第一章 集合与常用逻辑用语 集合--综合练 20252026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）

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集合与常用逻辑用语 集合--综合练 2025--2026学年
上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）
一、单选题
1． 已知集合，则下列与相等的集合个数为（ ）
①
②
③
④
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知集合，则集合A的元素个数为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
3．设全集，集合，，（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一上·福建福州·月考）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（ ）.
A． B． C． D．
5． 对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（ ）
6． 已知集合或，，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
7． 一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为（ ）
A．100名 B．108名 C．120名 D．前三个答案都不对
在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多选题
9． 如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A． B．
C． D．
10． 已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（ ）
A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6
C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8
三、填空题
11． 已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ．
12． 已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 .
13． 已知集合，则满足条件 的集合个数为 个．
14．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知集合．
(1)若中只有一个元素，求的值；
(2)若中至多有一个元素，求的取值范围；
(3)若中至少有一个元素，求的取值范围．
16．已知集合．
(1)若，求实数a的值；
(2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
条件：①；②；③．
17．已知集合，或.
(1)当时，求；
(2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围.
18． 已知集合，
(1)求；
(2)若定义集合，求中元素的个数.
19． 若集合A具有①，，②若，则，且时，这两条性质，则称集合A是“好集”．
(1)分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由．
(2)设集合A是“好集”，求证：若，则．
(3)对任意的一个“好集”A，判断命题“若，，则”的真假，并说明理由．
答案
C
【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果.
【详解】对于①，；
对于②，中解得，故；
对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，，
所以；
对于④，.
所以与M相等的集合个数有2个.
故选：C.
C
【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数.
【详解】，共6个元素.
故选：C.
B
【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解.
【详解】由，可得，，故，
故选：B
D
【分析】根据集合间的基本关系及集合的基本运算，借助Venn图即可求解.
【详解】由得当 时， ，故选项A不正确；
，当时， ，故选项B不正确；
当 时， ，故选项C不正确；
因为，所以，故选项D正确.
故选：D.
B
【分析】由新定义，列举计算即可；
【详解】当都是偶数或都是奇数时，
则或或或或或或或或；
当是偶数，是奇数时，，或；
当是奇数，是偶数时，，或；
集合中含有个元素，它的子集个数为，
故选：B
6.B
【分析】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论：
（1）当时，，合乎题意；
（2）当时，，则，
因为时，解得；
（3）当时，，则，
因为，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
7.A
【分析】分别设出只参加一科，只参加两科和三科都参加的学生数，按照条件列出等式计算，可得出结果.
【详解】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，，；
参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为，，；
同时参加了三门学科考试的学生数为，如图．
根据题意，有，
前面三个等式相加，可得．
由第四个等式可得，，
因此，
解得．因此学生总数为．
故选：A.
8.【答案】B
【分析】方法一：根据可分比集合，再通过时成立，时不成立得到正整数的最大值为7；方法二：分析出，再证明满意题意.
【详解】解法一：一方面，取满足题意，则；
另一方面，若，不妨设，则，则，此时，且，矛盾！
综上所述，正整数的最大值为7.
解法二：，则，又，即若，内的数均不属于，
若，则，则，又，矛盾，
所以，当时，符合，所以．
故选：B.
9.AC
【分析】由已知韦恩图分析出了阴影部分所表示的集合的元素满足的条件，进而根据集合运算的定义可得答案.
【详解】根据图中阴影可知，符合题意，
又，∴也符合题意．
故选：AC
10.BD
【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可.
【详解】由题意，，
因为，
所以，
当时，，合题意，
当时，，，
因为，
所以或，所以或，
故．
集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误，
集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误.
故选：BD.
11.
【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可.
【详解】由题意，,
当时，则，
则，
又，
所以集合.
故答案为：.
12.
【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可.
【详解】由题意可知：方程有且仅有一解，
等价于有一个不等于3的实数解，
1.当时，解为，满足题意；
2.当时，只有一解时，
则，解得，
若，则，解得，符合题意；
3.当时，且有两解但3是方程的解，
故，解得；
综上所述，实数取值集合为.
故答案为：.
13.
【分析】求出集合中的元素，再根据集合间的包含关系求得满足题意的子集个数即可得出答案.
【详解】易知集合，；
因为可得，
又 ，所以集合中一定含有，且不能同时全部包含；
满足条件 的集合的个数即为求集合的真子集的个数，
所以满足条件的集合个数为个.
故答案为：
14.
【分析】先求出集合，再由，得，即可求出实数的取值范围.
【详解】因为，所以，即．
由，得，得，故实数的取值范围是．
故答案为：.
15.(1)或
(2)或
(3)
【分析】（1）分和进行求解；
（2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解；
（3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解.
【详解】（1）当时，原方程变为，
此时，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，
，即，
原方程的解为，符合题意．
故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素．
（2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素．
当，即时，原方程无实数解．
结合（1）知，当或时中至多有一个元素．
（3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，
当时，原方程变为，此时，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，由得．
综上可知当时，中至少有一个元素．
16.(1)
(2)答案见解析
【详解】解：（1）由于，所以解得．
（2）若选①，由得．
当时，则，解得，满足条件；
当时，则解得．
综上，实数a的取值范围是．
若选②，．
当时，，解得，满足条件：
当时，或，则解得．
综上，实数a的取值范围是．
若选③，．
当时，，解得，满足条件；
当时，或，则解得．
综上，实数a的取值范围是．
17.(2).
【分析】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果.
（2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果.
【详解】（1）当时，，
因为或，所以，
故.
（2）若选①：当时，，，成立.
当时，，由可得，解得，所以.
综上，的取值范围是.
若选②：当时，，，成立.
当时，，
由可得，解得，所以.
综上，的取值范围是.
若选③：由可得.
当时，，，成立.
当时，，由可得解得，所以.
综上，的取值范围是.
18.(1)
(2)
【分析】（1）列举法表示出，然后根据交集的概念求解出；
（2）先分析和的可能取值，然后分析取值时对应的取值个数，由此可确定出中元素的个数.
【详解】（1）由题意可知，，
，
所以.
（2）由，，可得，共种结果，
由，，可得，共种结果，
当或时，此时或，
所以可以为中的一个值，共可以构成个不同的元素；
当时，对于中的任意一个值，
都可以选择，此时取与对应的值，可取中的一个值，
所以可以为中的一个值，共可以构成个不同元素，
所以中一共有个元素.
19. (1)有理数集Q是“好集”，集合B不是“好集”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)命题“若，则”为真命题，理由见解析
【分析】利用“好集”的定义，结合元素与集合的关系解决即可.
【详解】（1）集合B不是“好集”，理由如下：
因为，，，
所以集合B不是“好集”．
有理数集Q是“好集”，理由如下：
因为，，对任意，，都有，且时，，
所以有理数集Q是“好集”．
（2）因为集合A是“好集”，所以．
若，则，即，
所以，即，命题得证．
（3）命题“若，则”为真命题，理由如下：
当x，y中有0或1时，显然有．
当x，y中不存在0，1时，由“好集”的定义得，，，
所以，所以．
所以由（2）可得，同理得，
当或时，显然有．
当或时，显然有，
所以，所以，
由（2）得，所以．
综上得时，．
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