第一章 集合与常用逻辑用语 章末闯关试题 20252026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）

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集合与常用逻辑用语 章末闯关试题 2025--2026学年
上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知均为实数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．设集合 , 若 , 则 的值为（ ）
A． B．-3 C． D．
4．已知集合，则下列与相等的集合个数为（ ）
①
②
③
④
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知命题：，，命题：，，则（ ）
A．和均为真命题 B．和均为真命题
C．和均为真命题 D．和均为真命题
6．已知p：，q：，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．某班共有20人参加三个社团，其中参加篮球社的有12人，羽毛球社的有11人，乒乓球社的有10人，已知其中至少有4人同时参加了三个社团，则只同时参加了两个社团的人数不可能为（ ）人
A．1 B．3 C．5 D．7
8．定义集合运算．已知非空集合A和B，且，若，则满足题意的不同的B的个数为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．
B．，2x＋1为奇数
C．所有菱形的四条边都相等
D．是无理数
10．下列说法正确的是（　　）
A．由组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
11．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，，则 ．
13．已知命题，命题，都有，若命题为真命题，命题为假命题，则实数的取值范围是 .
14．对于集合M，N，定义差集且，设集合，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知集合．
(1)若，求的值；
(2)若中只有一个元素，求的取值范围；
(3)若中至多有一个元素，求的取值范围．
16．（15分）
已知集合，且.
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
17．（15分）
已知命题．命题．
(1)写出两个命题的否定；
(2)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围．
18．（17分）
设集合．
(1)证明：“”是“”的充分不必要条件；
(2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明．
19．（17分）
（1）对于数集A，B，定义，，若集合，求集合中所有元素之和．
（2）设A，B是R上的两个子集，对任意，定义：，.
①若，则对任意，________；
②若对任意，，则A，B的关系为________．（要求写出解题过程）
答案
C
【分析】应用集合的交运算求集合即可.
【详解】 ，
.
故选：C
B
【分析】证明由可推出，再举例说明由不能推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论.
【详解】由于，所以和均不为，
所以可以推断；
取，可得，但
故由不能推出.
所以“”是“的充分不必要条件.
故选：B.
D
【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解.
【详解】由集合中元素的确定性知 或 .
当 时, 或 ; 当 时, .
当 时, 不满足集合中元素的互异性, 故 舍去;
当 时, 满足集合中元素的互异性, 故 满足要求;
当 时, 满足集合中元素的互异性, 故 满足要求.
综上, 或 .
故选: D.
C
【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果.
【详解】对于①，；
对于②，中解得，故；
对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，，
所以；
对于④，.
所以与M相等的集合个数有2个.
故选：C.
A
【分析】由判别式的正负可判断，由可判断；
【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题；
，
因为，所以成立，即为真命题，为假命题，
故选：A
B
【分析】将p是q的充分条件转化为集合间的包含关系，根据包含关系列不等式组求解即可.
【详解】设集合，
集合，
因为p是q的充分条件，所以A是B的子集，
则，解得.
故选：B.
D
【分析】由题意作出Venn图，结合Venn图能表达出只同时参加了两个社团的人数，进而得解.
【详解】
设同时参加篮球社和羽毛球社的人数为人，设同时参加篮球社和乒乓球社的人数为人，设同时参加乒乓球社和羽毛球社的人数为人，只同时参加了三个社团的人数为人；
则，
则；
因为，所以，
所以只同时参加了两个社团的人数不可能为7人.
故选：D.
D
【分析】结合集合新定义，讨论中元素个数即可；
【详解】由题意，
又非空集合A和B，且，若，
当中有一个元素时：
，；，；
当中有两个元素时：
，；，；，；，；
当中有三个元素时：
，；
当中有四个元素时：
，；
当中有五个元素时，集合不存在，
所以满足条件的不同的B的个数为8个，
故选：D.
AC
【分析】利用全称量词命题的定义，结合真假判断逐项分析即可.
【详解】对于A，，恒成立，该命题是全称量词命题，且是真命题，A是；
对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，B不是；
对于C，该命题是全称量词命题，且是真命题，C是；
对于D，该命题不是全称量词命题，D不是.
故选：AC
AD
【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误.
【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有，
故A正确.
对于B，不是空集，故B错误.
对于C，，而，
故两个集合不是同一个集合，故C错误.
对于D，，故D正确.
故选：AD.
ABD
【分析】根据必要不充分条件的定义可得推出关系，由此可构造不等式求得结果.
【详解】由必要不充分条件定义可知：或，或，
或，或，
实数的值可以是，和.
故选：ABD.
1
【分析】根据给定的元素与集合关系列式，结合集合元素的互异性求解.
【详解】由集合，，得或，
当时，，此时，不符合题意，；
当时，显然，解得，集合，符合题意，
所以.
故答案为：1
.
【分析】根据为真命题，得，故，根据，为真命题得，即可求解.
【详解】命题为真命题，则使得，故，故，
若命题为假命题，则，为真命题，故或，解得，
故命题为真命题，命题为假命题，则，解得，
故答案为：
【详解】因为，所以．又当时，，所以．故．
(1)
(2)或时，
(3)或
【分析】（1）将代入方程中即可求解，
（2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案．
【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故
（2）当时，原方程变为，此时，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意．
故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素．
（3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素，
由（1）知当时只有一个元素，
当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集；
，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素．
中最多有一个元素，或
(1)2
(2)
【分析】（1）利用给定交集的结果，列式计算并验证得解.
（2）由（1）求出集合D，再利用并集的结果，结合集合的包含关系求解.
【详解】（1）由，得，解得或，
当时，，不符合题意；当时，符合题意，
所以.
（2）由（1）得，，由，得，
①若，此时，即，符合题意；
②若，由，则，解得：，
所以实数的取值范围是.
(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）结合含有量词的命题的否定即可求解；
（2）结合含有量词的命题的真假，列出不等式即可求解．
【详解】（1）因为，
所以非，
因为，
所以；
（2）因为，所以，
又，故，故，
命题．
即，又，故．
综上，当两个命题都是真命题时，的取值范围为．
(1)证明见解析
(2)k为偶数；证明见解析
【详解】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件．
若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件．
综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
（2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数．
充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M．
必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数．
（1）；（2）①0；②.
【分析】（1）根据给定的定义，求出及即可求和得解.
（2）①由题意分和两种情况讨论即可求得 的值；②对任意，则的值一个为0，另一个为1，可得时，必有，或时，必有 即可得出的关系.
【详解】（1）由及，得，
由，得，
所以集合中所有元素之和为.
（2）①由，得或，
当时，，；
当时，必有，则，，
所以.
②对任意，，则的值一个为0，另一个为1，
则且，或且，于是，且，
因此集合的关系为.
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