第一章 集合与常用逻辑用语 常用逻辑用语--综合练 20252026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）

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集合与常用逻辑用语 常用逻辑用语--综合练 20252026学年
上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）
命题，都有，则（ ）
A．是假命题， B．是真命题，
C．是假命题， D．是真命题，
2． 设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3． 给出下列各组条件：
①：，：；②：，：；
③：，：方程有实根；④：或，：.
其中是的充要条件的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
若，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5． 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6． 已知，，，.则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7． 当时，定义运算：当时，；当时，；当时，，则“，或，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8． 命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（ ）
A． B．
C． D．
9． 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．设，集合．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11． 在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”
D．若，则
12． 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （ ）
A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题
C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题
13． （多选题）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（ ）
A． B．所有的正方形都是矩形
C． D．至少有一个实数，使
14． （多选题）下列命题是真命题的有（ ）
A．“，”是真命题
B．“，”的否定是真命题
C．“至少有一个x使成立”是全称量词命题
D．命题“，”的否定是“，或”
15． 已知命题，；命题，.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围.
16． 证明：，，，是等式恒成立的充要条件．
17． 已知集合，或，为实数集．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围．
18． 已知集合，
(1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由
(2)是否存在实数m，使得是成立的充分不必要条件，若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由，
(3)是否存在实数m，使得是成立的必要不充分条件，若存在求出实数m的值，若不存在，请说明理由，
答案
B
【分析】根据函数的单调性可判断命题的真假，再根据全称量词命题的否定是特称量词命题可写出命题的否定.
【详解】当时，函数单调递减，故是真命题．
根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得：
，使得．
故选：．
C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】根据，由不等式的性质， “”能推出“”，
反过来，“”能推出“”，
所以“”是“”的充要条件，
故选：C.
A
【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐个判定，即可求解.
【详解】①由，即中至少有一个为0，
又由，可得且，即同时为0，
即，所以是的必要不充分条件；
②由，可得，即，
所以，可得，即，
所以是的充要条件.
③方程有实数根的充要条件是，解得，
所以，所以是有实数根的充分不必要条件.
④：或，：.
所以，所以或是的必要不充分条件.
故选：A.
C
【分析】根据题意，求得满足条件的集合A，再根据必要不充分条件定义即可得解.
【详解】由可得，
因为集合是集合的真子集，
所以是的必要不充分条件.
故选：C.
A
【分析】根据条件，将问题转化成在上恒成立，从而得到，再利用充分条件与必要条件的判定方法即可求出结果.
【详解】由“，”为真命题，得对于恒成立，
令，易知，时，，所以，，
故“”是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件，
故选：A．
B
【分析】求出，根据两集合包含关系以及必要不充分条件的判断即可得到答案.
【详解】因为，
，
则是的真子集，
则p是q成立的必要不充分条件.
故选：B.
C
【分析】通过定义的运算符号，以两个命题分别为条件去验证结论是否成立，分别得到是否满足充分性和必要性.
【详解】充分性：当，或，时，，则，充分性成立；
必要性：当时，显然当时，，当时，，均不符合题意，
当时，，则，当时，，则，必要性成立；
所以“，或，”是“”的充分必要条件．
故选：C.
B
【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解.
【详解】关于x的方程的根为正实数，
则需满足或，解得，
因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为，
则 ，
结合选项可知满足，
故选：B
A
【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】因为命题“，”为假命题，
所以，命题“，”为真命题；
因为集合，集合，
所以，当时，即时，成立，
当时，
由“，”得，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A
C
【分析】利用集合相等的定义得到关于的方程组，推得充分性成立；再简单证得必要性也成立即可得解.
【详解】因为，
当时，则有，或，
若，显然解得；
若，则，整理得，
因为，，
所以无解；
综上，，即充分性成立；
当时，显然，即必要性成立；
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
D
【分析】由“类”的定义代入计算可判断A、B、D，分别验证C选项的充分性和必要性可判断C.
【详解】对于A，因为，所以，A错误．
对于B，每个整数除以4所得的余数只有0，1，2，3，没有其他余数，所以，又，
所以，B错误．
对于C，若，则，
所以；
若，则，不妨设，
则，所以，
所以a，b除以4所得的余数相同，即属于同一“类”．
故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”，C错误．
对于D，由，可设，
则，
因为，所以，D正确．
故选：D.
A
【分析】对于①，分类讨论、、、和五种情况分别求解即可判断；
对于②，分类讨论为整数和不为整数时原式是否成立，对于不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可.
【详解】对于①：
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，则，不符合题意；
当时，，则，不符合题意；
当时，；
则符合题意，不符合题意；
综上，是单元素集，故①正确.
对于②：
当为整数时，成立；
当不为整数时，设（为整数，），
当时，，，
此时，成立；
当时，，则，，
此时，成立；
当时，，，
此时，成立；
综上，对于任意，成立，故②正确.
故选：A
AC
【分析】若该命题是真命题，则其否定为假命题，若该命题为全称量词命题，则其否定为特称量词命题.
【详解】对A：该命题的否定为，是全称量词命题，
又，故为真命题，故A符合要求；
对B：该命题为全称量词命题，故其否定为特称量词命题，故B不符合要求；
对C：该命题的否定为，是全称量词命题，
又，故为真命题，故C符合要求；
对D：存在实数，使，故该命题为真命题，则其否定为假命题，
故D不符合要求.
故选：AC.
ABD
【分析】结合全称量词命题与存在量词命题的真假逐个分析解答．
【详解】对于A，当时，，是真命题，故A正确；
对于B，显然“”是假命题，所以其否定是真命题，故B正确；
对于C，“至少有一个”是存在量词，命题为存在量词命题，故C错误；
对于D，命题“”的否定为“或”，故D正确，
故选：ABD．
(1)
(2)
【分析】（1）由为真命题，构造不等式即可求解；
（2）分别由为真命题，为真命题和同时为假命题求的范围即可求解.
【详解】（1）由题意得，，为真命题，
则，即，故为真命题时，的取值范围为.
（2）当为真命题时，，即，所以为假命题时，；
当为真命题时，，即，所以为假命题时，；
若同时为假命题，则，
所以若至少有一个真命题时，.
证明见解析.
【分析】利用充分性和必要性的定义证明即可.
【详解】证明：充分性：
若，，，，
则等式自然恒成立．
必要性：
由于等式恒成立，分别令、1、、，并代入上式，
得
由此，可得，，，．
故，，，是等式恒成立的充要条件.
(1)
(2)
【分析】（1）确定，根据得到，解得答案.
（2）确定是的非空真子集，得到，解得答案.
【详解】（1）由不等式，解得，则，
或，，则，解得，
即实数的取值范围为.
（2）或，，
若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
又由题意知，所以是的非空真子集，，
解得，所以实数的取值范围为.
(1)不存在，理由见解析
(2)存在；
(3)存在；
【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，得到，转化为，列出不等式组，即可求解；
（3）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）若存在实数m，使得是成立的充要条件，则．
故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件．
（2）因为，故，故．
是成立的充分不必要条件得，故，解得，
故，即m的取值范围为．
（3）因为，故，故．
是成立的必要不充分条件得，故，解得，
故，又，故m的取值范围为．
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