＝1.
∴|C1C2|＝＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，
即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，
即a＝3时，两圆内切.
(2)当3<|C1C2|<5，即3(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离.
(4)当|C1C2|<3，即0跟踪训练1 (1)C [圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，
∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，
∴＝1＋
解得a＝16.]
(2)4
解析 到点A(－1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，－1)的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距
|AB|＝＝5.
半径之和为3＋1＝4，因为5>4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条.
例2 解 (1)设两圆交点分别为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立圆C1与圆C2的方程，得
由①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C1的圆心(－3，0)，r＝
∴C1到直线AB的距离
d＝
∴|AB|＝2＝2＝5
即两圆的公共弦长为5.
(2)解方程组
得两圆的交点为(－1，3)，(－6，－2).
设所求圆的圆心为(a，b)，
∵圆心在直线x－y－4＝0上，
故b＝a－4.
则
＝
解得a＝故所求圆的圆心为
半径为.
故所求圆的方程为
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
跟踪训练2 (x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)
解析 方法一
由
解得
所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3，3)，连接AB(图略)，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1).
由解得
所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，
半径为＝4，
所以所求圆的方程为
(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法二 同方法一求得
A(－1，－1)，B(3，3)，
设所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由
解得
所以所求圆的方程为
(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
例3 解 设所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则＝r＋1. ①
又所求圆过点M的切线为直线
x＋y＝0，故. ②
＝r. ③
由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或
a＝0，b＝－4r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
延伸探究 解 因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为(a，0)，半径为r，
则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，
且过点(3，－)，
所以
解得
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
随堂演练
1.B [把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1，0)，O2(0，2)，r1＝1，r2＝2，|O1O2|＝2.AB [圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，
圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.
依题意有
＝3＋2，
即m2＋3m－10＝0，
解得m＝2或m＝－5.]
3.(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
解析 设圆C的半径为r，
圆心距d＝＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，
解得r＝4；
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，
解得r＝6，
则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
4.1
解析 将两圆的方程相减，
得相交弦所在的直线方程为y＝
圆心(0，0)到直线的距离
d＝＝1，
所以a＝1.(共77张PPT)
2.5.2
圆与圆的位置关系
第二章 §2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
<<<
1.了解圆与圆的位置关系.
2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.(重点)
3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题.(难点)
学习目标
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球运行至太阳与地球之间并在一条直线上时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.
导 语
一、两圆位置关系的判断
二、相交弦问题
课时对点练
三、圆与圆的综合性问题
随堂演练
内容索引
两圆位置关系的判断
一
1.代数法：设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0，
联立方程得 一元二次方程，
方程组有两组不同的实数解 两圆 ，有一组实数解 两圆 ，无实数解 两圆 .
相切
相交
外离或内含
2.几何法：已知两圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=，C2：(x-x2)2+(y-y2)2=，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d=|C1C2|= .则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系 圆心距与半径之间的关系 图示
两圆外离 d>r1+r2
两圆外切 d=r1+r2
位置关系 圆心距与半径之间的关系 图示
两圆相交 |r1-r2|< d两圆内切 d=|r1-r2|
两圆内含 d<|r1-r2|
判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系.
注 意 点
<<<
(课本例5) 已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.
例 1
方法一 将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组
①-②，得x+2y-1=0，③
由③，得y=.
把上式代入①，并整理，得x2-2x-3=0.④
方程④的根的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0，
所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2.把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2.
解
因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交.
方法二 把圆C1的方程化成标准方程，得(x+1)2+(y+4)2=25，
圆C1的圆心是(-1，-4)，半径r1=5.
把圆C2的方程化成标准方程，得(x-2)2+(y-2)2=10，
圆C2的圆心是(2，2)，半径r2=.
圆C1与圆C2的圆心距为
=3.
解
圆C1与圆C2的两半径长之和r1+r2=5+两半径长之差r1-r2=5-.
因为5-<3<5+即r1-r2<3解
(课本例6) 已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
例 1
如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由AB=4，得A(-2，0)，B(2，0).
解
设点M的坐标为(x，y)，由|MA|=|MB|，
得=×
化简，得x2-12x+y2+4=0，即(x-6)2+y2=32.
所以点M的轨迹是以P(6，0)为圆心，半径为4的一个圆(如图).
因为两圆的圆心距为|PO|=6，两圆的半径分别为r1=2，r2=4又r2-r1<|PO| 已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0 (a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；
例 1
圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x-a)2+(y-1)2=16，C2：(x-2a)2+(y-1)2=1，
∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1=4，r2=1.
∴|C1C2|==a.
当|C1C2|=r1+r2=5，即a=5时，两圆外切；当|C1C2|=r1-r2=3，
即a=3时，两圆内切.
解
(2)相交；
当3<|C1C2|<5，即3解
(3)外离；
当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离.
解
(4)内含.
当|C1C2|<3，即0解
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
反
思
感
悟
(1)圆C1：x2+y2-4x+3=0与圆C2：(x+1)2+(y-4)2=a恰有三条公切线，则实数a的值是
A.4 B.6 C.16 D.36
跟踪训练 1
√
圆C1的标准方程为(x-2)2+y2=1，
∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，
∴=1+，解得a=16.
解析
(2)到点A(-1，2)，B(3，-1)的距离分别为3和1的直线有 条.
到点A(-1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，-1)的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|==5.
半径之和为3+1=4，因为5>4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条.
解析
4
二
相交弦问题
已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
例 2
设两圆交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立圆C1与圆C2的方程，
得
由①-②，得x-y+4=0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C1的圆心(-3，0)，r=，
解
∴C1到直线AB的距离d==，
∴|AB|=2=2=5，
即两圆的公共弦长为5.
解
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
解方程组
得两圆的交点为(-1，3)，(-6，-2).
设所求圆的圆心为(a，b)，∵圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4.
则=，
解得a=，半径为.
故所求圆的方程为+=，
即x2+y2-x+7y-32=0.
解
(1)若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+ F2
=0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y +F1-F2=0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
反
思
感
悟
圆心在直线x-y-4=0上，且经过圆x2+y2-4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程为 .
跟踪训练 2
(x-3)2+(y+1)2=16(或x2+y2-6x+2y-6=0)
方法一 由解得
所以圆x2+y2-4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点分别为A(-1，-1)，B(3，3)，连接AB(图略)，则线段AB的垂直平分线的方程为y-1=-(x-1).
由
所以所求圆的圆心坐标为(3，-1)，
半径为=4，
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.
解析
方法二 同方法一求得A(-1，-1)，B(3，3)，
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
由
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.
解析
圆与圆的综合性问题
三
求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3，-)的圆的方程.
例 3
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切，
则=r+1. ①
又所求圆过点M的切线为直线x+y=0，
故=. ②
=r. ③
由①②③解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=-4，r=6.
故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.
解
将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切，圆心在x轴上，且过点(3，-)的圆的方程”，如何求？
延伸探究
因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为(a，0)，半径为r，
则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2，
又因为与圆x2+y2-2x=0外切，
且过点(3，-)，
所以
所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.
解
通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)两圆位置关系的判断.
(2)两圆的公共弦问题.
(3)圆与圆的综合性问题.
2.方法归纳：几何法、代数法.
3.常见误区：将两圆内切和外切相混.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
√
把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x-1)2+y2=1，圆O2：x2+(y-2)2=4，则O1(1，0)，O2(0，2)，r1=1，r2=2，
|O1O2|==解析
1
2
3
4
2.(多选)圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4外切，则m的值为
A.2 B.-5 C.-2 D.5
√
圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2，m)，半径为3，
圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m，-1)，半径为2.
依题意有=3+2，
即m2+3m-10=0，
解得m=2或m=-5.
解析
√
1
2
3
4
3.已知以C(4，-3)为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相切，则圆C的方程是
.
设圆C的半径为r，
圆心距d==5，
当圆C与圆O外切时，r+1=5，解得r=4；
当圆C与圆O内切时，r-1=5，解得r=6，
则圆C的方程为(x-4)2+(y+3)2=16
或(x-4)2+(y+3)2=36.
解析
(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36
1
2
3
4
4.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2，则a= .
将两圆的方程相减，
得相交弦所在的直线方程为y=，
圆心(0，0)到直线的距离d===1，
所以a=1.
解析
1
课时对点练
五
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
题号 1 2 3 4 5 6 9
答案 C A BCD B ABC 1 C
题号 10 11 12 答案 4a2+b2＝1 C A
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x-1)2+(y+5)2＝50，C2：(x+1)2+(y+1)2＝10，则圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1＝5；圆C2的圆心为(-1，-1)，半径r2＝.
又|C1C2|＝2，r1+r2＝5，r1-r2＝5，
所以r1-r2<|C1C2|所以两圆相交.
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x-2y+4＝0.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(3)方法一 两方程联立，得方程组
两式相减得x＝2y-4， ③
把③代入②得y2-2y＝0，
解得y1＝0，y2＝2，
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以或
所以两圆交点坐标为(-4，0)和(0，2)，
所以两圆的公共弦长为＝2.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法二 由(2)知x-2y+4＝0为两圆公共弦所在直线的方程.
由(1)知圆C1的圆心为(1，-5)，
半径r1＝5，
圆心C1到直线x-2y+4＝0的距离d＝＝3，
所以两圆的公共弦长为2＝2＝2.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)圆C：x2+y2-6x-8y+21＝0化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2＝4，
所以圆C的圆心为(3，4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意.
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y-1＝k(x-1).
即kx-y-k+1＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，
所以＝2，即＝2，解得k＝，
所以直线方程为5x-12y+7＝0.
综上，所求l1的方程为x＝1或5x-12y+7＝0.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)依题意，设D(a，a+2).
又已知圆C的圆心为(3，4)，半径为2，
由两圆外切，可知|CD|＝5，
所以＝5，
解得a＝-1或a＝6.
所以D(-1，1)或D(6，8)，
所以所求圆D的方程为(x+1)2+(y-1)2＝9或(x-6)2+(y-8)2＝9.
基础巩固
1.圆C1：x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2：x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为
A.相交 B.外切
C.内切 D.外离
√
由已知，得C1(-2，-4)，r1=5，C2(-2，-2)，r2=3，
则圆心距d=|C1C2|=2，
所以d=|r1-r2|，所以两圆内切.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是
A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0
C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
圆x2+y2-2x-5=0的圆心为M(1，0)，圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心为N(-1，2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为=，即x+y-1=0.
解析
3.(多选)下列圆中与圆C：x2+y2+2x-4y+1=0相切的是
A.(x+2)2+(y+2)2=9 B.(x-2)2+(y+2)2=9
C.(x-2)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y+2)2=49
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由圆C：x2+y2+2x-4y+1=0，可知圆心C的坐标为(-1，2)，半径r=2.
A项，圆心C1(-2，-2)，半径r1=3.
∵|C1C|=∈(r1-r，r1+r)，∴两圆相交；
B项，圆心C2(2，-2)，半径r2=3，
∵|C2C|=5=r+r2，∴两圆外切，满足条件；
C项，圆心C3(2，2)，半径r3=5，
∵|C3C|=3=r3-r，∴两圆内切，满足条件；
D项，圆心C4(2，-2)，半径r4=7，
∵|C4C|=5=r4-r，∴两圆内切，满足条件.
解析
4.已知m是正实数，则“m≥16”是“圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x-4)2+(y+3)2=
m(m>0)有公共点”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
圆x2+y2=1的圆心C1(0，0)，半径r1=1，圆(x-4)2+(y+3)2=m的圆心C2(4，-3)，半径r2=，则|C1C2|==5，两圆有公共点 |-1|≤5≤
+1，解得16≤m≤36，显然[16，36] [16，+∞).
故“m≥16”是“圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x-4)2+(y+3)2=m有公共点”的必要不充分条件.
解析
5.(多选)已知圆C1：(x+2)2+y2=1，圆C2：x2+(y-a)2=9，则下列结论正确的是
A.若圆C1和圆C2外离，则a>2或a<-2
B.若圆C1和圆C2外切，则a=±2
C.当a=0时，有且仅有一条直线与圆C1和圆C2均相切
D.当a=2时，圆C1和圆C2内含
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
圆C1：(x+2)2+y2=1的圆心为C1(-2，0)，半径r1=1，
圆C2：x2+(y-a)2=9的圆心为C2(0，a)，半径r2=3，所以|C1C2|=，
若圆C1和圆C2外离，则|C1C2|=>r1+r2=4，解得a>2或a<-2，故A正确；
若圆C1和圆C2外切，则|C1C2|==4，解得a=±2，故B正确；
当a=0时，|C1C2|=2=r2-r1，则圆C1和圆C2内切，故仅有一条公切线，故C正确；
当a=2时，2=r2-r1<|C1C2|=2解析
6.早在两千多年前，我国的墨子就给出了圆的定义“一中同长也”，已知O为坐标原点，P(-1，)，若圆O，圆P的“长”分别为1，r，且两圆外切，则r= .
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由题意，O为坐标原点，P(-1，)，
根据圆的定义，可得圆O：x2+y2=1，
圆P：(x+1)2+(y-)2=r2，
因为两圆外切，所以|PO|=r+1，
即r+1==2，解得r=1.
解析
7.已知两圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0.
(1)试判断两圆的位置关系；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x-1)2+(y+5)2=50，C2：(x+1)2+(y+1)2=
10，则圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5；圆C2的圆心为(-1，-1)，半径r2=.又|C1C2|=2，r1+r2=5+，r1-r2=5-，所以r1-r2<
|C1C2|解
(2)求公共弦所在的直线方程；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0.
解
(3)求公共弦的长度.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法一 两方程联立，得方程组
两式相减得x=2y-4， ③
把③代入②得y2-2y=0，解得y1=0，y2=2，
所以所以两圆交点坐标为(-4，0)和(0，2)，
所以两圆的公共弦长为=2.
解
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法二 由(2)知x-2y+4=0为两圆公共弦所在直线的方程.
由(1)知圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5，圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d==3，
所以两圆的公共弦长为
2=2=2.
解
8.已知圆C：x2+y2-6x-8y+21=0.
(1)若直线l1过定点A(1，1)，且与圆C相切，求l1的方程；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
圆C：x2+y2-6x-8y+21=0化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4，
所以圆C的圆心为(3，4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x=1，符合题意.
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y-1=k(x-1).
即kx-y-k+1=0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，
所以=2，即=2，
解得k=，所以直线方程为5x-12y+7=0.
综上，所求l1的方程为x=1或5x-12y+7=0.
解
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x-y+2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
依题意，设D(a，a+2).
又已知圆C的圆心为(3，4)，半径为2，
由两圆外切，可知|CD|=5，
所以=5，
解得a=-1或a=6.所以D(-1，1)或D(6，8)，
所以所求圆D的方程为(x+1)2+(y-1)2=9或(x-6)2+(y-8)2=9.
解
9.若直线l与圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-1)2+y2=4都相切，切点分别为A，B，则|AB|等于
A.1 B.
C. D.2
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
综合运用
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如图所示，设直线l交x轴于点M，
由于直线l与圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-1)2+y2=4都相切，切点分别为A，B，
则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2，
∵|BC2|=2=2|AC1|，
∴C1为MC2的中点，A为BM的中点，
∴|MC1|=|C1C2|=2，
由勾股定理可得|AB|=|MA|==.
解析
10.已知圆C1：x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2：x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线，则实数a，b的关系是 .
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4a2+b2=1
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
圆C1：x2+y2+4ax+4a2-4=0化为标准方程为(x+2a)2+y2=4，
圆心坐标为(-2a，0)，半径长为2.
圆C2：x2+y2-2by+b2-1=0化为标准方程为
x2+(y-b)2=1，
圆心坐标为(0，b)，半径长为1.
由于两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以=2-1=1，
整理得4a2+b2=1.
解析
11.已知点A(1，0)，B(1，6)，圆C：x2+y2-10x-12y+m=0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB=90°，则m等于
A.-3或3 B.57
C.-3或57 D.3或57
√
综合运用
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切.
因为A(1，0)，B(1，6)，
所以以AB为直径的圆M的方程为(x-1)2+(y-3)2=9，
圆C：(x-5)2+(y-6)2=61-m.
因为两圆相切，
所以|CM|=|3±|，即5=|3±|，
解得m=57或m=-3.
解析
12.如图，A(2，0)，B(1，1)，C(-1，1)，D(-2，0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W，则下列说法错误的是
A.曲线W与x轴围成的图形的面积等于2π
B.曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)
C.所在圆的方程为x2+(y-1)2=1
D.与的公切线方程为x+y=+1
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由已知点的坐标知，曲线W与x轴围成的图形为一个半圆、两个四分之一圆及一个长方形，且圆的半径都为1，由题意，面积为π×12+2×1=π+2，A错；
由图知，曲线W上除A，B，C，D为整点，还有(0，2)，共5个整点，B对；
由题意得，所在圆的半径为1，圆心为(0，1)，对应圆的方程为x2+(y-1)2
=1，C对；
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由题意，所在圆的方程为(x-1)2+y2=1，故圆心为(1，0)，由图知，的公切线的斜率存在且为负值，设为y=kx+m且k<0，m>0，所以
即公切线方程为x+y=+1，D对.
解析
第二章 §2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
<<<作业27 圆与圆的位置关系
分值：80分
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分
1.圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为
A.相交 B.外切 C.内切 D.外离
2.圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是
A.x＋y－1＝0 B.2x－y＋1＝0
C.x－2y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
3.(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是
A.(x＋2)2＋(y＋2)2＝9
B.(x－2)2＋(y＋2)2＝9
C.(x－2)2＋(y－2)2＝25
D.(x－2)2＋(y＋2)2＝49
4.已知m是正实数，则“m≥16”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y＋3)2＝m(m>0)有公共点”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(多选)已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y－a)2＝9，则下列结论正确的是
A.若圆C1和圆C2外离，则a>2或a<－2
B.若圆C1和圆C2外切，则a＝±2
C.当a＝0时，有且仅有一条直线与圆C1和圆C2均相切
D.当a＝2时，圆C1和圆C2内含
6.早在两千多年前，我国的墨子就给出了圆的定义“一中同长也”，已知O为坐标原点，P(－1，)，若圆O，圆P的“长”分别为1，r，且两圆外切，则r＝ .
7.(13分)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；(4分)
(2)求公共弦所在的直线方程；(4分)
(3)求公共弦的长度.(5分)
8.(15分)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直线l1过定点A(1，1)，且与圆C相切，求l1的方程；(8分)
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程.(7分)
9.若直线l与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则|AB|等于
A.1 B. C. D.2
10.已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是 .
11.已知点A(1，0)，B(1，6)，圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m等于
A.－3或3 B.57
C.－3或57 D.3或57
12. 如图，A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W，则下列说法错误的是
A.曲线W与x轴围成的图形的面积等于2π
B.曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)
C.所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1
D.与的公切线方程为x＋y＝＋1
答案精析
1.C [由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，
C2(－2，－2)，r2＝3，
则圆心距d＝|C1C2|＝2，
所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切.]
2.A [圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1，0)，圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1，2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为，
即x＋y－1＝0.]
3.BCD [由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1，2)，半径r＝2.
A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.
∵|C1C|＝∈(r1－r，r1＋r)，
∴两圆相交；
B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，
∵|C2C|＝5＝r＋r2，
∴两圆外切，满足条件；
C项，圆心C3(2，2)，半径r3＝5，
∵|C3C|＝3＝r3－r，
∴两圆内切，满足条件；
D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7，
∵|C4C|＝5＝r4－r，
∴两圆内切，满足条件.]
4.B [圆x2＋y2＝1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆(x－4)2＋(y＋3)2＝m的圆心C2(4，－3)，半径r2＝，
则|C1C2|＝＝5，
两圆有公共点 |－1|≤5≤＋1，
解得16≤m≤36，
显然[16，36] [16，＋∞).
故“m≥16”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y＋3)2＝m有公共点”的必要不充分条件.]
5.ABC [圆C1：(x＋2)2＋y2＝1的圆心为C1(－2，0)，半径r1＝1，
圆C2：x2＋(y－a)2＝9的圆心为C2(0，a)，半径r2＝3，
所以|C1C2|＝，
若圆C1和圆C2外离，
则|C1C2|＝>r1＋r2＝4，
解得a>2或a<－2，故A正确；
若圆C1和圆C2外切，
则|C1C2|＝＝4，
解得a＝±2，故B正确；
当a＝0时，|C1C2|＝2＝r2－r1，则圆C1和圆C2内切，故仅有一条公切线，故C正确；
当a＝2时，2＝r2－r1<|C1C2|＝26.1
解析 由题意，O为坐标原点，
P(－1，)，根据圆的定义，
可得圆O：x2＋y2＝1，
圆P：(x＋1)2＋(y－)2＝r2，
因为两圆外切，所以|PO|＝r＋1，
即r＋1＝＝2，
解得r＝1.
7.解 (1)将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.
又|C1C2|＝2，
r1＋r2＝5，
r1－r2＝5，
所以r1－r2<|C1C2|所以两圆相交.
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)方法一 两方程联立，得方程组
两式相减得x＝2y－4， ③
把③代入②得y2－2y＝0，
解得y1＝0，y2＝2，
所以或
所以两圆交点坐标为
(－4，0)和(0，2)，
所以两圆的公共弦长为
＝2.
方法二 由(2)知x－2y＋4＝0为两圆公共弦所在直线的方程.
由(1)知圆C1的圆心为(1，－5)，
半径r1＝5，
圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离
d＝＝3，
所以两圆的公共弦长为
2＝2＝2.
8.解 (1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为
(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圆C的圆心为(3，4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意.
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1).
即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，
所以＝2，
即＝2，解得k＝，
所以直线方程为5x－12y＋7＝0.
综上，所求l1的方程为
x＝1或5x－12y＋7＝0.
(2)依题意，设D(a，a＋2).
又已知圆C的圆心为(3，4)，半径为2，
由两圆外切，可知|CD|＝5，
所以＝5，
解得a＝－1或a＝6.
所以D(－1，1)或D(6，8)，
所以所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.
9.C [如图所示，设直线l交x轴于点M，由于直线l与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，
圆C2：(x－1)2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，
则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2，
∵|BC2|＝2＝2|AC1|，
∴C1为MC2的中点，A为BM的中点，∴|MC1|＝|C1C2|＝2，
由勾股定理可得
|AB|＝|MA|＝.]
10.4a2＋b2＝1
解析 圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0化为标准方程为
(x＋2a)2＋y2＝4，
圆心坐标为(－2a，0)，半径长为2.
圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1，
圆心坐标为(0，b)，半径长为1.
由于两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以＝2－1＝1，
整理得4a2＋b2＝1.
11.C [由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切.因为A(1，0)，B(1，6)，
所以以AB为直径的圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9，
圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.
因为两圆相切，
所以|CM|＝|3±|，
即5＝|3±|，
解得m＝57或m＝－3.]
12.A [由已知点的坐标知，曲线W与x轴围成的图形为一个半圆、两个四分之一圆及一个长方形，且圆的半径都为1，由题意，面积为π×12＋2×1＝π＋2，A错；由图知，曲线W上除A，B，C，D为整点，还有(0，2)，共5个整点，B对；由题意得，所在圆的半径为1，圆心为(0，1)，对应圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，C对；由题意，所在圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，故圆心为(1，0)，由图知，与的公切线的斜率存在且为负值，设为y＝kx＋m且k<0，m>0，所以可得
即公切线方程为x＋y＝＋1，D对.]