第一章 集合与常用逻辑用语 常用逻辑用语 常见题型 专题练 20252026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）

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集合与常用逻辑用语 常用逻辑用语 常见题型 专题练
2025--2026学年上学期高中数学必修第一册 （人教A版2019）
一、充分必要条件的判断（重点）
1． 已知，则“”是“”的（ ）
2． 设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3． 满足“闭合开关”是“灯泡R亮”的必要而不充分条件的电路图是（ ）
A． B．
C． D．
4． “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.我们用记号表示不超过的最大整数，如，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、充分必要条件的探求
1． 下列条件中，是“”的充分不必要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
2． 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
3. “，”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
4．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
三、充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件）
1． 已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2． 已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3． “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4． 是成立的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件
5． 已知是一元二次方程的两个不等实根，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，求证：的充要条件是.
7． 设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是.
四、充分必要条件中的参数问题
1． 方程有两个异号实根的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
2． 命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3． （多选题）若是的必要不充分条件，则实数a的值可以为（ ）
A．2 B． C． D．0
关于的方程的解为的充要条件是 ．
已知或，或，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是 ．
已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，命题，命题，且是的必要不充分条件，求实数取值集合的所有子集．
8． 已知集合或，.
(1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围；
(2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围；
(3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围；
(4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围.
五、全称（存在）量词命题的真假判断及否定
1． 命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2． 已知命题，，则命题为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3． 是有理数集，是实数集，命题，，则（ ）
A．是真命题，，
B．是真命题，，
C．是假命题，，
D．是假命题，，
4． 已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
5． 下列命题的否定为真命题的是（ ）
A．，使得方程有整数解
B．，
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．，方程是一元二次方程
六、全称（存在）量词命题中的参数问题
1． （1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A.
（2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值.
2． 在①；②，，使得，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知命题，命题　　.若都是真命题，求实数的取值范围.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
3． 设集合，．
(1)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若，，求实数a的取值范围．
七、常用逻辑用语与集合问题的综合考查
1． 设集合是偶数集，集合是奇数集.若命题，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2． 若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
3． 已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4． （多选题）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
5． 已知集合为实数集，或，.
(1)若，求；
(2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
6． 已知命题“，方程有实根”是真命题.
(1)求实数m的取值集合A；
(2)关于x的不等式组的解集为B，若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围.
7． 设集合．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
答案
一、充分必要条件的判断（重点）
1． A
【分析】易知，根据定义即可判断得出结论.
【详解】易知若，由可得，可知充分性成立，
又推不出，因此必要性不成立，
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
B
【分析】根据充分必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】，得，得或，所以“”不是“”的充分条件，
反过来，能推出，“”是“”的必要条件.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
B
【分析】利用充分必要条件的判断方法，结合电路图的知识即可得解.
【详解】对于A，闭合开关或者闭合开关都可以使灯泡R亮，即充分性成立，
反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关，即必要性不成立，
因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的充分而不必要条件，不符合题意，故A错误；
对于B，闭合开关而不闭合开关，灯泡R不亮，即充分性不成立，
反之，若要使灯泡R亮，则开关必须闭合，即必要性成立，
因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的必要而不充分条件，符合题意，故B正确；
对于C，闭合开关可使灯泡R亮，即充分性成立，
反之，若要使灯泡R亮，开关一定是闭合的，即必要性成立，
因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的充要条件，不符合题意，故C错误；
对于D，闭合开关但不闭合开关，灯泡R不亮，即充分性不成立，
反之，灯泡R亮也可不闭合开关，只要闭合开关即可，即必要性不成立，
因此“闭合开关”是“灯泡R亮”的既不充分又不必要条件，不符合题意，故D错误.
故选：B.
B
【分析】由充分必要条件的定义判断.
【详解】若，即，则，或，
所以“”不是“”的充分条件；
若，则，所以，
所以“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
D
【分析】根据定义，利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当，时，满足，
此时，，即，
所以“”不是“”的充分条件；
当，时，，，
此时，，即，此时，
所以“”不是“”的必要条件，
综上所述“”是“”既不充分也不必要条件，
故选：D.
二、充分必要条件的探求
1． C
【分析】利用充分不必要条件的定义即可判断.
【详解】因为是的真子集，即由能推出，
而推不出，所以“”的充分不必要条件的是“”．
故选：C．
D
【分析】先得出充要条件，再由必要不充分条件的定义求解.
【详解】对于A，由题可知成立的充要条件是，
当时，能得出，而成立，不能得出，
故是的充分不必要条件，故A错误；
对于B，是的充分必要条件，故B错误；
对于C，当时，不能得出，而时，不能推出，
故是的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，当时，不能得出，而时，能推出，
故是的必要不充分条件，故D正确；
故选：D.
D
【分析】根据题中命题成立，先求出；再逐项判断即可.
【详解】由题意可得，在上能成立，
即在上能成立，
因为时，；
所以为使在上能成立，只需；
因此，A选项，是“，”成立的既不充分又不必要条件；
B选项，是“，”成立的充分不必要条件；
C选项，是“，”成立的充要条件；
D选项，是“，”成立的必要不充分条件；
故选：D
D
【分析】根据方程可得或1，即得，再根据题意，需使选项中的范围是区间的真子集，结合选项即得.
【详解】由方程，可得或1，得，
依题意，需使选项中的范围是区间的真子集，
故成立的一个充分不必要条件是．
故选：D.
三、充要条件的判断与证明（含既不充分也不必要条件）
1． C
【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】由，可得，所以“”是“”的充分条件，
由，可得，所以“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
D
【分析】通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】若，显然所以“”不是“”的充分条件；
若，显然，所以“”不是“”的必要条件；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
D
【分析】根据充分必要条件的定义结合举反例说明.
【详解】当，，时，满足，此时，即不能推出；
当，，时，满足，此时，即不能推出.
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】先判断充分性：由，
得，
则，即；
再判断必要性，若，
则.
所以是成立的充要条件.
故选：A.
D
【分析】举反例，对充分性和必要性进行证明或判断.
【详解】取，，而，，
所以由且不能推出且，
取，，满足且，
所以由且不能推出且，
所以且是且的既不充分也不必要条件.
故选：D.
证明见解析
【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可.
【详解】①必要性：因为.所以.
所以.
②充分性：因为，
所以，又，
所以且.
因为.
所以，即.
综上可得，当时，的充要条件是.
证明见解析
【分析】设出方程的根，联立方程得，即可求解必要性，利用，代入方程求解根，即可求解充分性.
【详解】证明：必要性：设方程与有公共根，
则，.
两式相减，得，
由，可得，
故，
将此式代入得
可得，故.
充分性：∵，∴.①
将①代入方程，
可得，即，
方程两根为或，
将①代入方程，
可得，
即，方程两根为或，
故两方程有公共根.
∴方程与有公共根的充要条件是.
四、充分必要条件中的参数问题（难点）
1． A
【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可.
【详解】由题知，，解得.
故选：A
D
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解.
【详解】由条件可知集合是集合的真子集，所以．
故选：D．
BCD
【分析】依题意，是的真子集，则可以是，或，解之即得.
【详解】由可解得：或，
依题意，是的真子集，则可以是，或.
当时，易得；
当，可得；
当，可得.
故选：BCD.
【分析】根据一元一次方程的解法，以及充要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由必要性得，若方程的解为，把代入方程解得，
当时，方程为，解得，充分性成立，
所以方程的解为的充要条件为.
故答案为：.
【分析】由题意可得，求解即可.
【详解】因为是的必要不充分条件，所以且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为一次函数的图像经过一、二、四象限，
则满足，解得，
即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是.
故答案为：.
(1)
(2)．
【分析】（1）分和进行讨论；
（2）根据条件得到是A的真子集，求出，分和进行讨论，看是否满足是A的真子集，然后再根据子集的概念列出所有情况即可．
【详解】（1）因为，所以方程无实数根，
当，即时，原方程可化为，有实数根2，不满足题意；
当时，一元二次方程无实数根，
则，解得，即实数的取值范围为．
（2），由题意可得，是A的真子集．
当时，得，此时，满足题意；
当时，得，此时不满足题意．
综上，的取值集合为，其所有子集为．
(1)
(2)
(3).
(4).
【分析】（1）根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，解不等式即可；
（2）根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，解不等式即可；
（3）先计算集合，再根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，即可求解；
（4）先计算集合，再根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，即可求解.
【详解】（1）若“”是“”成立的必要条件，则是的子集，故，解得.
所以的取值范围是.
（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，故，
解得.所以的取值范围是.
（3）若“”是“”成立的充分条件，则是的子集，
易知，所以.所以的取值范围是.
（4）若“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集，
因为，所以.所以的取值范围是.
五、全称（存在）量词命题的真假判断及否定
1． C
【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】“，”的否定是，，
故选：C
A
【分析】由特称命题的否定定义可得答案.
【详解】由题可得，，的否定是，.
故选：A
C
【分析】根据特值可判断命题的真假，再结合命题的否定的概念可得.
【详解】命题，，
由，，则命题为假命题，
且命题的否定为，，
故选：C.
4 ． C
【分析】举出反例证明为假命题，所以为真；找出实例证明为真命题，所以为假；由此即可求解.
【详解】对于命题，时，，
所以，为假命题，为真命题，
对于命题，，解得，或，
所以，，为真命题，为假命题，
所以和都是真命题.
故选：C
D
【分析】根据命题的否定的定义以及真命题的定义逐一判断各个选项即可.
【详解】原命题的否定为“，方程9没有整数解”，令，则，此时方程有整数解，即原命题的否定为假命题，A错误；
原命题的否定为“”，，当且仅当时等号成立，即原命题的否定为假命题，B错误；
原命题的否定为“存在一组邻边相等的平行四边形不是菱形”，为假命题，C错误；
原命题的否定为“，方程不是一元二次方程”，当时，原方程为是一元一次方程，即原命题的否定为真命题，D正确．
故选：D.
六、全称（存在）量词命题中的参数问题
1．（ （1）且；（2）
【分析】（1）讨论二次项系数是否为0，并结合判别式大于0求解；
（2）分离参数即可求解.
【详解】（1）方程有两个不同的实数解，
则当为唯一解，不合题意舍去；
所以且，解得且，
故集合且
（2）命题“， ”为真命题，
则对恒成立，即，
故实数a的最小值为2.
选条件①，;选条件②,
【分析】由都是真命题，先分别求的范围，最后求交集即可.
【详解】由命题p为真，可得不等式对于恒成立.
因为，所以，所以.
选条件①.
若命题q为真，则关于的方程有解，
所以，解得.
又都是真命题，所以，
所以实数a的取值范围是.
选条件②.
对于命题q，
当，即时，，命题q为真命题；
当时，由得或，所以或.
综上，或.
又p，q都是真命题，所以，
所以实数a的取值范围是.
(1)
(2)
【分析】（1）先求得集合，然后根据必要条件以及对进行分类讨论来求得的取值范围.
（2）根据全称量词命题的知识以及对进行分类讨论来求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，集合.
若“”是“”的必要条件，则，
当时，，不符合题意.
当时，，
所以，解得.
当时，，
所以，此不等式组无解.
综上所述，的取值范围是.
（2）依题意，，，
当时，，符合题意.
当时，，
则，解得.
当时，，
则，解得.
综上所述，的取值范围是.
七、常用逻辑用语与集合问题的综合考查
1． C
【分析】由否定的定义即可得解.
【详解】由否定的定义可知：若命题，，则，.
故选：C.
2．（ C
【分析】根据命题的真假确定集合中的元素具有的性质，得正确结论．
【详解】“”为真命题，，
因此做这个中含有 上的数，
“”为假命题，则中有不小于2的元素，
只有C选项的集合M满足题意.
故选：C．
3． C
【分析】通过，得，再根据充要条件的判断方法判断即可.
【详解】因为，，，所以中的元素都是中的元素，
又因为，，，所以中的元素都是中的元素，
所以，所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
AC
【分析】先分析方程根的情况，求出满足题意的值，再结合充分不必要条件概念，逐个判断即可.
【详解】先分析根的情况，.
当时，方程无实数根，此时，即，
解不等式得或时，，那么.
当时，即时，方程有实数根.
设方程的两根为，由韦达定理得，.
要使，则两根都大于，所以且。
解得或，结合，得到.
综上，时或.
对于选项A：是或的真子集.
当时，一定有，但时，还可能，
所以是是真命题的一个充分不必要条件.
对于选项B：与或无包含关系.
当时，不成立，所以不是充分条件.
对于选项C：是或的一部分.
当时，成立，是充分不必要条件.
对于选项D：或是的充要条件，不是充分不必要条件.
故选：AC.
(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，再利用补集与交集定义计算即可得；
（2）由题意可得集合是集合的真子集，再分及讨论并计算即可得.
【详解】（1）当时，，且，
故；
（2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，
当，即，即时，此时满足题意；
当，即，即时，
只需或，即或，
又，所以；
综上所述，实数的取值范围为.
(1)
(2)或.
【分析】（1）利用判别式大于等于0可求解；
（2）根据题意可得是的真子集，讨论的范围求解即可.
【详解】（1）因为命题“，方程有实根”是真命题，
所以方程有实根，则有，解得，
所以实数m的取值集合.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
当即时，不等式组无解，所以，满足题意；
当即时，不等式组的解集为，
由题意是的真子集，所以，所以.
综上，满足题意的a的取值范围是或.
(1)
(2)
【分析】（1）根据全称量词命题，元素与集合，集合与集合的关系列不等式，由此求得的取值范围.
（2）根据存在量词命题，元素与集合，集合与集合的关系列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）若，则，
当时，，满足，
当时，，要使，
则需，解得，
综上所述，的取值范围是.
（2）若，，
先求时的取值范围：
当当时，，满足.
当当时，，要使，
则需或，解得.
综上所述，时，或，
所以当时，.
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