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第二十一章 一元二次方程（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·湘潭期末）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·衡南月考）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·蓬江期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2024九上·叙州期末）用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·雅安期末）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
6．（2023九上·宣化期末）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
7．（2022九上·利川月考）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2020九上·遵化期末）已知 ， ， 是1，3，4中的任意一个数（ ， ， 互不相等），当方程 的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是（ ）
A．轴对称图形 B．中心对称图形
C．轴对称图形或中心对称图形 D．非轴对称图形或中心对称图形
9．（2024九上·宁波竞赛）已知 有四个非零实数根，且在数轴上对应的四个点等距排列，则 的值为 ( )
A． B． C． D．
10．（2024九上·南山开学考）如图，在正方形中，E是边中点，F是边上一动点，G是延长线上一点，且．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·硚口月考）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
12．（2024九上·沅江开学考）如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为 ．
13．（2024九上·武汉月考）某学校开办篮球比赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，列出的方程是
14．（2024九上·武汉月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ．
15．（2024九上·大冶月考）若关于的方程有三个解，则实数的值是 ．
16．（2023九上·沙洋期中） 已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，有下列说法：①当k=0时，方程无解；②当k=1时，方程有一个实数解；③当k=-1时，方程有两个相等的实数解；④此方程总有实数解．其中正确的是 ．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·花都月考）解下列方程：
（1）
（2）（配方法）．
18．（2024九上·平凉期中）已知关于x的方程.
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
19．（2024九上·长沙期中）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园开辟一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的长度为），用长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．
（1）若围成的菜地面积为，求此时的长．
（2）能围成面积为的菜地吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
20．（2024九上·莲池月考）年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？
21．（2024九上·阳山期末）某工厂生产一批小家电，年的出厂价是144元，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，年出厂价调整为100元．
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（结果保留2位小数）
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为元时，平均每天可销售台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低元，每天可多售出台，如果每天盈利元，单价应降低多少
22．（2023九上·修水期中）已知关于x的方程．
（1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形的一边长，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
23．（2023九上·遵义月考）“小龙虾”是我县特色农业的拳头产品，在南县被广泛养殖.2020年估计某村养殖面积有100亩，到2022年该村养殖面积达到196亩．
（1）求该村这两年“小龙虾”养殖面积的平均增长率；
（2）某养殖户调查发现，当“小龙虾”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克．为了推广宣传，该养殖户决定降价促销，同时减少存量，已知“小龙虾”的平均成本为12元/千克，若要确保每天获利1750元，则售价应该降低多少元？
24．（2023九上·宝安月考）据统计，假期第一天前海欢乐港湾摩天轮的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了前海旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
25．（2024九上·长沙开学考）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（﹣1，﹣3）．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 ；②y＝x2﹣1 ；③y＝x2+4 ．
（2）若抛物线y＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝+，求t的最小值；
（3）若函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
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第二十一章 一元二次方程（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·湘潭期末）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设门对角线的长为x尺，由题意得：
，
故答案为：A．
【分析】 设门对角线的长为尺， 利用勾股定理列方程解题即可．
2．（2024九上·衡南月考）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意可得，
故答案为：D
【分析】根据题意表示出二月份和三月份的营业额，再利用等量关系一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，列出方程即可．
3．（2024九上·蓬江期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：把代入，得
，
解得：，
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】由题意，把代入关于x的方程可得关于m的方程，解关于m的方程求出m的值，根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”即可求出符合条件的m的值．
4．（2024九上·叙州期末）用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：用配方法解一元二次方程时，
得到，
则，
即，
故答案为：A．
【分析】利用配方法解一元二次方程的一般步骤：移项，化二次项系数为1，配方，写成标准形式，用直接开平方法求解。据此求解。
5．（2024九上·雅安期末）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴且．
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义可得，根据根的判别式可得，据此求解。
6．（2023九上·宣化期末）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
【答案】D
【解析】【解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ，
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【分析】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
7．（2022九上·利川月考）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
由直角三角形的三边关系可得：
又有根与系数的关系可得：
∴
整理得：
解得：m= 3或5.
又∵，
∴ 解得
∴.
故答案为：A.
【分析】易得∠AOB=90°，由勾股定理及完全平方公式得AO2+BO2=（AO+BO）2-2AO·BO=25，利用一元二次方程根与系数的关系可表示出AO+BO和AO·BO，然后整体代入，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，根据其解集，可得到m的值.
8．（2020九上·遵化期末）已知 ， ， 是1，3，4中的任意一个数（ ， ， 互不相等），当方程 的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是（ ）
A．轴对称图形 B．中心对称图形
C．轴对称图形或中心对称图形 D．非轴对称图形或中心对称图形
【答案】C
【解析】【解答】解：∵方程ax2-bx+c=0的解均为整数
∴△=b2 4ac≥0
∵已知a，b，c是1，3，4中的任意一个数（a，b，c互不相等），
当b=1时，△=1-4×4×3＜0，不符合题意；
当b=3时，△=9-4×1×3＜0，不符合题意；
当b=4时，△=16-4×1×3=4＞0，符合题意．
∴b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1；
当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解
∴x1=3，x2=1，两个根均为整数，符合题意；
当b=4，a=3，c=1时，方程ax2-bx+c=0的解
∴x1=1，x2= ，不符合题意，故舍去；
∴当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解为x1=3，x2=1，
∵以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形有两种情况：
①1，1作对边，3.3作对边，
此时多边形为平行四边形，为中心对称图形；
②1，1作邻边，3.3作邻边，1与3也相邻
此时多边形为筝形，为轴对称图形．
∴以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是中心对称图形或轴对称图形．
故答案为：C．
【分析】先根据一元二次方程由整数解，可得出△=b2 4ac≥0，再对a、b、c分别取值试算，从而得出b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1时方程有解，再分类计算出方程的根，两者均为整数时符合要求，则此时围成的多边形机器性质也可作出判断，从而得解。
9．（2024九上·宁波竞赛）已知 有四个非零实数根，且在数轴上对应的四个点等距排列，则 的值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设 则原方程可变形为 ，
设该方程的两个实数根α、 则原方程的四个实数根为
∵它们在数轴上对应的四个点等距排列，
又·.
故答案为： C.
【分析】设 则原方程可变形为 0，设该方程的两个实数根α、 则原方程的四个实数根为 由四个实数根在数轴上对应的四个点等距排列，可得出， ，结合根与系数的关系可得出k值，再由根的判别式 即可确定k值，此题得解.
10．（2024九上·南山开学考）如图，在正方形中，E是边中点，F是边上一动点，G是延长线上一点，且．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，
设，
∵正方形中，E是边中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴的最小值为，
故答案为：B．
【分析】过点G作于H，易证明， 过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，设，根据正方形、矩形及全等三角形的性质，得出ME=4，CG=6，，，由勾股定理得表示出，再利用配方法求出最小值即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·硚口月考）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：依题意，有：且，
解得，
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出判别式，结合二次项系数不为零即可求解.
12．（2024九上·沅江开学考）如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为 ．
【答案】3米
【解析】【解答】解：设道路的宽为，
因为矩形长为33米宽为20米， 草坪的面积为510平方，
所以列方程可得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
故道路的宽为3米．
故答案为：3米．
【分析】设道路的宽为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2024九上·武汉月考）某学校开办篮球比赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，列出的方程是
【答案】
【解析】【解答】解：设参加比赛的球队有支，
根据题意得：．
故答案为：．
【分析】设参加比赛的球队有支，根据“ 每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场 ”列出方程即可.
14．（2024九上·武汉月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ．
【答案】或．
【解析】解：因为 一元二次方程在范围内有且只有一个根，
可得，整理得：，
解得：，
又因为，解得，所以，
因为方程在的范围内有实数根，
可得或，
由，此时不等式无解，
由得出，
所以的取值范围为或，
故答案为：或．
【分析】根据一元二次方程有且仅有一个实数根，得到和二次函数的性质，解得，再结合 ，利用二次函数的性质，列出不等式组，取得不等式组的解，可得出答案．
15．（2024九上·大冶月考）若关于的方程有三个解，则实数的值是 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：当时，方程为，
此时，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
当时，原方程可化为：或，
当时，整理得：，
此时，
当时，整理得：，
此时，
关于的方程有三个解，
当有两个解，有一个解时，
得，
解得：，
当有一个解，有两个解时，
得，
解得：，
，
不符合题意，
，
若关于的方程有三个解，则实数的值是9，
故答案为：9．
【分析】根据题意，分类讨论，列方程以及不等式计算求解即可。
16．（2023九上·沙洋期中） 已知关于x的方程kx2+（1-k）x-1=0，有下列说法：①当k=0时，方程无解；②当k=1时，方程有一个实数解；③当k=-1时，方程有两个相等的实数解；④此方程总有实数解．其中正确的是 ．
【答案】③④
【解析】【解答】解：当时，，解得，错误；
当时，，解得，，错误；
当时，，
，
方程有两个相等的实数解，正确；
当时，，解得；
当时，，
方程总有实数解 ，正确.
故答案为：.
【分析】当时，原方程可化为，解得，故错误；当时，原方程可化为，解得，，故错误；当时，原方程可化为，利用根的判别式可得方程有两个相等的实数解，故正确；当时，原方程可化为一元一次方程解得，当时，原方程可化为一元二次方程，由根的判别式可得方程有实数解 ，故正确.
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·花都月考）解下列方程：
（1）
（2）（配方法）．
【答案】解：（1）2-x=3x（x-2）
∴3x（x-2）-(2-x)=0
∴3x（x-2）+（x-2）=0
∴（x-2）（3x+1）=0
∴x1=2，x2=-
（2）原方程整理得：x2-2x=3
∴x2-2x+1=4
∴（x-1）2=4
∴x-1=±2
∴x=1±2
∴x1=3，x2= -1
【解析】【分析】（1）先移项得：3x（x-2）-(2-x)=0，然后提取公因式（x-2）得到（x-2）（3x+1）=0，因此x-2=0或3x+1=0，再解方程即可.
（2）先移项得：x2-2x=3，两边同时加上1，可得：x2-2x+1=4，配方得：（x-1）2=4，再解方程即可.
18．（2024九上·平凉期中）已知关于x的方程.
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
【答案】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3，
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，
则，
解得：，
∴a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
【解析】【分析】（1）利用根的判别式，列出不等式求解；
（2）利用根与系数的关系，列出有关的方程组求解.
19．（2024九上·长沙期中）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园开辟一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的长度为），用长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．
（1）若围成的菜地面积为，求此时的长．
（2）能围成面积为的菜地吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设的长为x米，则的长为米，
根据题意得：，
解得或，
当时，，
的长为5米不合题意舍去；
当时，，符合题意．
答：的长为10米；
（2）解：设的长为y米，则的长为米，
根据题意得：，
化简得：，
，
方程无实根，
不能围成面积为的菜地．
答：不能围成面积为的菜地
【解析】【分析】（1）设的长为x米，则的长为米，根据围成菜地的面积为，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设的长为y米，则的长为米，根据围成菜地的面积为，建立方程，根据判别式可得方程无实根，即不能围成面积为的菜地.
（1）解：设的长为x米，则的长为米，
根据题意得：，
解得或，
当时，，
的长为5米不合题意舍去；
当时，，符合题意．
答：的长为10米；
（2）设的长为y米，则的长为米，
根据题意得：，
化简得：，
，
方程无实根，
不能围成面积为的菜地．
答：不能围成面积为的菜地．
20．（2024九上·莲池月考）年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？
【答案】（1）解：依题意得：降价4元后每天获利：（元），
答：每个模型降价4元，平均每天可以售出个模型，此时每天获利元．
（2）解：设每个模型降价x元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型，
依题意得：
即：，
解得，，
因为每个模型盈利不少于元，
所以
即，
故，
答：要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元.
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算，即可求出利润；
（2）设每个模型降价x元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程和不等式，解方程即可.
（1）解：依题意得：
降价4元后每件利润：（元），
降价4元后销量：（个），
降价4元后每天获利：（元），
答：每个模型降价4元，平均每天可以售出个模型，此时每天获利元．
（2）解：设每个模型降价x元，
则每件利润元，平均每天可以售出个模型，
依题意得：
即：，
解得，，
因为每个模型盈利不少于元，
所以
即，
故，
答：要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元.
21．（2024九上·阳山期末）某工厂生产一批小家电，年的出厂价是144元，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，年出厂价调整为100元．
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（结果保留2位小数）
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为元时，平均每天可销售台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低元，每天可多售出台，如果每天盈利元，单价应降低多少
【答案】（1）解：设这两年平均下降率为x，
根据题意得：144（1-x）2=100，
解得（舍），%，
答：这两年平均下降率约为16.67%；
（2）解：设单价降价y元，
则每天的销售量是20+×10=20+2y（台），
根据题意得：（140-100-y）（20+2y）=1250，
整理得：y2-30y+225=0，
解得：y1=y2=15．
答：单价应降15元．
【解析】【分析】（1）设这两年平均下降率为x，由年的出厂价是144元，年出厂价调整为100元可列出关于x的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（2）设单价降价y元，则每天的销售量是（20+2y）台，根据总利润=每台利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解方程即可求出答案.
（1）设这两年平均下降率为x，
根据题意得：144（1-x）2=100，
解得（舍），%，
答：这两年平均下降率约为16.67%；
（2）设单价降价y元，
则每天的销售量是20+×10=20+2y（台），
根据题意得：（140-100-y）（20+2y）=1250，
整理得：y2-30y+225=0，
解得：y1=y2=15．
答：单价应降15元．
22．（2023九上·修水期中）已知关于x的方程．
（1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形的一边长，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程总有实数根
（2）解：①若为底边长，则为腰长，则．
∴，解得．
此时原方程化为，∴，即．
此时的三边长为6，2，2，不能构成三角形，故舍去．
②若为腰长，则中一个为腰长，不妨设，
代入方程得，∴．
则原方程化为，，
∴，即．
此时的三边长为6，6，2，能构成三角形．
综上所述，的三边长为6，6，2．
∴周长为．
【解析】【分析】（1）根据判别式得出方程有根的结论；
（2）分情况讨论，a为底边或a为腰进行求解，得出结论。
23．（2023九上·遵义月考）“小龙虾”是我县特色农业的拳头产品，在南县被广泛养殖.2020年估计某村养殖面积有100亩，到2022年该村养殖面积达到196亩．
（1）求该村这两年“小龙虾”养殖面积的平均增长率；
（2）某养殖户调查发现，当“小龙虾”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克．为了推广宣传，该养殖户决定降价促销，同时减少存量，已知“小龙虾”的平均成本为12元/千克，若要确保每天获利1750元，则售价应该降低多少元？
【答案】（1）解：设平均增长率为x，
100（1+x）2＝196，
1+x＝±1.4，
x1＝-2.4（舍），x2＝0.4，
答：平均增长率为40%．
（2）解：设售价降低m元，
（20-12-m）（200+50m）＝1750，
m2-4m+3＝0，
m1＝1，m2＝3，
∵减少存量，
∴m＝3．
答：降3元可获利1750元，同时减少了存量．
【解析】【分析】（1）典型的用一元二次方程解决增长率问题，通用公式为中x是增长率，n是增长周期数，；
（2）根据每千克获利每天销售数量=每天总获利这一等量关系列方程求解；为达到推广同时减少库存的目的，解得的x要取大值。
24．（2023九上·宝安月考）据统计，假期第一天前海欢乐港湾摩天轮的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了前海旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
根据题意，得5000（1+x）2＝7200，
解得x1＝0.2，x2＝-2.2（舍去）．
答：平均增长率为20%；
（2）解：设售价应降低m元，
则每天的销量为（500+m）个．
根据题意可得（10-m-5）（500+m）＝2800，
解得m1＝，m2＝1（舍去）．
答：售价应降低元．
【解析】【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，列出关于x的一元二次方程即可；
（2）设售价应降低m元，根据利润公式列出关于m的一元二次方程求解，并结合实际情况判断.
25．（2024九上·长沙开学考）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（﹣1，﹣3）．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 ；②y＝x2﹣1 ；③y＝x2+4 ．
（2）若抛物线y＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝+，求t的最小值；
（3）若函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
【答案】（1）√；√；×
（2）∵抛物线y＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1上存在“一中点”，
∴3x＝y＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1，
整理得
∴Δ＝ 2m＋2≥0，
∴m≤1，
∵
∴t＝，
∴当m＝1时，t有最小值
（3）∵函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上有“一中点”，
∴
x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，
整理得，
∵函数的“一中点”是唯一的，
∴，
∴，
当 1≤c≤2时，b＝c时，a有最小值2 c＝c，
∴c＝1；
当c≥2时，，
解得c＝或（舍去）；
当c≤ 1时，，
整理得，
∴方程无解；
综上所述：c的值为1或3+
【解析】【解答】解：（1）①当3x＝2x 1，解得x＝ 1，
∴点（ 1， 3）在y＝2x 1上，
∴y＝2x 1存在一中点”（ 1， 3），
故答案为：√；
②当3x＝x2﹣1 ，解得
∴点在y＝x2 1 上，
∴y＝x2﹣1上存在两个“一中点”，
故答案为：√；
③当3x＝x2+4 时，
∵Δ＝9 16＜0，
∴y＝x2+4 上不存在“一中点”，
故答案为：×；
【分析】（1）根据“一中点”定义进行判断即可；
（2）由定义可得3x＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1，再由判别式Δ＝m 1≥0，求出m≤1，根据根与系数的关系可得，当m＝1时，t有最小值；
（3）由定义可得x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，由题意可知，得到，当 1≤c≤2时，b＝c时，a有最小值求出c的值；当c≥2时，当b＝2时，a有最小值求出c的值；当c≤ 1时，当b＝ 1时，a有最小值，求出c的值．
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