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再练一课(范围：§2.4~§2.5)
第二章 直线和圆的方程
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B B D B AD BC
题号 9 10 11 12 答案 ACD 4x+3y+1＝0 x-2y＝0 (-∞，0)∪(4，+∞)
对一对
答案
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(1)方法一 设P(x，y)，
因为PA⊥PB，所以·＝0，
得(x+1，y)·(x-1，y)＝x2-1+y2＝0，所以动点P的轨迹方程为
x2+y2＝1(y≠0).
方法二 由题意得|AB|＝2，
PA⊥PB，所以P点的轨迹是以AB的中点(0，0)为圆心，1为半径的圆去掉点A，B得到的，
所以动点P的轨迹方程为x2+y2＝1(y≠0).
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答案
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(2)因为直线l与点P的轨迹(并上点A和点B)有且只有一个交点(如图)，
①当斜率不存在时，此时直线l方程为x＝1，
与圆x2+y2＝1切于点B；
②当斜率存在时，设l的方程为y＝k(x-1)+2，
即kx-y+2-k＝0，
根据圆心到切线距离等于半径可得＝1，得k＝，
所以此时直线l的方程为3x-4y+5＝0.
综上，直线l的方程为x＝1或3x-4y+5＝0.
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答案
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(1)圆C：x2+y2-4x+3＝0，即(x-2)2+y2＝1，
其圆心为C(2，0)，半径为1.
因为点(2，1)在圆上，如图，
所以切线方程为y＝1.
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(2)由题意得，圆的直径为2，
所以直线l过圆心C(2，0)，
由直线的两点式方程，得，
即直线l的方程为x+y-2＝0.
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(3)由题意，设圆E的圆心E(a，1)(a>0)，半径为R，
由圆E与y轴相切，得R＝a，
又圆E与圆C外切，
所以|CE|＝a+1，
由两点间距离公式得|CE|＝，
所以a+1＝，
解得a＝，
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答案
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所以圆心E，R＝，
所以圆E的标准方程为+(y-1)2＝.
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(1)设圆心C(a，a)(a≥0)，
由于|OC|＝2，
所以|OC|＝a＝2，所以a＝2，
即圆心C的坐标为(2，2)，
则圆C的标准方程为(x-2)2+(y-2)2＝1.
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答案
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(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1，
圆心C到直线x＝1的距离d＝2-1＝1，此时满足直线l和圆C相切；
若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
y＝k(x-1)，即kx-y-k＝0，
因为直线l和圆C相切，
所以圆心C到直线l的距离d＝＝1，
解得k＝，
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此时直线l的方程为3x-4y-3＝0，
所以直线l的方程为x＝1或3x-4y-3＝0.
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(3)取圆C关于x轴的对称的圆C'：(x-2)2+(y+2)2＝1，
即圆心C'(2，-2)，
半径r'＝1，
可知光线m所在的直线与圆C'相切，
若直线的斜率不存在，
则直线的方程为x＝-3，
此时圆心C'(2，-2)到直线的距离d＝5≠r'，不符合题意；
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所以直线的斜率存在，设为k1，
则直线的方程为y-3＝k1(x+3)，
即k1x-y+3k1+3＝0，
则＝1，整理得12+25k1+12＝0，
解得k1＝-或k1＝-，
所以光线m所在直线的方程为3x+4y-3＝0或4x+3y+3＝0.
一、单项选择题
1.与x轴相切，且圆心为(0，-5)的圆的标准方程为
A.x2+(y-5)2=25 B.(x+5)2+y2=25
C.x2+(y+5)2=25 D.(x-5)2+y2=25
√
由题意知圆的半径r=5，圆心为(0，-5)，
故该圆的标准方程为x2+(y+5)2=25.
解析
答案
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2.圆(x+1)2+(y-2)2=9关于直线x-y=0对称的圆的标准方程是
A.(x+2)2+(y-1)2=9
B.(x-2)2+(y+1)2=3
C.(x+2)2+(y-1)2=3
D.(x-2)2+(y+1)2=9
√
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因为圆(x+1)2+(y-2)2=9的圆心为(-1，2)，半径为3，
且(-1，2)关于直线x-y=0的对称点为(2，-1)，
所以所求圆的圆心为(2，-1)，半径为3，
即所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9.
解析
答案
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3.“00)相切”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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由题意，点(1，0)在圆C：x2+y2=r2(r>0)外，则有0(0，1) (0，2)，所以“00)相切”的必要不充分条件.
解析
4.若实数x，y满足x2+y2-4x-14y+45=0，则下列关于的最值的判断正确的是
A.最大值为2+，最小值为-2-
B.最大值为2+，最小值为2-
C.最大值为-2+，最小值为-2-
D.最大值为2-，最小值为-2+
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x2+y2-4x-14y+45=0可化为(x-2)2+(y-7)2=8.
可看作圆上任意一点P(x，y)与定点Q(-2，3)连线的斜率.
记k=，则kx-y+2k+3=0，记为直线l.
当直线l与圆(x-2)2+(y-7)2=8相切时，k可以取得最值.
此时圆心到直线l的距离d==2，解得k=2±.
所以2-≤≤2+.
解析
5.过圆x2+y2=4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A，B，则△ABP的外接圆方程是
A.(x-2)2+(y-1)2=4
B.(x-2)2+(y+1)2=5
C.(x-4)2+(y-2)2=4
D.(x-2)2+(y-1)2=5
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圆x2+y2=4的圆心O(0，0)，半径r=2，
由圆的几何性质可知△OPA≌△OPB，
且均为直角三角形，
∴以OP为直径的圆就是△ABP的外接圆，
∵P(4，2)，
∴|OP|==2，
且线段OP的中点坐标为(2，1)，
∴△ABP的外接圆方程是(x-2)2+(y-1)2=5.
解析
6.已知M，N是圆C：x2+y2-2y-3=0上的两个点，且|MN|=2，P为MN的中点，Q为直线l：x-y-3=0上的一点，则|PQ|的最小值为
A.2 B.
C.2- D.-1
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圆C的标准方程为x2+(y-1)2=4，圆心C(0，1)，半径为2，
由|MN|=2，可得|CP|==，
所以点P在以C(0，1)为圆心，为半径的圆上，
又点C到直线l：x-y-3=0的距离d==2，
所以|PQ|的最小值为2-=.
解析
二、多项选择题
7.若点P在圆C1：x2+y2=1上，点Q在圆C2：(x-3)2+(y+4)2=16上，则
A.两个圆的圆心所在直线的斜率为-
B.两个圆的相交弦所在直线的方程为3x-4y-5=0
C.两圆的公切线有两条
D.|PQ|的最小值为0
答案
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圆C1：x2+y2=1的圆心为C1(0，0)，半径r1=1，圆C2：(x-3)2+(y+4)2=16的圆心为C2(3，-4)，半径r2=4.
两个圆的圆心所在直线的斜率为=-，所以A选项正确；
因为|C1C2|==5，r1+r2=5，所以两圆外切，故没有相交弦，两圆的公切线有三条，当点P、点Q运动到切点时，|PQ|取最小值0，所以BC选项不正确，D选项正确.
解析
8.已知圆C：x2+y2-6x+4y-3=0，则下列说法正确的是
A.圆C的半径为16
B.x轴被圆C所截得的弦长为4
C.圆C与圆E：(x-6)2+(y-2)2=1外切
D.若圆C上有且仅有两点到直线3x+4y+m=0的距离为1，则实数m的取值
范围是(-26，-21)∪(19，24)
答案
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由圆C：x2+y2-6x+4y-3=0，可得圆C的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=16，
所以圆C的半径为4，故A错误；
方法一 令y=0，得x2-6x-3=0，设圆C与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，
则x1，x2是方程x2-6x-3=0的两个根，所以x1+x2=6，x1x2=-3，
所以|x1-x2|==4，
方法二 易知圆心C到x轴的距离为2，则半弦长==2，则弦长为4，故B正确；
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两圆圆心距|CE|==5=4+1，故C正确；
由圆C上有且仅有两点到直线3x+4y+m=0的距离为1，
则3<<5，解得-26即实数m的取值范围是(-26，-16)∪(14，24)，故D错误.
解析
9.已知圆的圆心在直线x=-2上，且与直线l1：x+y-2=0相切于点Q(-1，)，过点D(-1，0)作该圆两条互相垂直的弦AE，BF，线段AE，BF的中点分别为M，N，则下列结论正确的是
A.圆的方程为(x+2)2+y2=4
B.弦AE的长度的最大值为2
C.直线MN恒过定点
D.存在点G，使得|NG|为定值
答案
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√
√
√
对于A，设圆心为C(-2，b)，圆的半径为r，
由题设可知=，解得b=0，
所以r==2，
故圆的方程为(x+2)2+y2=4，故A正确；
对于B，当AE过圆心C时，AE长度最长，为圆的直径4，故B错误；
解析
答案
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对于C，当AE与BF均不是直径时，如图，线段AE，BF的中点分别为M，N，
所以CM⊥AE，CN⊥BF，
又AE⊥BF，所以四边形MDNC为矩形，
所以MN与CD互相平分，
即MN过CD的中点，当AE与BF一条为直
径时，直线MN即为直线CD，也过点，故C正确；
对于D，存在G，使|NG|=|CD|=，为定值，故D正确.
解析
三、填空题
10.圆C1：(x-1)2+y2=1与圆C2：(x-5)2+(y-3)2=36的公切线的方程为
.
答案
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4x+3y+1=0
圆C1的圆心坐标为(1，0)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(5，3)，半径为6，因为|C1C2|==5=6-1，所以两圆内切，只有一条公切线，将圆C1，C2化为一般式得圆C1：x2+y2-2x=0，圆C2：x2+y2-10x-6y-2=0，两式相减得8x+6y+2=0，即4x+3y+1=0，
所以圆C1，C2的公切线的方程为4x+3y+1=0.
解析
11.已知圆C：x2+y2+ax-2ay-5=0恒过定点A，B，则直线AB的方程为
.
答案
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x-2y=0
方程x2+y2+ax-2ay-5=0可化为a(x-2y)+x2+y2-5=0，
所以点A，B为直线x-2y=0与圆x2+y2=5的交点，所以直线AB的方程为x-2y=0.
解析
12.已知圆C：x2+y2=8，MN为圆C的动弦，且满足|MN|=4，G为弦MN的中点，两动点P，Q在直线l：y=x-4上，且|PQ|=4，当MN运动时，∠PGQ始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标的取值范围是 .
答案
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(-∞，0)∪(4，+∞)
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由题意，可得圆心坐标为C(0，0)，半径r=2，因为|MN|=4，G为弦MN的中点，所以|CG|=2，又由两动点P，Q在直线l：y=x-4上，且|PQ|=4，设PQ的中点E(a，a-4)，因为当M，N在圆C上运动时，∠PGQ恒为锐角，所以以C为圆心，以2为半径的圆与以E为圆心，2为半径的圆外离，则>2+2，即a2-4a>0，解得a<0或a>4，所以线段PQ中点的横坐标的取值范围是(-∞，0)∪(4，+∞).
解析
四、解答题
13.在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)，B(1，0)，动点P满足PA⊥PB.
(1)求动点P的轨迹方程；
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方法一 设P(x，y)，因为PA⊥PB，
所以·=0，得(x+1，y)·(x-1，y)=x2-1+y2=0，
所以动点P的轨迹方程为x2+y2=1(y≠0).
方法二 由题意得|AB|=2，PA⊥PB，所以P点的轨迹是以AB的中点(0，0)为圆心，1为半径的圆去掉点A，B得到的，
所以动点P的轨迹方程为x2+y2=1(y≠0).
解
(2)若过点Q(1，2)的直线l与点P的轨迹(并上点A和点B)有且只有一个交点，求直线l的方程.
答案
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因为直线l与点P的轨迹(并上点A和点B)有且只有一个交点(如图)，
①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，与圆x2+y2=1切于点B；
②当斜率存在时，设l的方程为y=k(x-1)+2，即kx-y+2-k=0，
根据圆心到切线距离等于半径可得=1，得k=，
所以此时直线l的方程为3x-4y+5=0.
综上，直线l的方程为x=1或3x-4y+5=0.
解
14.已知圆C：x2+y2-4x+3=0.
(1)求过点M(2，1)的圆的切线方程；
答案
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圆C：x2+y2-4x+3=0，即(x-2)2+y2=1，其圆心为C(2，0)，半径为1.
因为点(2，1)在圆上，如图，
所以切线方程为y=1.
解
(2)直线l过点N且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；
答案
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由题意得，圆的直径为2，
所以直线l过圆心C(2，0)，
由直线的两点式方程，得=，
即直线l的方程为x+y-2=0.
解
(3)已知圆E的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆C外切，求圆E的标准方程.
答案
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由题意，设圆E的圆心E(a，1)(a>0)，半径为R，
由圆E与y轴相切，得R=a，
又圆E与圆C外切，所以|CE|=a+1，
由两点间距离公式得|CE|=，
所以a+1=，解得a=，
所以圆心E，R=，
所以圆E的标准方程为+(y-1)2=.
解
15.在平面直角坐标系中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x(x≥0)上，且|OC|=2.
(1)求圆C的标准方程；
答案
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设圆心C(a，a)(a≥0)，
由于|OC|=2，
所以|OC|==a=2，所以a=2，
即圆心C的坐标为(2，2)，
则圆C的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=1.
解
(2)若直线l过点P(1，0)，且与圆C相切，求直线l的方程；
答案
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15
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=1，
圆心C到直线x=1的距离d=2-1=1，此时满足直线l和圆C相切；
若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x-1)，即kx-y-k=0，
因为直线l和圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d===1，
解得k=，此时直线l的方程为3x-4y-3=0，
所以直线l的方程为x=1或3x-4y-3=0.
解
(3)自点A(-3，3)发出的光线m射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C相切，求光线m所在直线的方程.
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取圆C关于x轴的对称的圆C'：(x-2)2+(y+2)2=1，
即圆心C'(2，-2)，半径r'=1，
可知光线m所在的直线与圆C'相切，
若直线的斜率不存在，
则直线的方程为x=-3，
此时圆心C'(2，-2)到直线的距离d=5≠r'，不符合题意；
所以直线的斜率存在，设为k1，
则直线的方程为y-3=k1(x+3)，即k1x-y+3k1+3=0，
解
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则=1，整理得12+25k1+12=0，
解得k1=-或k1=-，
所以光线m所在直线的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.
解
第二章 直线和圆的方程
<<<作业29 再练一课(范围：§2.4~§2.5)
分值：100分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.与x轴相切，且圆心为(0，－5)的圆的标准方程为
A.x2＋(y－5)2＝25 B.(x＋5)2＋y2＝25
C.x2＋(y＋5)2＝25 D.(x－5)2＋y2＝25
2.圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9关于直线x－y＝0对称的圆的标准方程是
A.(x＋2)2＋(y－1)2＝9
B.(x－2)2＋(y＋1)2＝3
C.(x＋2)2＋(y－1)2＝3
D.(x－2)2＋(y＋1)2＝9
3.“00)相切”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若实数x，y满足x2＋y2－4x－14y＋45＝0，则下列关于的最值的判断正确的是
A.最大值为2＋，最小值为－2－
B.最大值为2＋，最小值为2－
C.最大值为－2＋，最小值为－2－
D.最大值为2－，最小值为－2＋
5.过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A，B，则△ABP的外接圆方程是
A.(x－2)2＋(y－1)2＝4
B.(x－2)2＋(y＋1)2＝5
C.(x－4)2＋(y－2)2＝4
D.(x－2)2＋(y－1)2＝5
6.已知M，N是圆C：x2＋y2－2y－3＝0上的两个点，且|MN|＝2，P为MN的中点，Q为直线l：x－y－3＝0上的一点，则|PQ|的最小值为
A.2 B. C.2－ D.－1
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
7.若点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16上，则
A.两个圆的圆心所在直线的斜率为－
B.两个圆的相交弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0
C.两圆的公切线有两条
D.|PQ|的最小值为0
8.已知圆C：x2＋y2－6x＋4y－3＝0，则下列说法正确的是
A.圆C的半径为16
B.x轴被圆C所截得的弦长为4
C.圆C与圆E：(x－6)2＋(y－2)2＝1外切
D.若圆C上有且仅有两点到直线3x＋4y＋m＝0的距离为1，则实数m的取值范围是(－26，－21)∪(19，24)
9.已知圆的圆心在直线x＝－2上，且与直线l1：x＋y－2＝0相切于点Q(－1，)，过点D(－1，0)作该圆两条互相垂直的弦AE，BF，线段AE，BF的中点分别为M，N，则下列结论正确的是
A.圆的方程为(x＋2)2＋y2＝4
B.弦AE的长度的最大值为2
C.直线MN恒过定点
D.存在点G，使得|NG|为定值
三、填空题(每小题5分，共15分)
10.圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：(x－5)2＋(y－3)2＝36的公切线的方程为 .
11.已知圆C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0恒过定点A，B，则直线AB的方程为 .
12.已知圆C：x2＋y2＝8，MN为圆C的动弦，且满足|MN|＝4，G为弦MN的中点，两动点P，Q在直线l：y＝x－4上，且|PQ|＝4，当MN运动时，∠PGQ始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标的取值范围是 .
四、解答题(共37分)
13.(12分)在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(1，0)，动点P满足PA⊥PB.
(1)求动点P的轨迹方程；(4分)
(2)若过点Q(1，2)的直线l与点P的轨迹(并上点A和点B)有且只有一个交点，求直线l的方程.(8分)
14.(12分)已知圆C：x2＋y2－4x＋3＝0.
(1)求过点M(2，1)的圆的切线方程；(3分)
(2)直线l过点N且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；(4分)
(3)已知圆E的圆心在直线y＝1上，与y轴相切，且与圆C外切，求圆E的标准方程.(5分)
15.(13分)在平面直角坐标系中，圆C的半径为1，其圆心在射线y＝x(x≥0)上，且|OC|＝2.
(1)求圆C的标准方程；(3分)
(2)若直线l过点P(1，0)，且与圆C相切，求直线l的方程；(5分)
(3)自点A(－3，3)发出的光线m射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C相切，求光线m所在直线的方程.(5分)
答案精析
1.C [由题意知圆的半径r＝5，圆心为(0，－5)，故该圆的标准方程为
x2＋(y＋5)2＝25.]
2.D [因为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9的圆心为(－1，2)，半径为3，
且(－1，2)关于直线x－y＝0的对称点为(2，－1)，
所以所求圆的圆心为(2，－1)，半径为3，
即所求圆的标准方程为
(x－2)2＋(y＋1)2＝9.]
3.B [由题意，点(1，0)在圆C：x2＋y2＝r2(r>0)外，则有0(0，1) (0，2)，所以“00)相切”的必要不充分条件.]
4.B [x2＋y2－4x－14y＋45＝0可化为(x－2)2＋(y－7)2＝8.
可看作圆上任意一点P(x，y)与定点Q(－2，3)连线的斜率.
记k＝，
则kx－y＋2k＋3＝0，记为直线l.
当直线l与圆(x－2)2＋(y－7)2＝8相切时，k可以取得最值.
此时圆心到直线l的距离
d＝＝2，
解得k＝2±.
所以2－≤≤2＋.]
5.D [圆x2＋y2＝4的圆心O(0，0)，半径r＝2，
由圆的几何性质可知△OPA≌△OPB，且均为直角三角形，
∴以OP为直径的圆就是△ABP的外接圆，
∵P(4，2)，
∴|OP|＝＝2，
且线段OP的中点坐标为(2，1)，
∴△ABP的外接圆方程是
(x－2)2＋(y－1)2＝5.]
6.B [圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝4，圆心C(0，1)，半径为2，
由|MN|＝2，
可得|CP|＝
，
所以点P在以C(0，1)为圆心，为半径的圆上，
又点C到直线l：x－y－3＝0的距离d＝＝2，
所以|PQ|的最小值为
2.]
7.AD [圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝4.
两个圆的圆心所在直线的斜率为＝－，所以A选项正确；因为|C1C2|＝＝5，r1＋r2＝5，所以两圆外切，故没有相交弦，两圆的公切线有三条，当点P、点Q运动到切点时，|PQ|取最小值0，所以BC选项不正确，D选项正确.]
8.BC [由圆C：x2＋y2－6x＋4y－3＝0，
可得圆C的标准方程为
(x－3)2＋(y＋2)2＝16，
所以圆C的半径为4，故A错误；
方法一 令y＝0，得x2－6x－3＝0，设圆C与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，
则x1，x2是方程x2－6x－3＝0的两个根，所以x1＋x2＝6，x1x2＝－3，
所以|x1－x2|＝
＝4，
方法二 易知圆心C到x轴的距离为2，则半弦长＝＝2，则弦长为4，故B正确；
两圆圆心距|CE|＝
＝5＝4＋1，故C正确；
由圆C上有且仅有两点到直线
3x＋4y＋m＝0的距离为1，
则3<<5，
解得－26即实数m的取值范围是(－26，－16)∪(14，24)，故D错误.]
9.ACD [对于A，设圆心为C(－2，b)，圆的半径为r，由题设可知
，解得b＝0，
所以r＝＝2，
故圆的方程为(x＋2)2＋y2＝4，故A正确；
对于B，当AE过圆心C时，AE长度最长，为圆的直径4，故B错误；
对于C，当AE与BF均不是直径时，如图，
线段AE，BF的中点分别为M，N，
所以CM⊥AE，
CN⊥BF，
又AE⊥BF，所以四边形MDNC为矩形，
所以MN与CD互相平分，
即MN过CD的中点，当AE与BF一条为直径时，直线MN即为直线CD，也过点，故C正确；
对于D，存在G，
使|NG|＝|CD|＝，为定值，故D正确.]
10.4x＋3y＋1＝0
解析 圆C1的圆心坐标为(1，0)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(5，3)，半径为6，
因为|C1C2|＝＝5＝6－1，
所以两圆内切，只有一条公切线，
将圆C1，C2化为一般式得圆C1：
x2＋y2－2x＝0，
圆C2：x2＋y2－10x－6y－2＝0，
两式相减得8x＋6y＋2＝0，
即4x＋3y＋1＝0，
所以圆C1，C2的公切线的方程为
4x＋3y＋1＝0.
11.x－2y＝0
解析 方程x2＋y2＋ax－2ay－5＝0可化为a(x－2y)＋x2＋y2－5＝0，
所以点A，B为直线x－2y＝0与圆x2＋y2＝5的交点，所以直线AB的方程为x－2y＝0.
12.(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析 由题意，可得圆心坐标为C(0，0)，半径r＝2，因为|MN|＝4，G为弦MN的中点，所以|CG|＝2，又由两动点P，Q在直线l：y＝x－4上，且|PQ|＝4，设PQ的中点E(a，a－4)，因为当M，N在圆C上运动时，∠PGQ恒为锐角，所以以C为圆心，以2为半径的圆与以E为圆心，2为半径的圆外离，则>2＋2，
即a2－4a>0，解得a<0或a>4，
所以线段PQ中点的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞).
13.解 (1)方法一 设P(x，y)，
因为PA⊥PB，
所以·＝0，
得(x＋1，y)·(x－1，y)＝x2－1＋y2＝0，所以动点P的轨迹方程为
x2＋y2＝1(y≠0).
方法二 由题意得|AB|＝2，
PA⊥PB，所以P点的轨迹是以AB的中点(0，0)为圆心，1为半径的圆去掉点A，B得到的，
所以动点P的轨迹方程为
x2＋y2＝1(y≠0).
(2)因为直线l与点P的轨迹(并上点A和点B)有且只有一个交点(如图)，
①当斜率不存在时，此时直线l方程为x＝1，
与圆x2＋y2＝1切于点B；
②当斜率存在时，设l的方程为
y＝k(x－1)＋2，
即kx－y＋2－k＝0，
根据圆心到切线距离等于半径可得＝1，得k＝，
所以此时直线l的方程为
3x－4y＋5＝0.
综上，直线l的方程为
x＝1或3x－4y＋5＝0.
14. 解 (1)圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，其圆心为C(2，0)，半径为1.
因为点(2，1)在圆上，如图，
所以切线方程为y＝1.
(2)由题意得，圆的直径为2，
所以直线l过圆心C(2，0)，
由直线的两点式方程，得
，
即直线l的方程为x＋y－2＝0.
(3)由题意，设圆E的圆心
E(a，1)(a>0)，半径为R，
由圆E与y轴相切，得R＝a，
又圆E与圆C外切，
所以|CE|＝a＋1，
由两点间距离公式得
|CE|＝，
所以a＋1＝，
解得a＝，
所以圆心E，R＝，
所以圆E的标准方程为
＋(y－1)2＝.
15.解 (1)设圆心C(a，a)(a≥0)，
由于|OC|＝2，
所以|OC|＝a＝2，所以a＝2，
即圆心C的坐标为(2，2)，
则圆C的标准方程为
(x－2)2＋(y－2)2＝1.
(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1，
圆心C到直线x＝1的距离d＝2－1＝1，此时满足直线l和圆C相切；
若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
因为直线l和圆C相切，
所以圆心C到直线l的距离
d＝＝1，
解得k＝，
此时直线l的方程为3x－4y－3＝0，
所以直线l的方程为
x＝1或3x－4y－3＝0.
(3)取圆C关于x轴的对称的圆C'：(x－2)2＋
(y＋2)2＝1，
即圆心
C'(2，－2)，
半径r'＝1，
可知光线m所在的直线与圆C'相切，
若直线的斜率不存在，
则直线的方程为x＝－3，
此时圆心C'(2，－2)到直线的距离d＝5≠r'，不符合题意；
所以直线的斜率存在，设为k1，
则直线的方程为y－3＝k1(x＋3)，
即k1x－y＋3k1＋3＝0，
则＝1，
整理得12＋25k1＋12＝0，
解得k1＝－或k1＝－，
所以光线m所在直线的方程为
3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
