第二十三章 旋转（培优）（含答案）
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第二十三章 旋转（培优）
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )
A． B． C． D．
2．已知，中，，A点在负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方．
①如图所示，若的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为；
②如图，过点作轴于则；
③如图，过点作轴于则；④如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，则；⑤如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，则．上述结论正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，O是正三角形ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 BO'，连接AO'，下列结论：①△BO'A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点 O 与点 O'的距离为4；③∠AOB=150°；(④S四边形AOBO' =6+3 其中正确的结论是( ).
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
4．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到 ， 与BC，AC分别交于点D，E.设 ， 的面积为 ，则 与 的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（ ）
A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤
6．将一副直角三角板按如图所示方式叠放，现将含30°角的三角板固定不动，把含45°角的三角板绕O点按每秒15°的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转的时间为（ ）秒．
A．5 B．7 C．5或17 D．7或19
二、填空题
7．如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，则线段长的最小值为 ．
8．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝ °时，GC＝GB.
9．如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，DC=2BD=4，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，AG.若将正方形DEFG绕D点旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为
10．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，若点P（2023，m）在某段抛物线上，则m＝ ．
11．如图，在正方形中，，对角线、交于点，点是的中点，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°， ，点D、E分别在边AB上，且AD = 2，∠DCE = 45°，那么DE = ．
三、解答题
13．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转得到△A′BO′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．
（1）如图①，若α=90°，求AA′的长；
（2）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；
（3）记K为AB的中点，S为△KA′O′的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
14．将一副直角三角板按如图1 摆放在直线AD 上（直角三角板OBC 和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC 不动，将三角板MON 绕点O 以每秒8°的速度顺时针方向旋转t 秒．
（1）如图2，当t= 秒时，OM 平分∠AOC，此时∠NOC﹣∠AOM= ；
（2）继续旋转三角板MON，如图3，使得OM、ON 同时在直线OC 的右侧，猜想∠NOC与∠AOM 有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）；
（3）直线AD 的位置不变，若在三角板MON 开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O 以每秒2°的速度顺时针旋转，当OM 旋转至射线OD 上时，两个三角板同时停止运动．
①当t= 秒时，∠MOC=15°；
②请直接写出在旋转过程中，∠NOC 与∠AOM 的数量关系（数量关系中不能含t）．
15．一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图1所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点P以每秒15°的速度顺时针旋转，当边与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为t．
（1）当t＝3时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 度；
（2）如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转，．
①用含t的代数式表示：＝ ；＝ ；当t为何值时，？
②从三角尺与三角尺第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结束止，经过的时间t为 秒．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
2．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；旋转的性质
3．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；图形的旋转；旋转的性质
4．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；三角形的面积；含30°角的直角三角形；旋转的性质
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
7．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
8．【答案】60或300
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；旋转的性质
9．【答案】8
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
10．【答案】﹣1
【知识点】旋转的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
11．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；轴对称的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
12．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
13．【答案】（1）解：如图①，
∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA=4，OB=3．
在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=5．
根据题意，△A′BO′是△ABO绕点B逆时针旋转90°得到的，
由旋转是性质可得：∠A′BA=90°，A′B=AB=5，
∴AA′=5
（2）解：如图②，根据题意，由旋转是性质可得：∠O′BO=120°，O′B=OB=3
过点O′作O′C⊥y轴，垂足为C，
则∠O′CB=90°．
在Rt△O′CB中，由∠O′BC=60°，∠BO′C=30°．
∴BC= O′B= ．
由勾股定理O′C= ，
∴OC=OB+BC= ．
∴点O′的坐标为（ ， ）
（3）解：如图③中，
当点O′在AB上时，△KA′O′的面积最小，最小面积= KO′×AO′= ×（3-2.5）×4=1，
当点O′在AB的延长线上时，△KA′O′的面积最大，最大面积= ×KO′×AO′= ×（3+2.5）×4=11．
综上所述，1≤S≤11。
【知识点】三角形的面积；勾股定理；旋转的性质
14．【答案】（1）2.8125；45°
（2）解：∠NOC-∠AOM ＝45°
（3）①∵∠AOB=2t，∠AOM=8t，
∴∠AOC=45°+2t，
∴45°+2t-8t=15°或8t-45°-2t=15°．
解得t=5或10．
②∠NOC-∠AOM=15°．
∵∠AOB=2t，∠AOM=8t，∠MON=90°，∠BOC=45°，
∵∠AON=90°+∠AOM=90°+8t，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+2t，
∴∠NOC=∠AON-∠AOC=90°+8t-45°-2t=45°+6t，
∴∠NOC-∠AOM=15°．
【知识点】角的运算；图形的旋转；角平分线的概念
15．【答案】（1）90
（2）；；
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
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第二十三章 旋转（培优）
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )
A． B． C． D．
2．已知，中，，A点在负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方．
①如图所示，若的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为；
②如图，过点作轴于则；
③如图，过点作轴于则；④如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，则；⑤如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，则．上述结论正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，O是正三角形ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 BO'，连接AO'，下列结论：①△BO'A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点 O 与点 O'的距离为4；③∠AOB=150°；(④S四边形AOBO' =6+3 其中正确的结论是( ).
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
4．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到 ， 与BC，AC分别交于点D，E.设 ， 的面积为 ，则 与 的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（ ）
A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤
6．将一副直角三角板按如图所示方式叠放，现将含30°角的三角板固定不动，把含45°角的三角板绕O点按每秒15°的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转的时间为（ ）秒．
A．5 B．7 C．5或17 D．7或19
二、填空题
7．如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，则线段长的最小值为 ．
8．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝ °时，GC＝GB.
9．如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，DC=2BD=4，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，AG.若将正方形DEFG绕D点旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为
10．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，若点P（2023，m）在某段抛物线上，则m＝ ．
11．如图，在正方形中，，对角线、交于点，点是的中点，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°， ，点D、E分别在边AB上，且AD = 2，∠DCE = 45°，那么DE = ．
三、解答题
13．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转得到△A′BO′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．
（1）如图①，若α=90°，求AA′的长；
（2）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；
（3）记K为AB的中点，S为△KA′O′的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
14．将一副直角三角板按如图1 摆放在直线AD 上（直角三角板OBC 和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC 不动，将三角板MON 绕点O 以每秒8°的速度顺时针方向旋转t 秒．
（1）如图2，当t= 秒时，OM 平分∠AOC，此时∠NOC﹣∠AOM= ；
（2）继续旋转三角板MON，如图3，使得OM、ON 同时在直线OC 的右侧，猜想∠NOC与∠AOM 有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）；
（3）直线AD 的位置不变，若在三角板MON 开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O 以每秒2°的速度顺时针旋转，当OM 旋转至射线OD 上时，两个三角板同时停止运动．
①当t= 秒时，∠MOC=15°；
②请直接写出在旋转过程中，∠NOC 与∠AOM 的数量关系（数量关系中不能含t）．
15．一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图1所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点P以每秒15°的速度顺时针旋转，当边与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为t．
（1）当t＝3时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 度；
（2）如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转，．
①用含t的代数式表示：＝ ；＝ ；当t为何值时，？
②从三角尺与三角尺第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直角边和斜边重叠结束止，经过的时间t为 秒．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；坐标与图形变化﹣旋转；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
2．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；旋转的性质
3．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；图形的旋转；旋转的性质
4．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；三角形的面积；含30°角的直角三角形；旋转的性质
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
7．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
8．【答案】60或300
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；旋转的性质
9．【答案】8
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
10．【答案】﹣1
【知识点】旋转的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
11．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；轴对称的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
12．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
13．【答案】（1）解：如图①，
∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA=4，OB=3．
在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=5．
根据题意，△A′BO′是△ABO绕点B逆时针旋转90°得到的，
由旋转是性质可得：∠A′BA=90°，A′B=AB=5，
∴AA′=5
（2）解：如图②，根据题意，由旋转是性质可得：∠O′BO=120°，O′B=OB=3
过点O′作O′C⊥y轴，垂足为C，
则∠O′CB=90°．
在Rt△O′CB中，由∠O′BC=60°，∠BO′C=30°．
∴BC= O′B= ．
由勾股定理O′C= ，
∴OC=OB+BC= ．
∴点O′的坐标为（ ， ）
（3）解：如图③中，
当点O′在AB上时，△KA′O′的面积最小，最小面积= KO′×AO′= ×（3-2.5）×4=1，
当点O′在AB的延长线上时，△KA′O′的面积最大，最大面积= ×KO′×AO′= ×（3+2.5）×4=11．
综上所述，1≤S≤11。
【知识点】三角形的面积；勾股定理；旋转的性质
14．【答案】（1）2.8125；45°
（2）解：∠NOC-∠AOM ＝45°
（3）①∵∠AOB=2t，∠AOM=8t，
∴∠AOC=45°+2t，
∴45°+2t-8t=15°或8t-45°-2t=15°．
解得t=5或10．
②∠NOC-∠AOM=15°．
∵∠AOB=2t，∠AOM=8t，∠MON=90°，∠BOC=45°，
∵∠AON=90°+∠AOM=90°+8t，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+2t，
∴∠NOC=∠AON-∠AOC=90°+8t-45°-2t=45°+6t，
∴∠NOC-∠AOM=15°．
【知识点】角的运算；图形的旋转；角平分线的概念
15．【答案】（1）90
（2）；；
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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