习题课 与圆有关的最值问题
学习目标 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
一、与距离有关的最值问题
1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝ ，最大值＝ .
2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝ ，最大值＝ .
3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝ ，最大值＝ .
4.直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝ .
例1 (1)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为 .
(2)在平面直角坐标系Oxy中，已知(x1－2)2＋＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为( )
A. B. C. D.
反思感悟 (1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值.
跟踪训练1 (1)从点P(1，－2)向圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为( )
A.－1 B.1 C.2 D.0
(2)过点(3，1)作圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为 .
二、与面积有关的最值问题
例2 (1)已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为 .
(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝ .
反思感悟 求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合求解.
跟踪训练2 直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为( )
A.1 B.
C. D.
三、利用数学式的几何意义求解最值问题
例3 已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
(3)求x＋y的最大值与最小值.
反思感悟 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题.
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题.
跟踪训练3 (多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是( )
A.y－x的最大值为－2
B.x2＋y2的最大值为7＋4
C.的最大值为
D.x＋y的最大值为2＋
1.知识清单：
(1)与距离、面积有关的最值问题.
(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题.
2.方法归纳：数形结合、转化思想.
3.常见误区：忽略隐含条件导致范围变大.
1.圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是( )
A.[3，7] B.[1，9] C.[0，5] D.[0，3]
2.已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.4
3.点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是( )
A.[，＋∞)
B.(－∞，－]
C.(－∞，－]∪[，＋∞)
D. [－，]
4.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为 .
答案精析
知识梳理
1.d－r d＋r
2.d－r d＋r
3.2 2r
4.
例1 (1) －
解析 直线l的方程可化为
(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
令
解得定点坐标为M(3，1)，因为圆心C为(1，2)，当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短，
kCM＝＝－kl＝－
所以kCM×kl＝×＝－1，解得m＝－.
(2)B [由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线
x－2y＋4＝0上点的距离的平方，
而距离的最小值为
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.]
跟踪训练1 (1)B [x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m，1)，半径为1，
当切线长最短时，|CP|最小，
|CP|＝即当m＝1时，|CP|最小，切线长最短.]
(2)2
解析 设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.
当弦过点A(3，1)且与CA垂直时弦最短，
|CA|＝.
∴半弦长＝.∴最短弦长为2.
例2 (1)1
解析 根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，
O(0，0)，A(0，2)，OA所在的直线是y轴，
当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，
则M到直线AO的距离的最小值
d＝3－2＝1，
则△OAM的面积最小值
S＝×|OA|×d＝1.
(2)2
解析 圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0，1)，半径r＝1，
由圆的性质可知，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，
又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值
S＝1＝r|PB|min＝|PB|min，
则|PB|min＝2，因为|PB|＝
所以当|PC|取最小值时，|PB|最小.
又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，
当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，
|PC|最小，
即为圆心C(0，1)到直线的距离，
所以解得k＝±2，
因为k>0，所以k＝2.
跟踪训练2 B [设圆心到直线的距离为d(0则|AB|＝2所以S△ABO＝
·2·d＝
由基本不等式，可得S△ABO＝
≤当且仅当d＝时，等号成立.]
例3 解 方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
(1)表示圆上的点P与坐标原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小.
设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝
所以的最大值为
最小值为.
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到点E(－1，0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值
|P2E|＝|CE|－2.
又|CE|＝＝5，
所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为
(5＋2)2＋2＝51，
最小值为(5－2)2＋2＝11.
(3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即|b－6|＝2
解得b＝6±2
所以x＋y的最大值为6＋2
最小值为6－2.
跟踪训练3 AB [对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时≤解得－－2≤z≤－2，所以y－x的最大值为－2，故A说法正确；
对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4故B说法正确；
对于C，设＝k，把y＝kx代入圆的方程得(1＋k2)x2－4x＋1＝0，
则Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤的最大值为故C说法错误；
对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时≤解得－＋2≤m≤＋2，所以x＋y的最大值为＋2，故D说法错误.]
随堂演练
1.A [x2＋y2＝4，圆心(0，0)，半径r＝2，圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3，7].]
2.B [根据题意，
圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，
其圆心C(4，3)，半径r＝2，
过点P作圆C：
(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，
切点为Q，则|PQ|＝
当|PC|最小时，|PQ|最小，
又由点P在单位圆上，
则|PC|的最小值为
|OC|－1＝－1＝4，
则|PQ|的最小值为＝2.]
3.C [将看作圆上动点(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，设＝k，如图，
可得k≥或k≤－.]
4.4
解析 因为C1(－2，2)，r1＝2
C2(2，0)，r2＝4，
所以|C1C2|＝＝2
当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4＝4.(共73张PPT)
习题课
与圆有关的最值问题
第二章 直线和圆的方程
<<<
1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题(重难点).
2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
学习目标
海上某基站信号覆盖范围达60公里.一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号.已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题)
导 语
一、与距离有关的最值问题
二、与面积有关的最值问题
课时对点练
三、利用数学式的几何意义求解最值问题
随堂演练
内容索引
与距离有关的最值问题
一
1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值= ，最大值= .
2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值= ，最大值= .
d-r
d+r
d-r
d+r
3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值= ，最大值= .
4.直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值= .
2
2r
(1)当直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)被圆C：(x-1)2+(y-2)2
=25截得的弦最短时，m的值为 .
例 1
直线l的方程可化为(2x+y-7)m+x+y-4=0，
令
解得定点坐标为M(3，1)，因为圆心C为(1，2)，当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短，kCM==-，kl=-，所以kCM×kl= ×=-1，解得m=-.
解析
-
(2)在平面直角坐标系Oxy中，已知(x1-2)2+=5，x2-2y2+4=0，则(x1-x2)2 +(y1-y2)2的最小值为
A. B. C. D.
√
由已知得点(x1，y1)在圆(x-2)2+y2=5上，点(x2，y2)在直线x-2y+4=0上，
故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示圆(x-2)2+y2=5上的点和直线x-2y+4=0上点的距离的平方，
而距离的最小值为-=，
故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为.
解析
(1)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值.
反
思
感
悟
(1)从点P(1，-2)向圆C：x2+y2-2mx-2y+m2=0作切线，当切线长最短时，m的值为
A.-1 B.1 C.2 D.0
跟踪训练 1
√
x2+y2-2mx-2y+m2=0可化为(x-m)2+(y-1)2=1，圆心C(m，1)，半径为1，
当切线长最短时，|CP|最小，|CP|=，
即当m=1时，|CP|最小，切线长最短.
解析
(2)过点(3，1)作圆C：(x-2)2+(y-2)2=4的弦，其中最短弦长为 .
设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r=2.
当弦过点A(3，1)且与CA垂直时弦最短，
|CA|==.
∴半弦长===.
∴最短弦长为2.
解析
2
二
与面积有关的最值问题
(1)已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点，则△OAM面积的最小值为 .
例 2
1
根据题意，得圆(x-3)2+(y+1)2=4的圆心为(3，-1)，半径r=2，
O(0，0)，A(0，2)，OA所在的直线是y轴，
当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，
则M到直线AO的距离的最小值d=3-2=1，
则△OAM的面积最小值S=×|OA|×d=1.
解析
(2)已知点P(x，y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k= .
2
圆C：x2+y2-2y=0的圆心为C(0，1)，半径r=1，
由圆的性质可知，四边形PACB的面积S=2S△PBC，
又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值
S=1=r|PB|min=|PB|min，
则|PB|min=2，
因为|PB|==，
所以当|PC|取最小值时，|PB|最小.
解析
又点P(x，y)是直线kx+y+4=0上的动点，
当CP垂直于直线kx+y+4=0时，|PC|最小，
即为圆心C(0，1)到直线的距离，
所以==，解得k=±2，
因为k>0，所以k=2.
解析
求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合求解.
反
思
感
悟
直线y=kx+3与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为
A.1 B. C. D.
跟踪训练 2
设圆心到直线的距离为d(0所以S△ABO=·2·d=，
由基本不等式，可得S△ABO=≤=，当且仅当d=
时，等号成立.
解析
√
利用数学式的几何意义求解最值问题
三
已知点P(x，y)在圆C：x2+y2-6x-6y+14=0上.
(1)求的最大值和最小值；
例 3
方程x2+y2-6x-6y+14=0可化为(x-3)2+(y-3)2=4.
表示圆上的点P与坐标原点连线所在直线的斜率，
如图(1)所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，
斜率最大或最小.
设切线方程为y=kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx-y=0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得=2，解得k=的最大值为.
解
(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；
x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2，它表示圆上的点P到点E(-1，0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值|P1E|=|CE|+2，点P与点E距离的最小值|P2E|=|CE|-2.
又|CE|==5，
所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51，
最小值为(5-2)2+2=11.
解
(3)求x+y的最大值与最小值.
设x+y=b，则b表示动直线y=-x+b在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y=-x+b与圆(x-3)2+(y-3)2=4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3，3)到切线x+y=b的距离等于圆的半径2，则=2，
即|b-6|=2，解得b=6±2，
所以x+y的最大值为6+2，
最小值为6-2.
解
(1)形如u=形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题.
(2)形如l=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线y=-x+的截距的最值问题.
反
思
感
悟
(多选)已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0，则下列说法正确的是
A.y-x的最大值为-2
B.x2+y2的最大值为7+4
C.的最大值为
D.x+y的最大值为2+
跟踪训练 3
√
√
对于A，设z=y-x，则y=x+z，z表示直线y=x+z的纵截距，当直线与圆(x-2)2 +y2=3有公共点时，≤，解得--2≤z≤-2，所以y-x的最大值为-2，故A说法正确；
对于B，x2+y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2+，所以x2+y2的最大值为(2+)2=7+4，故B说法正确；
解析
对于C，设=k，把y=kx代入圆的方程得(1+k2)x2-4x+1=0，则Δ=16-4(1+k2)≥0，解得-≤k≤，故C说法错误；
对于D，设m=x+y，则y=-x+m，m表示直线y=-x+m的纵截距，当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时，≤，解得-+2≤m≤+2，所以x+y的最大值为+2，故D说法错误.
解析
1.知识清单：
(1)与距离、面积有关的最值问题.
(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题.
2.方法归纳：数形结合、转化思想.
3.常见误区：忽略隐含条件导致范围变大.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的取值范围是
A.[3，7] B.[1，9] C.[0，5] D.[0，3]
√
x2+y2=4，圆心(0，0)，半径r=2，圆心到直线4x-3y+25=0的距离d= =5，所以圆上的点到直线的距离的最小值为5-2=3，最大值为5+2=7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3，7].
解析
1
2
3
4
2.已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x-4)2+(y-3)2=4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为
A. B.2 C.2 D.4
√
1
2
3
4
根据题意，圆C：(x-4)2+(y-3)2=4，
其圆心C(4，3)，半径r=2，
过点P作圆C：(x-4)2+(y-3)2=4的切线，
切点为Q，则|PQ|=，
当|PC|最小时，|PQ|最小，
又由点P在单位圆上，
则|PC|的最小值为|OC|-1=-1=4，
则|PQ|的最小值为=2.
解析
1
2
3
4
3.点M(x，y)在圆x2+(y-2)2=1上运动，则的取值范围是
A.[，+∞) B.(-∞，-]
C.(-∞，-]∪[，+∞) D. [-]
√
将看作圆上动点(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，设=k，如图，可得k≥或k≤-.
解析
1
2
3
4
4.已知圆C1：x2+y2+4x-4y=0，动点P在圆C2：x2+y2-4x-12=0上，则△PC1C2面积的最大值为 .
因为C1(-2，2)，r1=2，C2(2，0)，r2=4，
所以|C1C2|==2，
当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4=4.
解析
4
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A D A ACD (x-1)2+y2＝2
题号 9 10 11 12
答案 AD 3 C x+y-2＝0
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)由圆C的方程x2+y2-4x-14y+45＝0化为标准方程得
(x-2)2+(y-7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2，
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4+2＝6，|MQ|min＝4-2＝2.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)由题意可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y-3＝k(x+2)，
即kx-y+2k+3＝0，
则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，
得≤2，
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
可得2-≤k≤2+，
∴的最大值为2+，
最小值为2-.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)∵圆与x，y轴正半轴都相切，
∴圆的方程可设为(x-a)2+(y-a)2＝a2(a>0)，
∵圆心C到直线l的距离为3，
由点到直线的距离公式，
得d＝＝3，
解得a＝2，
∴圆的方程为(x-2)2+(y-2)2＝4.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点(图略)，
∴△PCE≌△PCF，
∴S四边形PECF＝2S△PCE，
PE是圆的切线，且E为切点，
∴PE⊥CE，|CE|＝2，
|PE|2＝|PC|2-|CE|2＝|PC|2-4，
∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
|PC|min即为C到l的距离，
即|PC|min＝3，
∴|PE＝32-4＝5，
即|PE|min＝，
∴(S△PCE)min＝|EC|·|PE|min＝×2×，
∴四边形PECF的面积的最小值为2.
基础巩固
1.已知过点(1，1)的直线l与圆x2+y2-4x=0交于A，B两点，则|AB|的最小值为
A. B.2 C.2 D.4
√
将圆的方程x2+y2-4x=0化为标准方程为(x-2)2+y2=4，
则圆心为(2，0)，半径r=2，
则圆心(2，0)到定点(1，1)的距离为，
|AB|的最小值为2=2.
解析
答案
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12
2.已知直线l：x-y+4=0与圆C：(x-1)2+(y-1)2=2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为
A. B.
C.1 D.3
√
答案
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由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1，1)到直线l的距离减去圆的半径，即-=.
解析
3.已知点P是直线l：2x-y+2=0上的动点，过点P作圆M：(x-4)2+y2=4的切线，切点为C，D，则四边形PCMD的面积的最小值是
A.2 B.4
C.4 D.8
√
答案
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由题意要使得四边形PCMD的面积最小，则需要切线长最小，只需圆心到直线上的点的距离最小，而最小值为圆心到直线的距离，又圆M的圆
心为M(4，0)，半径r=2，圆心M到直线l的距离为d==2，
所以最小的切线长为|PC|==4，故S最小值=2××|PC|×r=
4×2=8.
解析
4.已知实数x，y满足方程x2+y2-4x-1=0，则y-2x的最小值和最大值分别为
A.-9，1 B.-10，1
C.-9，2 D.-10，2
√
答案
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y-2x可看作是直线y=2x+b在y轴上的截距，如图所示，
当直线y=2x+b与圆x2+y2-4x-1=0相切时，b取得最大值或最小值，此时=，解得b=-9或b=1，
所以y-2x的最大值为1，最小值为-9.
解析
5.(多选)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4，0)，B(0，2)，则
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，|PB|=3
D.当∠PBA最大时，|PB|=3
√
答案
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√
√
答案
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设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5，5)，由题易得直线AB的方程为+
=1，即x+2y-4=0，则圆心M到直线AB的距离d==>4，所以直线AB与圆M外离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4+d=4+<5+
=10，故A正确；
易知点P到直线AB的距离的最小值为d-4=-4<-4=1，故B不正确；
解析
答案
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12
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|===3，
当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|=3，故C，
D都正确.
解析
6.在平面直角坐标系Oxy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .
答案
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(x-1)2+y2=2
∵直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2，-1)，
∴圆心(1，0)到直线mx-y-2m-1=0的最大距离为d==，
∴半径最大为，
∴半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
解析
7.已知M为圆C：x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点，且点Q(-2，3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
答案
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由圆C的方程x2+y2-4x-14y+45=0化为标准方程得(x-2)2+(y-7)2=8，
∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r=2，
又|QC|==4，
∴|MQ|max=4+2=6，
|MQ|min=4-2=2.
解
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值.
答案
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由题意可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2)，
即kx-y+2k+3=0，
则=k.
由直线MQ与圆C有交点，
得≤2，
可得2-≤k≤2+，
解
答案
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12
∴的最大值为2+，
最小值为2-.
解
8.已知直线l：3x+4y+1=0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3.
(1)求圆的方程；
答案
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∵圆与x，y轴正半轴都相切，
∴圆的方程可设为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0)，
∵圆心C到直线l的距离为3，
由点到直线的距离公式，
得d==3，
解得a=2，
∴圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.
解
(2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值.
答案
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12
PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点(图略)，
∴△PCE≌△PCF，
∴S四边形PECF=2S△PCE，
PE是圆的切线，
且E为切点，
∴PE⊥CE，|CE|=2，
|PE|2=|PC|2-|CE|2=|PC|2-4，
∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，
解
答案
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12
即四边形PECF的面积最小.
|PC|min即为C到l的距离，
即|PC|min=3，
∴|PE=32-4=5，
即|PE|min=，
∴(S△PCE)min=|EC|·|PE|min=×2×=，
∴四边形PECF的面积的最小值为2.
解
9.(多选)过点M(-3，1)的直线l与圆C：(x+2)2+y2=4相交于P，Q两点，当|PQ|取得最值时，直线l的方程是
A.x+y+2=0 B.x+y-4=0
C.x-y-2=0 D.x-y+4=0
答案
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12
√
√
综合运用
答案
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12
圆(x+2)2+y2=4是以C(-2，0)为圆心，r=2为半径的圆，kMC==-1，
过点M(-3，1)的直线l与圆相交于P，Q两点，而M(-3，1)在圆内，
当|PQ|取得最小值时，PQ⊥MC，即kPQ·kMC=-1，
∴kPQ=1，直线l的方程是y-1=x+3，即x-y+4=0；
当|PQ|取得最大值时，直线l经过圆心C，kPQ=kMC=-1，
∴直线l的方程是y-1=-(x+3)，即x+y+2=0.
解析
10.已知圆C：(x-4)2+(y-3)2=4和两点A(-m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则m的最小值为 .
答案
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根据题意，点A(-m，0)，B(m，0)(m>0)，
则AB的中点为(0，0)，|AB|=2m，
则以AB的中点为圆心，半径r=×|AB|的圆为x2+y2=m2，设该圆为圆O，
若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，
则圆C与圆O有交点，必有|m-2|≤|OC|≤m+2，
即又由m>0，
解得3≤m≤7，即m的最小值为3.
解析
11.已知实数x，y满足方程y=，则的最大值为
A.0 B.1
C. D.2
√
能力提升
答案
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答案
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12
方程y=化为(x-2)2+y2=3(y≥0)，表示的图形是一个半圆，
令=k，即y=kx，
如图所示，
当直线与半圆相切时，k=(负值舍去)，
所以.
解析
12.已知圆O：x2+y2=4，直线l过点(1，1)且与圆O交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的方程为 .
答案
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x+y-2=0
答案
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当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，则A，B的坐标为(1，)，(1，-)，
∴S△OAB=×2×1=；
当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y-1=k(x-1)，k≠1，
则圆心到直线l的距离为d==，
由平面几何知识得|AB|=2，
∴S△OAB=|AB|×d=×2×d=≤=2，
解析
答案
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12
当且仅当4-d2=d2，
即d2=2时，S△OAB取得最大值2，
∵<2，
∴S△OAB的最大值为2，
此时，由=，解得k=-1.
则直线l的方程为x+y-2=0.
解析
第二章 直线和圆的方程
<<<作业28 与圆有关的最值问题
分值：80分
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共12分
1.已知过点(1，1)的直线l与圆x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为
A. B.2 C.2 D.4
2.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为
A. B. C.1 D.3
3.已知点P是直线l：2x－y＋2＝0上的动点，过点P作圆M：(x－4)2＋y2＝4的切线，切点为C，D，则四边形PCMD的面积的最小值是
A.2 B.4 C.4 D.8
4.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为
A.－9，1 B.－10，1
C.－9，2 D.－10，2
5.(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，|PB|＝3
D.当∠PBA最大时，|PB|＝3
6.在平面直角坐标系Oxy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .
7.(13分)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；(5分)
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值.(8分)
8.(15分)已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3.
(1)求圆的方程；(6分)
(2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值.(9分)
9.(多选)过点M(－3，1)的直线l与圆C：(x＋2)2＋y2＝4相交于P，Q两点，当|PQ|取得最值时，直线l的方程是
A.x＋y＋2＝0
B.x＋y－4＝0
C.x－y－2＝0
D.x－y＋4＝0
10.已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则m的最小值为 .
11.已知实数x，y满足方程y＝，则的最大值为
A.0 B.1
C. D.2
12.已知圆O：x2＋y2＝4，直线l过点(1，1)且与圆O交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的方程为 .
答案精析
1.C [将圆的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4，
则圆心为(2，0)，半径r＝2，
则圆心(2，0)到定点(1，1)的距离为，
|AB|的最小值为2＝2.]
2.A [由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1，1)到直线l的距离减去圆的半径，即
.]
3.D [由题意要使得四边形PCMD的面积最小，则需要切线长最小，只需圆心到直线上的点的距离最小，而最小值为圆心到直线的距离，又圆M的圆心为M(4，0)，半径r＝2，圆心M到直线l的距离为d＝＝2，所以最小的切线长为|PC|＝＝4，故S最小值＝2××|PC|×r＝4×2＝8.]
4.A [y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示，
当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－9或b＝1，
所以y－2x的最大值为1，
最小值为－9.]
5.ACD [设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易得直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离
d＝>4，
所以直线AB与圆M外离，所以点P到直线AB的距离的最大值为
4＋d＝4＋<5＋＝10，故A正确；
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4<－4＝1，故B不正确；
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝
＝＝3，
当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确.]
6.(x－1)2＋y2＝2
解析 ∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，
∴圆心(1，0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为
d＝，
∴半径最大为，
∴半径最大的圆的标准方程为
(x－1)2＋y2＝2.
7.解 (1)由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得
(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2，7)，
半径r＝2，
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)由题意可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为
y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，
则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，
得≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，
最小值为2－.
8.解 (1)∵圆与x，y轴正半轴都相切，
∴圆的方程可设为
(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∵圆心C到直线l的距离为3，
由点到直线的距离公式，
得d＝＝3，
解得a＝2，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)PE，PF是圆的两条切线，
E，F分别为切点(图略)，
∴△PCE≌△PCF，
∴S四边形PECF＝2S△PCE，
PE是圆的切线，且E为切点，
∴PE⊥CE，|CE|＝2，
|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，
∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小.
|PC|min即为C到l的距离，
即|PC|min＝3，
∴|PE＝32－4＝5，
即|PE|min＝，
∴(S△PCE)min＝|EC|·|PE|min
＝×2×，
∴四边形PECF的面积的最小值为2.
9.AD [圆(x＋2)2＋y2＝4是以C(－2，0)为圆心，r＝2为半径的圆，
kMC＝＝－1，
过点M(－3，1)的直线l与圆相交于P，Q两点，而M(－3，1)在圆内，
当|PQ|取得最小值时，PQ⊥MC，
即kPQ·kMC＝－1，
∴kPQ＝1，直线l的方程是
y－1＝x＋3，即x－y＋4＝0；
当|PQ|取得最大值时，直线l经过圆心C，kPQ＝kMC＝－1，
∴直线l的方程是y－1＝－(x＋3)，即x＋y＋2＝0.]
10.3
解析 根据题意，点A(－m，0)，
B(m，0)(m>0)，
则AB的中点为(0，0)，|AB|＝2m，
则以AB的中点为圆心，半径r＝×|AB|的圆为x2＋y2＝m2，设该圆为圆O，
若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，
则圆C与圆O有交点，
必有|m－2|≤|OC|≤m＋2，
即又由m>0，
解得3≤m≤7，即m的最小值为3.
11.C [方程y＝化为(x－2)2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形是一个半圆，令＝k，即y＝kx，
如图所示，当直线与半圆相切时，k＝(负值舍去)，
所以的最大值为.]
12.x＋y－2＝0
解析 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝1，则A，B的坐标为
(1，)，(1，－)，
∴S△OAB＝×2×1＝；
当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－1＝k(x－1)，k≠1，
则圆心到直线l的距离为
d＝，
由平面几何知识得
|AB|＝2，
∴S△OAB＝|AB|×d＝×2×d
＝≤＝2，
当且仅当4－d2＝d2，
即d2＝2时，S△OAB取得最大值2，
∵<2，
∴S△OAB的最大值为2，
此时，由，解得k＝－1.
则直线l的方程为x＋y－2＝0.
