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11.5 因式分解 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十一章
课题 11.5 因式分解 课时 1课时
课标要求 依据《义务教育数学课程标准》要求，学生需深入理解因式分解的核心内涵，熟练掌握提公因式法与公式法（限定直接应用公式不超过二次，指数为正整数）完成因式分解操作。通过系统学习因式分解，旨在全面提升学生的运算素养与逻辑推理能力，助力学生洞察数学知识间的内在逻辑脉络，深刻感知数学知识体系的整体性与连贯性 。
教材分析 本节教材以贴近生活的实际问题为切入点，引导学生自然地理解因式分解的概念内涵。在此基础上，系统讲解提公因式法、公式法（包含平方差公式与完全平方公式）等核心方法。通过由浅入深的例题示范与梯度化练习设计，助力学生实现从概念认知到方法运用的能力跃迁，逐步构建扎实的因式分解运算技能。
学情分析 八年级学生已经掌握了整式的加、减、乘、除运算，对代数式的变形有了一定的认识，具备了一定的运算能力和逻辑思维能力。但因式分解作为一种新的代数式变形方式，与整式乘法的思维过程相反，学生在理解和运用上可能会存在一定的困难。学生在之前的数学学习中，已经积累了一定的自主学习和合作学习的经验，但在面对较为复杂的因式分解问题时，部分学生可能会出现分析问题不全面、方法选择不当等情况，需要教师在教学过程中加以引导和启发。
核心素养目标 1.通过对具体多项式进行因式分解的过程，抽象出因式分解的概念和一般方法，培养学生从具体到抽象的思维能力。 2.在探究因式分解方法的过程中，引导学生通过观察、比较、分析、归纳等方法，推导出因式分解的公式和法则，培养学生的逻辑推理能力。 3.让学生熟练掌握提公因式法、公式法等因式分解的方法，能够准确、迅速地对多项式进行因式分解，提高学生的数学运算能力。
教学重点 1.理解因式分解的概念，掌握因式分解与整式乘法的关系。 2.熟练掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解。
教学难点 1.灵活运用提公因式法、公式法等方法进行因式分解，特别是对多项式进行适当的变形，使其符合公式的形式。 2.培养学生在因式分解过程中的观察能力、分析能力和创新思维能力。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新【想一想】1.怎样计算单项式乘以多项式？单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加.2.怎样计算两数和乘以这两数的差？两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差3.怎样计算两数和（差）的平方？两数和（差）的平方，等于这两数的平方和加上（减去）它们的积的 2倍. 学生思考并回答问题。 通过复习相关知识，为学习因式分解做好知识铺垫，激发学生学习新知识的兴趣和信心。
二、探究 回忆 运用前面所学的知识填空（1）m ( a + b + c ) =_____ma+mb+mc_____________;（2）(a + b)(a - b) =________a2 - b2____________;（3）(a + b)2 =______a2+2ab+b2____________.试一试 观察上面三个等式，填空.（1）ma + mb + mc =__m ( a + b + c ) _____;（2）a2 - b2 =____(a + b)(a - b)_______;（3）a2+2ab+b2 =___(a + b)2_____.你能发现什么？“回忆”中的三个等式是我们已熟悉的整式的乘法运算，而“试一试”中的三个等式，其运算过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几个整式的积的形式.把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.观察ma + mb + mc中的每一项，你能发现什么？多项式ma +mb +mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式.把公因式提出来，多项式ma +mb+mc就可以分解成两个因式m 和 ( a +b +c)的乘积了.像这种因式分解的方法，叫做提公因式法.想一想：怎样用提公因式法进行因式分解？第一步，确定公因式1.确定系数：取多项式各项系数的最大公约数。若系数有负号，通常提取负号，使括号内首项为正。2.确定字母：取多项式各项中都含有的相同字母。3.确定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个。例如8a3b2+12ab3c 中8和12的最大公约数是 4，相同字母 a的最低次幂是 a，相同字母 b的最低次幂是b2，所以公因式是4ab2.第二步，将多项式的每一项除以公因式，所得的商作为另一个因式.如（8a3b2+12ab3c）÷4ab2=2a2+3bc.第三步，将公因式与另一个因式相乘。所以8a3b2+12ab3c因式分解为4ab2（2a2+3bc）【例】把下列多项式分解因式：(1)3a +3b；(2) 5x-5y+5z；(3) - 5a2+ 25a；(4) 3a2 - 9ab；解：(1)3a +3b= 3（a +b）；(2) 5x-5y+5z= 5（x - y + z）；(3) - 5a2+ 25a= -5a( a-5 )；(4) 3a2 - 9ab= 3a( a - 3b ).探究公式法分解因式（2）a2 - b2 =(a + b)(a - b);（3）a2+2ab+b2 =(a + b)2.“试一试”中的小题(2)和小题(3)，实际上是将乘法公式反过来用，来进行因式分解的.这种因式分解的方法称为公式法.观察a2 - b2 =(a + b)(a - b)，说一说这个公式的特点.本题是用平方差公式进行因式分解的形式，其特点为左边是一个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数的和与这两个数的差的积。平方差公式因式分解的步骤：1.确定a和b：将多项式中的两项分别写成平方形式，确定对应的底数a和b。如，4x2-9可写成 ( 2x )2- 32，此时a=2x，b=3。2.应用平方差公式：根据公式a2 - b2 =(a + b)(a - b)，将多项式分解为两个二项式的乘积。如，4x2-9=(2x+3)(2x - 3)。观察a2+2ab+b2 =(a + b)2，说一说这个公式的特点.本题是用完全平方公式进行因式分解的形式，其特点为左边是一个三项式，其中两项是两个数的平方和，另一项是这两个数乘积的 2 倍；右边是这两个数和的平方。完全平方公式因式分解的步骤：1.先找两个数的平方，确定a，b，再验证第三项是否为两数ab乘积的2倍。如16x2+24x+9可写成( 4x )2+2×4×3+32，此时a=4x，b=3。2.应用完全平方公式：根据公式a2+2ab+b2 =(a + b)2，将多项式因式分解。如，16x2+24x+9=( 4x+3 )2。【例】把下列多项式分解因式：（1）x2 - 4y2； （2）25x2- 16y2；（3）m2+6mn+9n2 ；（4）x2 + 4xy +4y2. 解：（1）x2 - 4y=x2 - （2y）2= （x + 2y）（x - 2y）；（2） 25x2- 16y2=（5x）2 -（4y）2= （5x + 4y）（5x - 4y）；（3）m2+6mn+9n2 = m2+6mn+（3n）2=( m+3n )2；（4）x2 + 4xy +4y2= x2 + 4xy +（2y）2=( x +2y)2.【例2】把下列多项式分解因式：（1）4x3y - 4x2y2+xy3； （2）3x3 - 12xy2； 解：（1）4x3y - 4x2y2+xy3 =xy（4x2 - 4xy+y2） =xy（2x - y）2.（2）3x3 - 12xy2 =3x（x2 - 4y2） =3x[ x2 - （2y）2] =3x（x+2y）（x-2y）对于因式分解应注意以下几点：（1）分解的对象必须是多项式；（2）有时需要先把多项式进行适当变形，然后再把它因式分解；（3）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；（4）要分解到不能分解为止. 认真倾听教师讲解，观察等式特点，理解因式分解的概念，并通过教师给出的例子，加深对概念的认识。仔细观察多项式，与教师一起分析各项的公因式，学习提公因式法的步骤，并认真观看教师的例题示范，理解提公因式法的运用。回忆平方差公式，理解其逆向变形在因式分解中的应用，观察教师给出的例题，分析多项式是否符合平方差公式的特点，并尝试运用公式进行因式分解。复习完全平方公式，理解其在因式分解中的逆向运用，观察例题中多项式的特点，判断是否符合完全平方公式，学习运用公式进行因式分解。独立完成练习题，将解题过程写在练习本上。对于遇到的困难，及时向教师或同学请教。 通过具体的例子，让学生直观地感受因式分解的概念，理解因式分解与整式乘法的互逆关系，为后续学习因式分解的方法奠定基础。通过具体的多项式，引导学生逐步掌握提公因式法的概念和步骤，培养学生的观察能力和运算能力。通过对平方差公式的回顾和逆向运用，让学生掌握用平方差公式进行因式分解的方法，培养学生的逆向思维能力。使学生掌握完全平方公式在因式分解中的应用，提高学生对公式的灵活运用能力和对多项式结构特征的分析能力。通过有针对性的练习，让学生巩固所学的因式分解方法，提高学生的运算能力和解题能力，同时让教师了解学生对知识的掌握情况，以便及时调整教学策略。
三、尝试 【知识技能类作业】必做题：1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是( C ).A. x2-2x-1=x(x - 2)-1B. (a + b)(a - b) =a2 - b2C. x2- 2x+1=(x - 1)2D. x2+ 1 =(x + 1)22. 下列各组式子中，没有公因式的是( B ).A. -a2 + ab与ab2 - a2bB. mx + y与x + yC. (a + b)2与-a- bD. 5m(x - y)与 y - x3.下列多项式中，不能用提公因式法分解因式的是( C ).A. 6x2- 3yB. x2y - xy2C. x2 + 2xy + y2D. 16x3y2z + 8x2y34. 将下列各式分解因式：（1）12a2b-18ab2 - 24a3b3 ;（2）(x + 2)2 - (x + 2) ;（3）-9 +36x2y2 ;解：（1）原式= 6ab( 2a - 3b - 4a2b2 ).（2）原式= ( x + 2 )( x +2 -1 )= (x + 2)( x +1 ).（3）原式= 36x2y2 - 9=(6xy + 3)( 6xy - 3 ).5. 若多项式4x2- mxy + 9y2能用两数和(差)的平方公式因式分解，则m的值是（ D ）.A. 6 B. ±6 C. 12 D. ±126. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2 - ab =ac - bc，试判断△ABC的形状，并说明理由.解：△ABC是等腰三角形，理由:因为a2 - ab =ac - bc，所以a(a-b) =c(a-b)，所以a(a-b)-c(a-b)=0，所以( a-b)(a- c)=0，所以a-b=0或a-c=0，即a=b或a =c，所以△ABC是等腰三角形.【综合拓展类作业】7.（1）已知x - y=5，xy = 6，求x (x +y)(x - y) - x( x - y)2的值；解：因为 x - y= 5，xy = 6，所以原式= x(x - y)[ (x + y)-( x - y ) ] =2xy ( x - y ) =2×6×5 =60.7.（2）已知实数m满足m2- m - 1=0，求2m3-3m2-m+9的值.解： 因为m2- m - 1=0，所以原式= 2m3- 2m2- 2m - m2+m+9=(2m3 - 2m2 - 2m)-(m2 - m - 1)+8= 2m(m2 - m - 1)-(m2 - m - 1)+8= 2m×0 - 0+8=8. 积极参与小组练习，认真完成练习题，与小组同学交流自己的计算过程和结果，互相帮助，共同提高。认真听取教师和同学的点评，及时纠正自己的错误。 通过课堂练习，让学生在实践中巩固所学的的知识，进一步提高运算能力和解题能力。小组合作练习可以培养学生的合作交流能力和团队协作精神，让学生在交流中拓宽思路，发现自己的不足之处，及时进行改进。
五、提升 适时小结，兴趣延伸引导学生回顾本节课所学的主要内容，包括因式分解的概念、提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等，强调因式分解的方法和注意事项，并对学生在课堂上的表现进行总结评价，肯定学生的优点，指出存在的不足。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 11.5 因式分解1. 因式分解定义2. 提公因式法3 .公式法 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】必做题：1.对于①(x + 1)(x - 1) =x2 - 1；② x - 2xy =x(1 - 2y)从左到右的变形，表述正确的是( C ).A.都是乘法运算 B.都是因式分解C.①是乘法运算，②是因式分解 D.①是因式分解，②是乘法运算2. 多项式-6xyz + 3xy2 - 9x3y的公因式是( C ).A. -3xB. 3xzC. 3yzD. 3xy3.把下列多项式分解因式：(1) 4x2 +y2 - 4xy; (2) 3x2 - 18xy + 27y2; (3) -y3+4xy2 - 4x2y.解：（1）原式=( 2x )2 + y2- 2 × 2xy=( 2x-y )2.（2）原式= 3(x2 - 6xy +9y2)= 3( x - 3y )2.（3）原式= - y( y2 - 4xy + 4x2 )= - y( y-2x )2.4. 把多项式x2 - ( y2 - 4y +4 )分解因式的结果是（ B ）A. (x + y +2)( x - y - 2)B. (x + y-2)(x - y +2)C. (x + y + 2)(x + y+2)D. (x - y +2)(x + y + 2)【综合拓展类作业】5. 学完“因式分解”之后，某数学兴趣小组对多项式(x2 - 2x)( x2 - 2x + 2) + 1进行因式分解，过程如下:解：设x2- 2x =y.则原式= y(y + 2) + 1= y2 + 2y +1= (y + 1)2= ( x2- 2x+1 )2.（1）该小组因式分解的结果是否彻底？答：___不彻底__（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出正确的结果：______（x-1）4___；（2）该过程用到的因式分解方法是__公式法______；(3)请你模仿上面的方法对多项式(x2 - 4x +2) · (x2 - 4x +6)+4进行因式分解.解：设x2 - 4x=y.则原式= (y + 2)(y + 6)+4= y2 + 8y +12 +4 =y2 +8y+16= (y + 4)2 =(x2 - 4x+4)2 = [(x - 2)2 ]2 =( x-2 ) 4.
教学反思 在本节课的教学过程中，通过实际问题导入，激发了学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的联系。在讲解因式分解的概念和方法时，注重引导学生观察、分析、归纳，培养了学生的数学思维能力。课堂练习环节，大部分学生能够掌握提公因式法、平方差公式和完全平方公式进行因式分解，但仍有部分学生存在一些问题，如公因式提取不彻底、对公式的特点把握不准确等。在今后的教学中，应加强对这些学生的个别辅导，针对学生存在的问题进行有针对性的练习。
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第十一章
课标要求 1.探索并了解正整数幂的运算法则（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），并会运用它们进行计算。 2.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式乘法运算。 3.会由整式的乘法推导出乘法公式，了解两个乘法公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。 4.探索并了解单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则，并能进行简单的整式除法运算。 5.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，从中体会事物之间可以互相转换的辩证思想。
内容分析 全章共包含幂的运算、整式的乘法、乘法公式、整式的除法、因式分解这几节内容。幂的运算性质是学习整式乘法的基础，这 4 个运算性质都是根据乘方的意义，通过找规律，由特殊到一般，从而归纳出来的法则。在掌握幂的运算性质后，其第一个直接的应用，便是开始安排单项式乘法，而运用多项式乘法法则进行多项式乘法的关键是熟练掌握单项式乘法。在学生掌握了单项式乘法的基础上，利用运算律就能进一步进行单项式与多项式乘法及多项式与多项式乘法。学习多项式的乘法之后，将某些具有特殊形式的多项式相乘的式子及结果，写成公式的形式，就是乘法公式。将整式乘法按相反方向变形，便是因式分解。
学情分析 学生在之前已经学习了整式的概念及加减法运算，对代数式有了一定的认识，这为本章整式乘除的学习奠定了基础。但整式的乘除运算涉及到更多的运算法则和公式推导，对于八年级学生来说，从具体数字运算过渡到抽象的字母运算，在理解和应用上可能存在一定困难。特别是在处理复杂的多项式乘法或除法，以及乘法公式的灵活运用时，部分学生可能会感到困惑。此外，学生在进行运算时，容易出现符号错误、指数运算错误等问题 。
单元目标 （一）教学目标1.学生能够熟练掌握正整数幂的运算法则，准确进行同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算。2.深入理解并能运用单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，进行准确的整式乘法运算。3.清晰掌握单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则，完成简单的整式除法运算。4.理解因式分解的意义，熟练运用提取公因式法和公式法进行因式分解。5.通过对幂的运算法则、整式乘除法法则及因式分解方法的探究过程，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，提升逻辑思维水平。（二）教学重点、难点重点1.整式乘除法运算法则及其应用；2.乘法公式的理解和运用；3.因式分解的两种基本方法（提取公因式法、公式法）。难点1.理解整式乘除法运算的原理；2.灵活运用乘除法运算法则及乘法公式解决实际问题；3.在因式分解时，如何准确地选择合适的方法进行分解 。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数11.1幂的运算同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方同底数幂的除法411.2整式的乘法单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘多项式与多项式相乘311.3 乘法公式平方差公式完全平方公式211.4整式的除法单项式除以单项式多项式除以单项式211.5因式分解提取公因式法公式法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务11.1幂的运算1.理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；2.学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算。掌握同底数幂乘法法则，学生是否能正确运用法则进行计算，底数和指数的处理是否准确。任务一：探究同底数幂乘法法则。任务二：巩固练习。1.经历探索幂的乘方的法则，进一步体会幂的意义；2.了解幂的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力推导法则时，适当设置与本课内容相关的挑战性问题，更能使学生进一步体会幂的意义。1.理解并掌握积的乘方法则及计算；2.会进行简单的幂的混合运算；3.注意积的乘方、幂的乘方与同底数幂的运算的指数变化。布置一系列包含积的乘方运算任务，检查学生对两个法则的综合运用能力组织小组讨论积的乘方法则的推导过程，观察学生在讨论中的思维活跃度，1.掌握同底数幂相除的法则及运算；2.能逆用同底数幂相除的法则；3.理解并掌握零指数幂与负整数指数幂。掌握同底数幂相除的法则及运算，理解并掌握零指数幂与负整数指数幂，会用科学记数法表示绝对值较小的数。经历探索负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.11.2整式的乘法1.理解并掌握单项式与单项式相乘的法则；2.理解并掌握单项式与多项式相乘的法则；3.能运用单项式乘法解决简单的实际问题。掌握单项式与单项式和单项式与多项式相乘的运算法则及其应用。在经验过程中主动探索，让学生在运算的过程中理解单项式的乘法法则。1.经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则。2.学会用多项式乘法法则进行计算。3.培养用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想。理解多项式乘法法则的推导过程，掌握多项式的乘法法则并加以运用。利用几何图形来解释多项式乘以法则，并通过分配律的应用加以解释，让学生体会数形结合和转化的思想。1.会进行多项式与多项式相乘的计算；2.能综合运用多项式乘法进行化简与计算．掌握多项式与多项式相乘的法则，综合运用多项式乘法进行化简与计算。通过积极探索，寻求规律，发展归纳推理能力。11.3 乘法公式1.掌握平方差公式，会利用平方差公式计算；2.能运用平方差公式进行简便计算．掌握平方差公式，会利用平方差公式计算。通过面积拼图，理解平方差公式。运用平方差公式时要注意化为两数和与这两数差的积的形式．1.掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算；2.能运用完全平方公式解决有关问题．理解完全平方公式的结构特征，掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算。通过面积拼图，理解平方差公式，理解完全平方公式的结构特征。11.4整式的除法1.理解并掌握单项式除以单项式法则并能运用；2.会进行简单的计算．学生掌握单项式除以单项式法则，能准确进行计算。通过计算理解并掌握单项式除以单项式法则，并会进行简单的乘除混合运算。1.理解并掌握多项式除以单项式法则并能运用；2.会进行简单的乘除混合运算．讲解多项式除以单项式题目的解题思路，学生对法则的理解和运用能力，同时锻炼学生的逻辑思维和语言表达能力。引导学生反思在学习多项式除以单项式过程中容易出错的地方，以及如何避免这些错误，培养学生的学习反思能力。11.5因式分解1.在进行提取公因式时的操作过程，能正确提取公因式并将多项式进行因式分解。2.提高学生对公因式的识别能力，能否准确找出多项式各项的公因式。学生能正确提取公因式并将多项式进行因式分解。组织小组互助学习，让学生互相检查和讨论因式分解的结果，培养学生的合作学习能力和批判性思维。
《整式的乘除》 大单元教学设计
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第十一章 整式的乘除
11.5 因式分解
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
通过对具体多项式进行因式分解的过程，抽象出因式分解的概念和一般方法，培养学生从具体到抽象的思维能力。
01
在探究因式分解方法的过程中，引导学生通过观察、比较、分析、归纳等方法，推导出因式分解的公式和法则，培养学生的逻辑推理能力。
02
让学生熟练掌握提公因式法、公式法等因式分解的方法，能够准确、迅速地对多项式进行因式分解，提高学生的数学运算能力。
03
02
新知导入
【想一想】1.怎样计算单项式乘以多项式？
单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加.
2.怎样计算两数和乘以这两数的差？
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差
3.怎样计算两数和（差）的平方？
两数和（差）的平方，等于这两数的平方和加上（减去）它们的积
的 2倍.
03
新知探究
探究
因式分解
回忆 运用前面所学的知识填空
（1）m ( a + b + c ) =__________________;
（2）(a + b)(a - b) =____________________;
（3）(a + b)2 =__________________.
ma+mb+mc
a2 - b2
a2+2ab+b2
03
新知探究
探究
因式分解
试一试 观察上面三个等式，填空.
（1）ma + mb + mc =__________________;
（2）a2 - b2 =____________________;
（3）a2+2ab+b2 =________________.
m ( a + b + c )
(a + b)(a - b)
(a + b)2
你能发现什么？
知识要点
“回忆”中的三个等式是我们已熟悉的整式的乘法运算，而“试一试”中的三个等式，其运算过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几个整式的积的形式.
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
ma+mb+mc m (a+b+c)
因式分解
整式乘法
03
新知探究
探究
提公因式法
观察多项式中的每一项，你能发现什么？
ma + mb + mc
多项式ma +mb +mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式.
把公因式提出来，多项式ma +mb+mc就可以分解成两个因式
m 和 ( a +b +c)的乘积了.
像这种因式分解的方法，叫做提公因式法.
03
新知探究
想一想：怎样用提公因式法进行因式分解？
第一步，确定公因式
1.确定系数：取多项式各项系数的最大公约数。若系数有负号，通常提取负号，使括号内首项为正。
2.确定字母：取多项式各项中都含有的相同字母。
3.确定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个。
例如8a3b2+12ab3c 中8和12的最大公约数是 4，相同字母 a的最低次幂是 a，相同字母 b的最低次幂是b2，所以公因式是4ab2.
03
新知探究
想一想：怎样用提公因式法进行因式分解？
第二步，将多项式的每一项除以公因式，所得的商作为另一个因式.
第三步，将公因式与另一个因式相乘。
如（8a3b2+12ab3c）÷4ab2=2a2+3bc.
所以8a3b2+12ab3c因式分解为4ab2（2a2+3bc）
03
新知讲解
【例】把下列多项式分解因式：
(1)3a +3b；(2) 5x-5y+5z；(3) - 5a2+ 25a；(4) 3a2 - 9ab；
解：(1)3a +3b= 3（a +b）；
(2) 5x-5y+5z= 5（x - y + z）；
(3) - 5a2+ 25a= -5a( a-5 )；
(4) 3a2 - 9ab= 3a( a - 3b ).
03
新知探究
探究
公式法
（2）a2 - b2 =(a + b)(a - b);
（3）a2+2ab+b2 =(a + b)2.
“试一试”中的小题(2)和小题(3)，实际上是将乘法公式反过来用，来进行因式分解的.
这种因式分解的方法称为公式法.
03
新知探究
探究
公式法
a2 - b2 =(a + b)(a - b)
观察公式，说一说这个公式的特点.
本题是用平方差公式进行因式分解的形式，
其特点为左边是一个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数的和与这两个数的差的积。
03
新知探究
探究
公式法
a2 - b2 =(a + b)(a - b)
平方差公式因式分解的步骤：
1.确定a和b：将多项式中的两项分别写成平方形式，确定对应的底数a和b。如，4x2-9可写成 ( 2x )2- 32，此时a=2x，b=3。
2.应用平方差公式：根据公式a2 - b2 =(a + b)(a - b)，将多项式分解为两个二项式的乘积。如，4x2-9=(2x+3)(2x - 3)。
03
新知探究
探究
公式法
a2+2ab+b2 =(a + b)2
本题是用完全平方公式进行因式分解的形式，
其特点为左边是一个三项式，其中两项是两个数的平方和，另一项是这两个数乘积的 2 倍；右边是这两个数和的平方。
观察公式，说一说这个公式的特点.
03
新知探究
探究
公式法
a2+2ab+b2 =(a + b)2
完全平方公式因式分解的步骤：
1.先找两个数的平方，确定a，b，再验证第三项是否为两数ab乘积的2倍。如16x2+24x+9可写成( 4x )2+2×4×3+32，此时a=4x，b=3。
2.应用完全平方公式：根据公式a2+2ab+b2 =(a + b)2，将多项式因式分解。如，16x2+24x+9=( 4x+3 )2。
03
新知讲解
【例】把下列多项式分解因式：
（1）x2 - 4y2； （2）25x2- 16y2；
（3）m2+6mn+9n2 ；（4）x2 + 4xy +4y2.
解：（1）x2 - 4y=x2 - （2y）2= （x + 2y）（x - 2y）；
（2） 25x2- 16y2=（5x）2 -（4y）2= （5x + 4y）（5x - 4y）；
（3）m2+6mn+9n2 = m2+6mn+（3n）2=( m+3n )2；
（4）x2 + 4xy +4y2= x2 + 4xy +（2y）2=( x +2y)2.
03
新知讲解
【例2】把下列多项式分解因式：
（1）4x3y - 4x2y2+xy3； （2）3x3 - 12xy2；
解：（1）4x3y - 4x2y2+xy3
=xy（4x2 - 4xy+y2）
=xy（2x - y）2.
（2）3x3 - 12xy2
=3x（x2 - 4y2）
=3x[ x2 - （2y）2]
=3x（x+2y）（x-2y）
03
新知讲解
【拓展提高】
对于因式分解应注意以下几点：
（1）分解的对象必须是多项式；
（2）有时需要先把多项式进行适当变形，然后再把它因式分解；
（3）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；
（4）要分解到不能分解为止.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是( ).
A. x2-2x-1=x(x - 2)-1
B. (a + b)(a - b) =a2 - b2
C. x2- 2x+1=(x - 1)2
D. x2+ 1 =(x + 1)2
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2. 下列各组式子中,没有公因式的是( ).
A. -a2 + ab与ab2 - a2b
B. mx + y与x + y
C. (a + b)2与-a- b
D. 5m(x - y)与 y - x
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.下列多项式中，不能用提公因式法分解因式的是( ).
A. 6x2- 3y
B. x2y - xy2
C. x2 + 2xy + y2
D. 16x3y2z + 8x2y3
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4. 将下列各式分解因式：
（1）12a2b-18ab2 - 24a3b3 ;
（2）(x + 2)2 - (x + 2) ;
（3）-9 +36x2y2 ;
解：（1）原式= 6ab( 2a - 3b - 4a2b2 ).
（2）原式= ( x + 2 )( x +2 -1 )= (x + 2)( x +1 ).
（3）原式= 36x2y2 - 9=(6xy + 3)( 6xy - 3 ).
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5. 若多项式4x2- mxy + 9y2能用两数和(差)的平方公式因式分解，则m的值是（ ）.
A. 6
B. ±6
C. 12
D. ±12
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2 - ab =ac - bc，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是等腰三角形，
理由:因为a2 - ab =ac - bc，所以a(a-b) =c(a-b),
所以a(a-b)-c(a-b)=0，所以( a-b)(a- c)=0，
所以a-b=0或a-c=0，即a=b或a =c，
所以△ABC是等腰三角形.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.（1）已知x - y=5，xy = 6，求x (x +y)(x - y) - x( x - y)2的值；
解：因为 x - y= 5，xy = 6，
所以原式= x(x - y)[ (x + y)-( x - y ) ]
=2xy ( x - y )
=2×6×5
=60.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.（2）已知实数m满足m2- m - 1=0，求2m3-3m2-m+9的值.
解： 因为m2- m - 1=0,
所以原式= 2m3- 2m2- 2m - m2+m+9
=(2m3 - 2m2 - 2m)-(m2 - m - 1)+8
= 2m(m2 - m - 1)-(m2 - m - 1)+8
= 2m×0 - 0+8
=8.
05
课堂小结
本节课学习了什么内容？
1.把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
2.提公因式法分解因式.
3.公式法（平方差公式、完全平方公式）分解因式.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.对于①(x + 1)(x - 1) =x2 - 1；② x - 2xy =x(1 - 2y)从左到右的变形，表述正确的是( ).
A.都是乘法运算
B.都是因式分解
C.①是乘法运算，②是因式分解
D.①是因式分解，②是乘法运算
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 多项式-6xyz + 3xy2 - 9x3y的公因式是( ).
A. -3x
B. 3xz
C. 3yz
D. 3xy
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.把下列多项式分解因式：
(1) 4x2 +y2 - 4xy; (2) 3x2 - 18xy + 27y2; (3) -y3+4xy2 - 4x2y.
解：（1）原式=( 2x )2 + y2- 2 × 2xy=( 2x-y )2.
（2）原式= 3(x2 - 6xy +9y2)= 3( x - 3y )2.
（3）原式= - y( y2 - 4xy + 4x2 )= - y( y-2x )2.
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4. 把多项式x2 - ( y2 - 4y +4 )分解因式的结果是（ ）
A. (x + y +2)( x - y - 2)
B. (x + y-2)(x - y +2)
C. (x + y + 2)(x + y+2)
D. (x - y +2)(x + y + 2)
B
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5. 学完“因式分解”之后，某数学兴趣小组对多项式
(x2 - 2x)( x2 - 2x + 2) + 1进行因式分解，过程如下:
解：设x2- 2x =y.
则原式= y(y + 2) + 1
= y2 + 2y +1
= (y + 1)2
= ( x2- 2x+1 )2.
（1）该小组因式分解的结果是否彻底？答：________（填“彻底”或“不
彻底”）；若不彻底，请直接写出正确的结果：_________；
不彻底
（x-1）4
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.（2）该过程用到的因式分解方法是________；
(3)请你模仿上面的方法对多项式(x2 - 4x +2) · (x2 - 4x +6)+4进
行因式分解.
公式法
解：设x2 - 4x=y.
则原式= (y + 2)(y + 6)+4
= y2 + 8y +12 +4 =y2 +8y+16
= (y + 4)2 =(x2 - 4x+4)2 = [(x - 2)2 ]2 =( x-2 ) 4.
Thanks!
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