第二十一章 一元二次方程（培优）（含答案）

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第二十一章 一元二次方程（培优）
一、单选题
1．已知关于x的方程有且仅有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C．或 D．或
2．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （　　）
A． B． C． D． 或-1
3．关于的一元二次方程的两个根为，且．下列说法正确是（　　）
①；②；③④关于x的一元二次方程的两个相头．
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①③④
4．对于一元二次方程 下列说法：①当 时，则方程 一定有一根为 ；②若 则方程 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 的一个根，则一定有 ；④若 ，则方程 有两个不相等的实数根．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④
5． 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（　　）
A．52 B．60 C．68 D．76
6．已知关于x的一元四次方程x4+px2+qx+r=0有三个相等的实根和另一个与之不同的实根，则下列三个命题中真命题有（　　）个
①p+q=r可能成立；②p+r=q可能成立；③q+r=p可能成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是 　 　.
8．某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为　 　；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为　 　．
9．已知 则代数式：的值为　 　.
10．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2）， =　 　．
11．设a，b是方程x2+x-9=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　 　．
12．若（为实数），则的最小值为　 　.
三、计算题
13．已知关于 的一元二次方程 的两个整数根恰好比方程 的两个根都大1，求 的值.
14．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式关于 对称；
（2）若关于的多项式关于对称，则 ；
（3）关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
15．解方程：．
16．解方程．
四、解答题
17．已知方程(m＋1)x2＋2x－5m－13＝0的根均为整数，求实数m的值.
18．王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22-22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x-1）2+3的最小值为　 　．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
19．已知关于x的方程．
（1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形的一边长，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】k≥﹣6
8．【答案】；
9．【答案】6
10．【答案】
11．【答案】8
12．【答案】-2
13．【答案】解：设方程 的两个根为 ，其中 为整数，且 ≤ ，则方程 的两根为 ，由题意得 ，两式相加得 ， 即 ，所以 或 解得 或 又因为 所以 ；或者 ，故 ，或29.
14．【答案】（1）-3
（2）4
（3）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得
15．【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
得：，
，
把代入得：，
解得：或，
当时，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：；
当时，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：；
原方程组的解为：或
16．【答案】解：根据题意可知，
∴，
，
，
设，
∴，
∴，
解得：或，即或，
∴或，
解得：，，，，
经检验：，，，是方程的解，
∴，，，．
17．【答案】解：若，则，此时，满足题意；
若，即，此时方程为一个一元二次方程，，
即，由韦达定理可知，，
从而，，不妨令
则，，或，，解得，，或，，算得对应的或，均满足判别式，综上所述，，或
18．【答案】（1）3
（2）解：x2+10x+32＝x2+10x+25-25+32＝（x+5）2+7，
∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7．
当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值是7，
∴x2+10x+32的最小值是7；
（3）解：
＝-（x2-6x）+5
＝-（x2-6x+9-9）+5
＝-（x-3）2+3+5
＝-（x-3）2+8，
∵（x-3）2≥0，
∴-（x-3）2≤0，
∴-（x-3）2+8≤8，
∴当（x-3）2＝0时，-x2+2x+5有最大值，最大值是8．
19．【答案】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程总有实数根
（2）解：①若为底边长，则为腰长，则．
∴，解得．
此时原方程化为，∴，即．
此时的三边长为6，2，2，不能构成三角形，故舍去．
②若为腰长，则中一个为腰长，不妨设，
代入方程得，∴．
则原方程化为，，
∴，即．
此时的三边长为6，6，2，能构成三角形．
综上所述，的三边长为6，6，2．
∴周长为．
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