数的开方与二次根式复习学案
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文档简介
数的开方与二次根式
〖知识点〗
平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、
同类二次根式、二次根式运算、分母有理化
〖课标要求〗
1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；
2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；
3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
内容分析
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式 式子叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．
(2)最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
(3)同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
3．二次根式的运算
(1)二次根式的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．
(2)三次根式的乘法
二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即
二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．
(3)二次根式的除法
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．
〖考查重点与常见题型〗
1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。
2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。
3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。
考查题型
1．下列命题中，假命题是（ ）
（A）9的算术平方根是3 （B）的平方根是±2
（C）27的立方根是±3 （D）立方根等于－1的实数是－1
2．在二次根式， ， ， ， 中，最简二次根式个数是（ ）
（A） 1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（2）下列各组二次根式中，同类二次根式是（ ）
（A），3 （B）3， （C）， （D），
3. 化简并求值，＋，其中a＝2＋，b＝2－
4．＋1的倒数与－的相反数的和列式为 ，计算结果为
5．（－）2的算术平方根是 ，27的立方根是 ，的算术平
方根是 ，的平方根是 .
考点训练：
1．如果x2＝a，已知x求a的运算叫做 ，其中a叫做x的 ；已知a求x的运算叫做 ，其中x叫做a的 。
2．(－)2的平方根是 ，9的算术平方根是 ， 是－64的立方根。
3．当a<0时，化简∣a∣＋＋＝ 。
4．若=2.249，=7.114，=0.2249，则x等于（ ）
（A）5.062 （B）0.5062 （C）0.005062 （D）0.05062
5．设x是实数，则(2x＋3)(2x－5)＋16的算术平方根是（ ）
（A）2x－1 （B）1－2x （C）∣2x－1∣ （D）∣2x＋1∣
6．x为实数，当x取何值时，下列各根式才有意义：
（1）（ ）（2） （ ）（3）（ ）
（4） eq \f(1, ) （ ）(5) eq \f(1, 1－) （ ）（6）＋（ ）
7．等式＝ eq \f(\r(3－x), ) 成立的条件是（ ）
（A）－2－2 （D）x≤3
8．计算及化简：
（1）(－7)2 （2） （3）
（4）（b>1） （5）（x>3y）
（6）(－6)(4＋)－(2－3)2
（7）已知方程4ｘ2－2ａｘ＋2ａ－3＝0无实数根，
化简＋｜ａ－6｜
解题指导
1．下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．已知=0.794，=1.710，=3.684，则等于（ ）
（A）7.94 （B）17.10 （C）36.84 （D）79.4
3．当1（A）－1 （B）2x－1 （C）1 （D）3－2x
4．＋()2的值一定是（ ）
（A）0 （B）4－2x （C）2x－4 （D）4
5．比较大小：
（1）3 （2）－ 2－1 （3）－ －
6．化简：（2b>a）
7．计算：（＋－2）－（－）
8．已知a＝，b＝，求a2－5ab＋b2的值。
9．计算：9÷3× 10．化简：
11.设的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，求ａ2＋ａｂ＋ｂ2的值。
独立训练
1．－的倒数是 ；－的绝对值是 。
2．的有理化因式是 ，的有理化因式是 。
3．与的关系是 。
4．三角形三边a＝7，b＝4，c＝2，则周长是 。
5．直接写出答案：
（1）·÷＝ ，（2）= ，（3）(－2)8(＋2)8= 。
6．如果－的相反数与＋互为倒数，那么（ ）
（A）a、b中必有一个为0 （B）∣a∣＝∣b∣（C）a＝b＋1 （D）b＝a＋1
7．如果＋＝（x－2）＋（3－x），那么x的取值范围是（ ）
（A）x≥3 （B）x≤2 （C）x>3 （D）2≤x≤3
8．把（a－b）化成最简二次根式，正确的结果是（ ）
（A） （B） （C）－ （D）－
9．化简－3x－＋的结果必为（ ）
（A）正数 （B）负数 （C）零 （D）不能确定
10．计算及化简：
（1）（5··3） （2）＋－4－2(＋1)0
（3）（－+）÷ （4） （a>b）
11.已知＝,求÷(－的值x－2)。
12.先化简,再求值:( eq \f(ｘ＋2+y,＋) + eq \f(1,- ) )+ eq \f(ｘ- y+1,)
其中x=2 - ,y=2 +
13.设的整数部分为m，小数部分为n，求代数式m＋n＋的值。
14.试求函数ｔ＝2－的最大值和最小值。
15.如果ａ＋ｂ＋｜－1｜＝4＋2－4，那么ａ＋2ｂ－3ｃ的值
〖知识点〗
平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、
同类二次根式、二次根式运算、分母有理化
〖课标要求〗
1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；
2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；
3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
内容分析
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式 式子叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．
(2)最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
(3)同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
3．二次根式的运算
(1)二次根式的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．
(2)三次根式的乘法
二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即
二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．
(3)二次根式的除法
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．
〖考查重点与常见题型〗
1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。
2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。
3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。
考查题型
1．下列命题中，假命题是（ ）
（A）9的算术平方根是3 （B）的平方根是±2
（C）27的立方根是±3 （D）立方根等于－1的实数是－1
2．在二次根式， ， ， ， 中，最简二次根式个数是（ ）
（A） 1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（2）下列各组二次根式中，同类二次根式是（ ）
（A），3 （B）3， （C）， （D），
3. 化简并求值，＋，其中a＝2＋，b＝2－
4．＋1的倒数与－的相反数的和列式为 ，计算结果为
5．（－）2的算术平方根是 ，27的立方根是 ，的算术平
方根是 ，的平方根是 .
考点训练：
1．如果x2＝a，已知x求a的运算叫做 ，其中a叫做x的 ；已知a求x的运算叫做 ，其中x叫做a的 。
2．(－)2的平方根是 ，9的算术平方根是 ， 是－64的立方根。
3．当a<0时，化简∣a∣＋＋＝ 。
4．若=2.249，=7.114，=0.2249，则x等于（ ）
（A）5.062 （B）0.5062 （C）0.005062 （D）0.05062
5．设x是实数，则(2x＋3)(2x－5)＋16的算术平方根是（ ）
（A）2x－1 （B）1－2x （C）∣2x－1∣ （D）∣2x＋1∣
6．x为实数，当x取何值时，下列各根式才有意义：
（1）（ ）（2） （ ）（3）（ ）
（4） eq \f(1, ) （ ）(5) eq \f(1, 1－) （ ）（6）＋（ ）
7．等式＝ eq \f(\r(3－x), ) 成立的条件是（ ）
（A）－2
8．计算及化简：
（1）(－7)2 （2） （3）
（4）（b>1） （5）（x>3y）
（6）(－6)(4＋)－(2－3)2
（7）已知方程4ｘ2－2ａｘ＋2ａ－3＝0无实数根，
化简＋｜ａ－6｜
解题指导
1．下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．已知=0.794，=1.710，=3.684，则等于（ ）
（A）7.94 （B）17.10 （C）36.84 （D）79.4
3．当1
4．＋()2的值一定是（ ）
（A）0 （B）4－2x （C）2x－4 （D）4
5．比较大小：
（1）3 （2）－ 2－1 （3）－ －
6．化简：（2b>a）
7．计算：（＋－2）－（－）
8．已知a＝，b＝，求a2－5ab＋b2的值。
9．计算：9÷3× 10．化简：
11.设的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，求ａ2＋ａｂ＋ｂ2的值。
独立训练
1．－的倒数是 ；－的绝对值是 。
2．的有理化因式是 ，的有理化因式是 。
3．与的关系是 。
4．三角形三边a＝7，b＝4，c＝2，则周长是 。
5．直接写出答案：
（1）·÷＝ ，（2）= ，（3）(－2)8(＋2)8= 。
6．如果－的相反数与＋互为倒数，那么（ ）
（A）a、b中必有一个为0 （B）∣a∣＝∣b∣（C）a＝b＋1 （D）b＝a＋1
7．如果＋＝（x－2）＋（3－x），那么x的取值范围是（ ）
（A）x≥3 （B）x≤2 （C）x>3 （D）2≤x≤3
8．把（a－b）化成最简二次根式，正确的结果是（ ）
（A） （B） （C）－ （D）－
9．化简－3x－＋的结果必为（ ）
（A）正数 （B）负数 （C）零 （D）不能确定
10．计算及化简：
（1）（5··3） （2）＋－4－2(＋1)0
（3）（－+）÷ （4） （a>b）
11.已知＝,求÷(－的值x－2)。
12.先化简,再求值:( eq \f(ｘ＋2+y,＋) + eq \f(1,- ) )+ eq \f(ｘ- y+1,)
其中x=2 - ,y=2 +
13.设的整数部分为m，小数部分为n，求代数式m＋n＋的值。
14.试求函数ｔ＝2－的最大值和最小值。
15.如果ａ＋ｂ＋｜－1｜＝4＋2－4，那么ａ＋2ｂ－3ｃ的值