第二十四圆（培优）（含答案）
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第二十四圆（培优）
一、单选题
1．如图，点C是以点O为圆心、AB为直径的半圆上的一个动点（点C不与点A、B重合），如果AB=4，过点C作CD⊥AB于D，设弦AC的长为x，线段CD的长为y，那么在下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，点E为 的内心，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ， ，则MN的长为（ ）
A．3.5 B．4 C．5 D．5.5
3．如图，在中，，点D、E分别是的中点．将绕点A顺时针旋转，射线与射线交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：
①；②存在最大值为；③存在最小值为；④点P运动的路径长为．其中，正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
4．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
5．等腰△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径的圆O，与底边BC交于P，若圆O与腰AC的交点Q关于直线AP的对称点落在线段OA上（不与端点重合），则下列说法正确的是（ ）
A．∠BAC＞60° B．30°＜∠ABC＜60°
C．BP＞AB D．AC＜PQ＜AC
6．如图，点C是⊙O上一点，⊙O的半径为 ，D、E分别是弦AC、BC上一动点，且OD=OE= ，则AB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在中，，，以为直径作半圆，过点作半圆的切线，切点为，过点作交于点，则 ．
8．如图，中，，中，，直线与交于P，当绕点A任意旋转的过程中，P到直线距离的最大值是 .
9．如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线PQ，Q为切点，则的最小值为 ．
10．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF=45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为 ．
11．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8．⊙O经过B、C两点，且AO=4，则⊙O的半径长是 ．
12．如图，100枚1元硬币按的方法不重叠地放在正方形框中，设1元硬币的半径为r．
（1）正方形框的边长为 （用含r的代数式表示）．
（2）在该正方形框中，最多能不重叠地放置 枚硬币．
三、解答题
13． 如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，交于点，交于点，连接，．
（1）试判断与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，，求图中阴影部分的面积．
14．如图，锐角三角形ABC内接于圆O，过圆心O且垂直于半径OA的直线分别交AB、AC于点E、F. 设圆O在B、C两点处的切线交于点P.
证明：直线AP平分线段EF.
15．如1图，是直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点C作，交于点E，连接．
（1）连接，求证：垂直平分．
（2）如2图，过点D作的切线交的延长线于点F，连接交于点M，连接，若且，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的图象；勾股定理；圆周角定理
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的内切圆与内心
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
4．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用；圆内接正多边形
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；垂径定理
7．【答案】
【知识点】圆的综合题
8．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；确定圆的条件；三角形全等的判定-SAS
9．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；直角三角形斜边上的中线
10．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
11．【答案】 ，
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理
12．【答案】；106
【知识点】切线的性质；圆与圆的位置关系
13．【答案】（1）解：是的切线，理由：
证明：设，则，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理的应用；切线的判定与性质
14．【答案】证明：过点P作EF的平行线，分别于AB、AC的延长线交于点M、N.则 因为PB为 的切线，所以， ∠PMB=∠ACB=∠PBM 于是，PM=PB.同理，PN=PC.因为PB=PC，所以PM=PN，即AP平分线段MN.而EF∥MN，故直线AP平分线段EF.
【知识点】切线的性质
15．【答案】（1）证明：如下图所示，设交于点F，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴垂直平分；
（2）解：如下图所示，设交于点N，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；圆周角定理；切线的性质
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第二十四圆（培优）
一、单选题
1．如图，点C是以点O为圆心、AB为直径的半圆上的一个动点（点C不与点A、B重合），如果AB=4，过点C作CD⊥AB于D，设弦AC的长为x，线段CD的长为y，那么在下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，点E为 的内心，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ， ，则MN的长为（ ）
A．3.5 B．4 C．5 D．5.5
3．如图，在中，，点D、E分别是的中点．将绕点A顺时针旋转，射线与射线交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：
①；②存在最大值为；③存在最小值为；④点P运动的路径长为．其中，正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
4．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
5．等腰△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径的圆O，与底边BC交于P，若圆O与腰AC的交点Q关于直线AP的对称点落在线段OA上（不与端点重合），则下列说法正确的是（ ）
A．∠BAC＞60° B．30°＜∠ABC＜60°
C．BP＞AB D．AC＜PQ＜AC
6．如图，点C是⊙O上一点，⊙O的半径为 ，D、E分别是弦AC、BC上一动点，且OD=OE= ，则AB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在中，，，以为直径作半圆，过点作半圆的切线，切点为，过点作交于点，则 ．
8．如图，中，，中，，直线与交于P，当绕点A任意旋转的过程中，P到直线距离的最大值是 .
9．如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线PQ，Q为切点，则的最小值为 ．
10．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF=45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为 ．
11．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8．⊙O经过B、C两点，且AO=4，则⊙O的半径长是 ．
12．如图，100枚1元硬币按的方法不重叠地放在正方形框中，设1元硬币的半径为r．
（1）正方形框的边长为 （用含r的代数式表示）．
（2）在该正方形框中，最多能不重叠地放置 枚硬币．
三、解答题
13． 如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，交于点，交于点，连接，．
（1）试判断与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，，求图中阴影部分的面积．
14．如图，锐角三角形ABC内接于圆O，过圆心O且垂直于半径OA的直线分别交AB、AC于点E、F. 设圆O在B、C两点处的切线交于点P.
证明：直线AP平分线段EF.
15．如1图，是直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点C作，交于点E，连接．
（1）连接，求证：垂直平分．
（2）如2图，过点D作的切线交的延长线于点F，连接交于点M，连接，若且，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数的图象；勾股定理；圆周角定理
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的内切圆与内心
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
4．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用；圆内接正多边形
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；垂径定理
7．【答案】
【知识点】圆的综合题
8．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；确定圆的条件；三角形全等的判定-SAS
9．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质；直角三角形斜边上的中线
10．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
11．【答案】 ，
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理
12．【答案】；106
【知识点】切线的性质；圆与圆的位置关系
13．【答案】（1）解：是的切线，理由：
证明：设，则，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理的应用；切线的判定与性质
14．【答案】证明：过点P作EF的平行线，分别于AB、AC的延长线交于点M、N.则 因为PB为 的切线，所以， ∠PMB=∠ACB=∠PBM 于是，PM=PB.同理，PN=PC.因为PB=PC，所以PM=PN，即AP平分线段MN.而EF∥MN，故直线AP平分线段EF.
【知识点】切线的性质
15．【答案】（1）证明：如下图所示，设交于点F，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴垂直平分；
（2）解：如下图所示，设交于点N，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；圆周角定理；切线的性质
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