第二十二章二次函数（培优）（含答案）

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第二十二章二次函数（培优）
一、单选题
1．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．
正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a<0）与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且-3①b2-4ac>0 ； ②若点(-，y1)，(，y2)是该抛物线上的点，则y1A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C：y＝x2﹣6x+5在x轴下方的图象沿x轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C在x轴上方的图象记为G，已知直线l：y＝x+m与图象G有两个公共点，求m的取值范围甲同学的结果是﹣5＜m＜﹣1，乙同学的结果是m＞ ．下列说法正确的是（　　）
A．甲的结果符合题意
B．乙的结果符合题意
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（　　）
A．②③④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④⑤
6．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min（﹣x2+3，﹣2x}的最大值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
7．如图，抛物线 （m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线 与直线 有且只有一个交点；②若点 、点 、点 在该函数图象上，则 ；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为 ；④点A关于直线 的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当 时，四边形BCDE周长的最小值为 ．其中正确判断的序号是　 　
8．二次函数y＝x2+bx的对称轴为x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是　 　．
9．如图，把抛物线y= x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y= x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为　 　．
10．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形.若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则　 　.
11．二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：
①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的是　 　．（填写序号）
12．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的序号有　 　
①；②；③；④（为实数）；⑤．⑥不等式的解为．
三、计算题
13．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
14．已知关于的二次函数．
（1）求证：不论为任何实数，方程总有实数根；
（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，为正整数，点与在抛物线上（点不重合），且，求代数式的值．
15．如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
16．定义：对于一次函数（k，m是常数，）和二次函数（a，b，c是常数，），如果，，那么一次函数叫做二次函数的牵引函数，二次函数叫做一次函数的原函数．
（1）若二次函数（a是常数，的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a的值；
（2）已知一次函数是二次函数的牵引函数，在二次函数上存在两点，．若也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图象G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t，且，求m的取值范围．
四、解答题
17．已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）.
（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）若，，则该抛物线的顶点随着k的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的取值范围.
18．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC；
19． 已知二次函数
（1）求二次函数图象的顶点坐标.
（2）当 时，函数的最大值和最小值分别为多少
（3）当 时，函数的最大值为 m，最小值为n，若 求t 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】①③④
8．【答案】﹣1≤t＜8
9．【答案】
10．【答案】或
11．【答案】①③④
12．【答案】①②③⑤
13．【答案】（1）将点A（-1，0），B（4，0）的坐标代入函数的表达式得：
，
解得：b=3，c=4．
抛物线的解析式为y=-x2+3x+4．
（2）如图1所示： ∵令x=0得y=4， ∴OC=4．
∴OC=OB．
∵∠CFP=∠COB=90°， ∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）（a＞0）．
则CF=a，PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|．
∴|a2-3a|=a．
解得：a=2，a=4．
∴点P的坐标为（2，6）或（4，0）．
（3）如图2所示：连接EC． 设点P的坐标为（a，-a2+3a+4）．则OE=a，PE=-a2+3a+4，EB=4-a．
∵S四边形PCEB= OB PE= ×4（-a2+3a+4），S△CEB= EB OC= ×4×（4-a），
∴S△PBC=S四边形PCEB-S△CEB=2（-a2+3a+4）-2（4-a）=-2a2+8a．
∵a=-2＜0，
∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值．
∴P（2，6），△PBC的面积的最大值为8．
14．【答案】（1）解：由题意可知，
∵
∴此方程总有实数根；
综上，不论为任何实数时，方程总有实数根．
（2）解：令，则有
解得：，，
因为抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，
所以，
所以抛物线为．
∵点、在抛物线上，且，
∴
∴
即：，
∵、不重合，
∴，
∴
∴
所以代数式的值为24．
15．【答案】解：（1）由题知点在抛物线上，
得，
解得，
∴，
∴当时，
∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）可以通过，理由如下：
由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）
当x=2或x=10时，，
所以可以通过；
（3）令，即，
可得，
解得
答：两排灯的水平距离最小是.
16．【答案】（1）解：由题意，得二次函数的牵引函数为，联立，
得．
∵二次函数（a是常数，）的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，
∴
解得或．
（2）解：由题意可知原函数的解析式为，
∴当时，；当时，．
，，原函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
∴，
当时，，
∴．
①如答图①，当点M在点A的左侧，
即，时，y随x的增大而减小，
∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，
∴，
解得或（舍去）．
②如答图②，设点A的对称点为，当点M在点A与点之间时，，即，而，不符合题意；
③如答图③，当点M在点的右侧，即，时．y随x的增大而增大，
∴M点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
∴，
解得（舍去）或．
综上所述，或．
17．【答案】（1）解：将点代入得：，
∵二次函数的对称轴为，∴，解得，则此二次函数的表达式为；
（2）∵，
∴顶点的横坐标为：
顶点的纵坐标为：，即
∴当时，顶点移动到最高处，此时抛物线的顶点坐标为
（3）由（1）可知，，
由得：，即，
令，它的对称轴是直线，且开口向上，
∴在内，随x的增大而增大，
要使得当时，总有即，则只需当时，即可，
因此有，
解得.
18．【答案】解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，
由抛物线y=得C（2，0），
∴对称轴为直线x=2，
设B（m，n），
∴CP=m-2，
∵AB∥x轴，
∴AB=2m-4，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，
∴PB=PC=（m-2），
∵PB=n=，
∴（m-2）=，
解得m=，m=2（不合题意，舍去），
∴AB=，BP=，
∴S△ABC=．
19．【答案】（1）解：∴顶点坐标为(3，4)
（2）解：∵a=-1<0，∴抛物线开口向下，∵顶点坐标为(3，4)，∴当x=3时，y最大值=4，∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，∴当x=1时，y最小值=0，∵当3（3）解：或
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