第二十二章 二次函数（能力提升）（含答案）

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第二十二章 二次函数（能力提升）
一、单选题
1．已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc<0；②4a 2b+c<0；③若A（ ，y1）、B（ ，y2）、C（ ，y3）是抛物线上的三点，则有 ；④若m，n（ ）为方程 的两个根，则 且 ，以上说法正确的有（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
2．如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0
C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0
4．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知抛物线y＝a（x-1）2+h（a＞0）上有两点P1（-1，y1），P2（t，y2），当t≥3时，y1与y2大小关系为（　　）
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
6．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列结论：
①它的图象与x轴有两个交点；
②如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=1；
③如果当x=2时的函数值与x=8时的函数值相等，则m=5．
其中一定正确的结论是　 　．（把你认为正确结论的序号都填上）
8．若二次函数y＝ax2+bx+a2﹣2(a，b为常数)的图象如图，则a＝　 　．
9．当﹣1≤x≤1时，二次函数y=x2﹣3x+4的最小值为　 　．
10．将抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是　 　．
11．已知关于x的函数 ，当0≤x≤3时函数有最大值5，则a=　 　．
12．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2009的值为　 　．
三、计算题
13．一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
14．辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间.按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元.
（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？
（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲.如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用.当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？
四、解答题
15．某超市购进一种商品，进货单价为每件10元在销售过程中超市按相关规定.销售单价不低于1元且不高于19元如果该商品的销售单价x（单位：元/件）与日销售量y（单位：件）满足一次函数关系 ，设该商品的日销售利润为w元，那么当该商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
16．求出下列二次函数的表达式.
（1）二次函数的图象与轴交点的纵坐标为1，且过点和.
（2）二次函数的顶点坐标为，且经过点.
（3）二次函数的图象经过点，且抛物线的对称轴为.
17．已知二次函数的图象顶点是（2，-1），且经过（0，1），求这个二次函数的解析式．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
2．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
4．【答案】A
【知识点】分段函数；二次函数的实际应用-几何问题
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
6．【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质；二次函数y=ax²的图象
7．【答案】①②③
【知识点】二次函数图象的几何变换
8．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
9．【答案】2
【知识点】二次函数的最值
10．【答案】y=（x+2）2﹣3
【知识点】二次函数图象的几何变换
11．【答案】-4
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
12．【答案】2010
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
13．【答案】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
14．【答案】（1）解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元，
根据题意，得： ，
解得 ，
答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；
（2）解：设每天的定价增加了a个20元，则有2a个房间空闲，
根据题意得： ，
∵ ，
∴当 时，m取得最大值，最大值为2560，此时房间的定价为 元.
答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是2560元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
15．【答案】解：根据题意得：
w=（-2x+40）（x-10）
=-2x2+60x-400
=-2（x-15）2+50，
∴当x=15时，w取得最大值，最大值为50.
∵1＜15＜19，
∴x=15符合题意.
∴当该商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
16．【答案】（1）解：∵ 二次函数的图象与轴交点的纵坐标为1，
∴设函数解析式为y=ax2+bx+1，
∵ 图象过点和.
∴
解之：
∴
（2）解：∵ 二次函数的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+1，
由题意得
4a+1=-3，
解之：a=-1
∴
（3）解：∵ 二次函数的图象经过点， 抛物线的对称轴为.
∴设函数解析式为y=a（x-2）2+k，
∴
解之：
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
17．【答案】解：设二次函数的解析式是y=a（x-2）2-1，
把（0，1）代入，得4a=2，即a=
∴该二次函数的解析式是y=（x-2）2-1．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
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