第一章 集合与常用逻辑用语 集合 常见题型 专题练 20252026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）

中小学教育资源及组卷应用平台
集合与常用逻辑用语 集合 常见题型 专题练
2025--2026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）
一、数集与点集
1． 下列关系中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥.
A．3 B．4 C．5 D．6
方程组解集是（ ）
A． B．
C． D．或
3．集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、集合中元素的互异性应用（常考点）
1．已知集合中含有两个元素，则实数的取值范围是 ；若，则 ．
2．已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 ．
3．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知集合，集合.
(1)若，求的值；
(2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由.
三、集合与元素中的参数问题
1． 已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2． 若集合的子集只有两个，则实数 ．
3．若集合中至多有一个元素，求k的取值范围．
四、子集、真子集的个数
1． 已知集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．1 B．7 C．15 D．31
2．若 ，则集合M的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知集合，则集合，且的子集的个数为（ ）
A．7 B．8 C．4 D．6
4． 若，，则集合B的非空真子集的个数为 .
5． 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ．
五、集合间的基本关系中的参数问题
1．已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或 C． D．或
2．已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．0，1或
设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
已知集合，若，求的取值范围
六、集合的交、并、补运算
1． 已知全集，集合或.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
2． 已知集合，，，求：
(1)，；
(2)，．
七、韦恩图和容斥原理
1．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2． 为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为( ).
A．10 B．9 C．7 D．4
（多选题）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
八、集合的基本运算中的参数问题（难点）
1．设全集，集合，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
已知集合，集合B满足，则a的所有可能取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，若，则实数（ ）
A． B． C． D．或
4． 已知集合，.
(1)当时，求和；
(2)若，求实数a的取值范围.
5．已知全集.
(1)若中有四个元素，求和q的值；
(2)若，求实数q的取值范围.
6．设集合，，全集．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
九、集合中的结构不良问题
1．在①或；②或这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中．
问题：已知全集，，且_________，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
已知集合．
(1)若集合，求a的取值范围．
(2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：______，若，求a的取值范围．
3． 设全集为，集合.
(1)当时，求图中阴影部分表示的集合;
(2)在①;②;③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.
十、集合的新定义问题
1． 在研究集合时，用来表示有限集合中元素的个数.集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2． 设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3． 对于集合，集合记作，例如，，则有：．若已知，则集合 ．
4． 我们知道，如果结合，那么的子集的补集为且.类似地，对于集合，我们把集合且叫作集合与的差集，记作.例如，，，则有，.若，，则 .
5． 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，.
(1)求集合；
(2)求集合；
(3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由.
答案
一、数集与点集
1． A
【分析】根据元素和集合的关系进行判断，得到答案.
【详解】，①正确；，②正确；
为元素，为集合，两者不能用等号连接，应，③错误；
，④错误；，⑤错误；，⑥正确.
故选：A
C
【分析】解方程求方程组的解，进而写出解集.
【详解】由，解得或，
所以方程组解集是.
故选：C.
】D
【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数.
【详解】因为，所以．又，所以，
所以可能的取值为，分别代入可得，
所以集合A中共有6个元素．
故选：D
二、集合中元素的互异性应用
1． 或
【分析】根据集合的互异性求解即可.
【详解】对于①，由集合的互异性知，；
对于②，当时，即或，
由集合的互异性得满足条件，不满足；
当时，即或，
由集合的互异性得满足条件，不满足；
综上所述，或.
故答案为：①，②或.
且
【分析】根据集合中元素的互异性求解.
【详解】由集合中元素的互异性可知，，解得且，
故答案为：且
(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解；
（2）按照，讨论，验证即可求解.
【详解】（1）∵，
当，即时，此时，不成立，
当，即，此时，成立，
∴；
（2）由题意可得，，
若，则，不符合题意，
若，则，不符合题意，
故不存在实数a和x的值，使得.
三、集合与元素中的参数问题
1． A
【分析】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果.
【详解】由且，得
解得，
故选：A．
0或
【分析】根据题意知道A有一个元素，然后讨论a是否为0，然后得出a的值即可．
【详解】的子集只有两个，有一个元素，
①时，，满足题意；
②时，，解得，
或．
故答案为：0或．
或
【分析】分和两种情况讨论，结合判别式列式求解即可.
【详解】因为集合中至多有一个元素，
当时，，符合题意；
当时，则，解得；
综上所述：k的取值范围或.
四、子集、真子集的个数
1． C
【分析】由集合中元素个数，判断真子集的个数.
【详解】，共有4个元素，故集合的真子集个数为.
故选：C.
A
【详解】因为为M的真子集，所以，且M中至少还有一个元素．又，所以或或，故满足条件的集合M有3个．
B．8 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数.
【详解】由，则，又，且
所以，故子集个数为.
故选：B
6
【分析】用穷举法求出集合，再求集合B的非空真子集的个数即可.
【详解】由题意，当，或时，或；
当，或时，或；
当，或时，或；
综合以上可知，；
所以集合B的非空真子集的个数为，
故答案为：6
【分析】根据真子集的个数得，即可求解.
【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素，
所以，所以，则实数的取值范围为．
故答案为：
五、集合间的基本关系中的参数问题（重点）
1． C
【分析】根据，列不等式组，求解即可.
【详解】因为，又 ，且 ，
所以需满足， 解得 .
故选：C
D
【分析】按照Q为空集和Q不是空集分类讨论，利用集合关系及方程的解列式求解即可.
【详解】，，
由题意，当Q为空集时，，满足；
当Q不是空集时，，
由得或，解得或．
综上，a的值是0，1或.
故选：D
D
【分析】先解出集合，再由得到，最后根据包含关系求出实数即可；
【详解】，
因为，所以，
所以，
对应实数的值分别为，
其组成集合的子集个数为个.
故选：D.
或
【分析】根据给定条件，按集合是空集和非空集合，结合集合的包含关系列式求解作答.
【详解】依题意，当时，，解得，此时有，则，
当时，由，得或，解得或，
所以的取值范围是或.
故答案为：或
六、集合的交、并、补运算
1． (1)或；
(2)或；
(3).
【分析】（1）根据并集的概念求解；
（2）先利用补集的概念求出，再利用并集的概念求解；
（3）先利用补集的概念求出，再利用交集的概念求解.
【详解】（1）∵集合或，
∴或.
（2）∵全集，集合，
∴或，
又或，
∴或.
（3）∵全集，或，∴，
又因为或，
∴.
2.(1)或，
(2)或，.
【分析】（1）根据集合的交并补运算即可；
（2）根据集合的交并补运算即可.
【详解】（1）由，
可得，
则或，，
（2）由题意得或，
，
因此或，
.
七、韦恩图和容斥原理
1． A
【分析】根据韦恩图可知图中阴影部分表示的集合为，结合补集和交集的定义与运算即可求解.
【详解】由图可知图中阴影部分表示的集合为.
又或，，
所以.
故选：A
B．9 C．7 D．4
【答案】A
【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.
【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋
社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人；
设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团，
同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人；
又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，
所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团，
所以，解得，
故只参加围棋社团的人数为人.
故选：A.
3．（24-25高一上·江苏苏州·月考）（多选题）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】结合韦恩图，利用交并补的定义表述即得.
【详解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者.
故选：AD.
八、集合的基本运算中的参数问题（难点）
1． A
【分析】根据补集运算以及集合相等解方程可得结果.
【详解】由以及可得；
即，所以，解得.
故选：A
2． D
【分析】先根据题设等式得出与的关系，确定的可能取值，即得所有可能取值的集合.
【详解】易知，所以，因此或π，
所以a的所有可能取值的集合为．
故选：D．
C
【分析】根据列式，由此求得的值.
【详解】由得，
所以或，
解得.
故选：C
(1)，；
(2).
【分析】（1）应用集合的交补运算求集合；
（2）根据题设有，讨论、列不等式求参数范围.
【详解】（1）由题设，或，
则，；
（2）由，且，则，
当时，，即；
当时，，即；
所以.
(1)，
(2)
【分析】（1）根据全集及条件可判断方程有相等实根即可得解；
（2）转化为方程无实根，利用判别式求解即可.
【详解】（1）因为中有四个元素，所以A为单元素集合，
则方程有两个相等的实数解.
又由根与系数的关系知，这两个相等解的积为4，
所以只有，从而，所以.
所以.
（2）由知，即方程无解，
所以，解得，
故实数q的取值范围是.
，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【详解】解：（1）解法1 易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是．
解法2 由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是．
（2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是．
（3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是．
九、集合中的结构不良问题
1 答案见解析
【分析】根据所选条件，先求得，进而求得.
【详解】，则.
若选择①，或，
则.
若选择②，或，
则.
(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，得到不等式，即可求解；
（2）分别选择条件①②③，根据，分和，两种情况讨论，结合集合的运算，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：当时，可得，解得，
所以a的取值范围为．
（2）解：选择条件①：，因，
当时，，解得，此时满足；
当时，要使得，则满足或，解得，
所以的取值范围为.
选择条件②：，可得，
因为，
当时，，解得，此时满足；
当时，要使得，则，此时无解，
所以的取值范围为．
选择条件③：，因为，
当时，，解得，此时满足；
当时，要使得，则，解得，
所以的取值范围为．
(1)
(2)或
【分析】（1）由题意可知，阴影部分表示的集合是，通过集合运算解决即可；
（2）选择①②③，均可得，这里注意集合为空集这种情况，再通过子集之间的包含关系求解即可.
【详解】（1）由集合知，，解得或，所以，
当时，结合图知.
（2）选择①②③，均可得.
当时，，解得;
当时，或，解得或，即.
综上所述，实数的取值范围是.
十、集合的新定义问题
1． A
【分析】利用新定义与集合的交集运算得到，进而求得的取值范围，从而得解.
【详解】根据题意可知集合中有两个元素，
又，，所以，
则.
故选：A.
D
【分析】求出集合中所有元素的和，进而得出三个集合中元素之和，然后通过列举法找出满足条件的“三分划”的个数.
【详解】集合的总和为：
每个子集的和应为：
列举所有和为且满足三分划条件的子集组合：
组合一：
组合二：
组合三：
共种不同的分法.
故选：D.
【分析】根据题中规则求解即可.
【详解】根据题意，集合中只有元素2，
所以.
故答案为：.
.
【分析】按定义解题即可.
【详解】由定义可知.
故答案为：.
(1)
(2)
(3)能，0或
【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解；
（2）根据新定义运算可得，代入即可求解；
（3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按是否为空集分类求解.
【详解】（1）对任意的，有，，
全集且，
则
由，得，或，或，
当时，；
当时，；
当时，，
所以.
（2），由且，，得，，
因此，所以.
（3）由（1）（2）知，，，则，
假设集合，能满足，则，或且，
又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求，
所以实数的值为0或.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)